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24.(12分)近年来，“低空经济”越来越受到全球瞩目，无人机长距离海岛场景物流运输逐渐兴起，海鲜1h到达市民餐桌成为现实。一家快递公司利用无人机将某海岛黄鱼运输到指定陆地驿站。该快递公司有大小两款无人机可供选择，每款无人机单次运输价格相同，以下表格统计了试运营前两天的运营状况。
(1)求大小两款无人机的单次运输价格。
(2)正式运营后，快递公司开展促销活动，第一天大无人机共营收5100元，小无人机共营收4320元，且小无人机运输次数是大无人机的两倍。已知大无人机实行八五折优惠，求小无人机的优惠折扣。
(3)在(2)的折扣下，某两天大无人机共运营a单，小无人机共运营b单，这两天平均每单的运输营收比试运营那两天多了1元。
①求a和b的数量关系。
②若这两天两款无人机总营收是打折前小无人机单次运输价格的整数倍，则这两天总营收的最小值为多少元？
(1)求大小两款无人机的单次运输价格。
(2)正式运营后，快递公司开展促销活动，第一天大无人机共营收5100元，小无人机共营收4320元，且小无人机运输次数是大无人机的两倍。已知大无人机实行八五折优惠，求小无人机的优惠折扣。
(3)在(2)的折扣下，某两天大无人机共运营a单，小无人机共运营b单，这两天平均每单的运输营收比试运营那两天多了1元。
①求a和b的数量关系。
②若这两天两款无人机总营收是打折前小无人机单次运输价格的整数倍，则这两天总营收的最小值为多少元？
答案
24.(1)设大无人机的单次运输价格是$x$元,小无人机的单次运输价格是$y$元。根据题意得$\begin{cases}4x+20y=3600, \\ 8x+28y=5760, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=300, \\ y=120, \end{cases}$ 所以大无人机的单次运输价格是300元,小无人机的单次运输价格是120元。
(2)$5100÷(300×0.85)=20$(单),设小无人机的优惠折扣为$m$折。根据题意得$20×2×120×\frac{m}{10}=4320$,解得$m=9$。所以小无人机实行九折优惠。
(3)①根据题意得$\frac{300×0.85a+120×0.9b}{a+b}=\frac{3600+5760}{4+20+8+28}+1$,所以$b=2a$。 ②设这两天两款无人机总营收是打折前小无人机单次运输价格的$n$倍($n$为正整数),根据题意得$300×0.85a+120×0.9×2a=120n$,即$471a=120n$,所以$157a=40n$。又因为$a,n$均为正整数,且157是质数,所以$a$的最小值为40,此时$471a=471×40=18840$。所以这两天总营收的最小值为18840元。
(2)$5100÷(300×0.85)=20$(单),设小无人机的优惠折扣为$m$折。根据题意得$20×2×120×\frac{m}{10}=4320$,解得$m=9$。所以小无人机实行九折优惠。
(3)①根据题意得$\frac{300×0.85a+120×0.9b}{a+b}=\frac{3600+5760}{4+20+8+28}+1$,所以$b=2a$。 ②设这两天两款无人机总营收是打折前小无人机单次运输价格的$n$倍($n$为正整数),根据题意得$300×0.85a+120×0.9×2a=120n$,即$471a=120n$,所以$157a=40n$。又因为$a,n$均为正整数,且157是质数,所以$a$的最小值为40,此时$471a=471×40=18840$。所以这两天总营收的最小值为18840元。
解析
【分析】
本题分三小问逐步求解：
1. 第(1)问：已知两天的大、小无人机运输次数和总营收，设大、小无人机单次价格为未知数，根据两天的营收列二元一次方程组，求解即可得到单次价格。
2. 第(2)问：先根据大无人机的营收和八五折优惠算出其运输次数，再由小无人机次数是大无人机的两倍，设小无人机折扣为未知数，结合小无人机营收列一元一次方程，求解折扣。
3. 第(3)问：①先计算试运营的平均每单营收，再根据正式运营平均每单多1元的条件，结合大、小无人机的营收表达式，推导a和b的数量关系；②结合①的关系，将总营收表示为小无人机原价的整数倍，利用整数性质求总营收的最小值。
【解析】
(1) 设大无人机的单次运输价格为$x$元，小无人机的单次运输价格为$y$元。
根据试运营两天的营收，列方程组：
$\begin{cases}4x + 20y = 3600 \\ 8x + 28y = 5760 \end{cases}$
化简第一个方程得$x = 900 - 5y$，代入第二个方程：
$8(900 - 5y) + 28y = 5760$，解得$y = 120$，则$x = 300$。
所以大无人机单次价格300元，小无人机单次价格120元。
(2) 大无人机八五折后的单次价格为$300×0.85 = 255$元，运输次数为$5100÷255 = 20$单。
设小无人机的优惠折扣为$m$折，小无人机单次价格为$120×\frac{m}{10}$元，运输次数为$20×2 = 40$单。
根据小无人机营收列方程：$40×120×\frac{m}{10} = 4320$，解得$m = 9$。
所以小无人机实行九折优惠。
(3) ① 试运营总运输单数为$4+20+8+28=60$单，总营收9360元，平均每单营收为$9360÷60=156$元。
正式运营平均每单营收为$156+1=157$元，总营收为$255a + 108b$，列等式：
$\frac{255a + 108b}{a + b}=157$，化简得$b=2a$。
② 设总营收为打折前小无人机单次价格的$n$倍（$n$为正整数），则总营收为$120n$元。
由$b=2a$，正式总营收为$255a + 108×2a=471a$，故$471a=120n$，化简得$157a=40n$。
因157是质数，$a$最小为40，此时总营收为$471×40=18840$元。
【答案】
(1) 大无人机单次运输价格300元，小无人机单次运输价格120元；
(2) 小无人机实行九折优惠；
(3) ① $b=2a$；② 这两天总营收的最小值为18840元。
【知识点】
二元一次方程组应用、一元一次方程应用、整数解问题
【点评】
本题为实际应用类题目，分三小问逐步递进，考查学生将实际问题转化为数学方程的建模能力，第三小问需结合整数性质求解，对学生逻辑分析能力有一定要求，整体难度适中。
【难度系数】
0.5
本题分三小问逐步求解：
1. 第(1)问：已知两天的大、小无人机运输次数和总营收，设大、小无人机单次价格为未知数，根据两天的营收列二元一次方程组，求解即可得到单次价格。
2. 第(2)问：先根据大无人机的营收和八五折优惠算出其运输次数，再由小无人机次数是大无人机的两倍，设小无人机折扣为未知数，结合小无人机营收列一元一次方程，求解折扣。
3. 第(3)问：①先计算试运营的平均每单营收，再根据正式运营平均每单多1元的条件，结合大、小无人机的营收表达式，推导a和b的数量关系；②结合①的关系，将总营收表示为小无人机原价的整数倍，利用整数性质求总营收的最小值。
【解析】
(1) 设大无人机的单次运输价格为$x$元，小无人机的单次运输价格为$y$元。
根据试运营两天的营收，列方程组：
$\begin{cases}4x + 20y = 3600 \\ 8x + 28y = 5760 \end{cases}$
化简第一个方程得$x = 900 - 5y$，代入第二个方程：
$8(900 - 5y) + 28y = 5760$，解得$y = 120$，则$x = 300$。
所以大无人机单次价格300元，小无人机单次价格120元。
(2) 大无人机八五折后的单次价格为$300×0.85 = 255$元，运输次数为$5100÷255 = 20$单。
设小无人机的优惠折扣为$m$折，小无人机单次价格为$120×\frac{m}{10}$元，运输次数为$20×2 = 40$单。
根据小无人机营收列方程：$40×120×\frac{m}{10} = 4320$，解得$m = 9$。
所以小无人机实行九折优惠。
(3) ① 试运营总运输单数为$4+20+8+28=60$单，总营收9360元，平均每单营收为$9360÷60=156$元。
正式运营平均每单营收为$156+1=157$元，总营收为$255a + 108b$，列等式：
$\frac{255a + 108b}{a + b}=157$，化简得$b=2a$。
② 设总营收为打折前小无人机单次价格的$n$倍（$n$为正整数），则总营收为$120n$元。
由$b=2a$，正式总营收为$255a + 108×2a=471a$，故$471a=120n$，化简得$157a=40n$。
因157是质数，$a$最小为40，此时总营收为$471×40=18840$元。
【答案】
(1) 大无人机单次运输价格300元，小无人机单次运输价格120元；
(2) 小无人机实行九折优惠；
(3) ① $b=2a$；② 这两天总营收的最小值为18840元。
【知识点】
二元一次方程组应用、一元一次方程应用、整数解问题
【点评】
本题为实际应用类题目，分三小问逐步递进，考查学生将实际问题转化为数学方程的建模能力，第三小问需结合整数性质求解，对学生逻辑分析能力有一定要求，整体难度适中。
【难度系数】
0.5
