22.(8分)阅读材料:若两个数的积等于这两个数和的2倍,则称这两个数为“伙伴数”。例如:$(-2)×1=2×(-2+1)$,所以$-2$和1就是一对“伙伴数”。请完成下列问题:
(1)若$x$与5是一对“伙伴数”,请求出$x$的值。
(2)若$m$与$n$是一对“伙伴数”,且$m,n$不为0,请判断等式$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{2}$是否成立?如果成立,请说明理由。
(3)是否存在均为正整数的“伙伴数”,若存在,求出所有符合条件的“伙伴数”;若不存在,请说明理由。

22.(1)因为$x$与5是一对“伙伴数”,所以$5x=2(x+5)$,解得$x=\dfrac{10}{3}$。(2)$\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{2}$成立。理由如下:因为$m$与$n$是一对“伙伴数”,所以$mn=2(m+n)$。所以$\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}=\dfrac{n}{mn}+\dfrac{m}{mn}=\dfrac{m+n}{mn}=\dfrac{m+n}{2(m+n)}=\dfrac{1}{2}$。(3)存在。设这两个正整数是$m,n$。因为这两个正整数是“伙伴数”,所以$mn=2(m+n)$,即$(m-2)(n-2)=4$。所以$m-2=1,n-2=4$或$m-2=4,n-2=1$或$m-2=n-2=2$,解得$m=3,n=6$或$m=6,n=3$或$m=n=4$。所以均为正整数的“伙伴数”为3,6或6,3或4,4。

【分析】
本题是新定义运算题，核心是先明确“伙伴数”的定义：若两数的积等于这两数和的2倍，则称它们为伙伴数，即对任意伙伴数a、b，满足$ab=2(a+b)$。解题时需将该定义转化为数学等式，再结合一元一次方程、分式运算、因式分解等知识逐步求解：
1. 第(1)问：直接利用伙伴数定义，将x与5代入等式，得到关于x的一元一次方程，解方程即可；
2. 第(2)问：先由定义得到m、n的等式，再对分式$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$通分，将mn替换为$2(m+n)$，化简后验证是否等于$\frac{1}{2}$；
3. 第(3)问：设正整数伙伴数为m、n，代入定义得到等式，通过因式分解将等式变形为乘积形式，结合正整数的性质，找出所有符合条件的整数解。
【解析】
(1) 因为x与5是伙伴数，根据定义得：$5x = 2(x + 5)$，
去括号得：$5x = 2x + 10$，
移项合并得：$3x = 10$，
解得：$x = \frac{10}{3}$；
(2) $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{2}$成立，理由如下：
因为m与n是伙伴数，根据定义得：$mn = 2(m + n)$，
对分式通分：$\frac{1}{m}+\frac{1}{n} = \frac{n + m}{mn}$，
将$mn=2(m+n)$代入得：$\frac{m+n}{2(m+n)}$，
因为m、n不为0，所以$m+n≠0$，约分得：$\frac{1}{2}$，故等式成立；
(3) 存在符合条件的正整数伙伴数，理由如下：
设正整数伙伴数为m、n，根据定义得：$mn = 2(m + n)$，
整理得：$mn -2m -2n =0$，
两边加4因式分解：$(m-2)(n-2)=4$，
因为m、n是正整数，所以$m-2$、$n-2$均为正整数，
4的正整数因子对为：$1×4$、$2×2$、$4×1$，
对应解得：$m=3,n=6$；$m=4,n=4$；$m=6,n=3$，
故所有符合条件的正整数伙伴数为3和6、6和3、4和4。
【答案】
(1) $x=\frac{10}{3}$；(2) 成立；(3) 存在，符合条件的伙伴数为3和6、6和3、4和4。
【知识点】
一元一次方程、分式的加减运算、因式分解
【点评】
本题属于新定义类代数题，重点考查学生对新定义的理解能力及代数运算、变形能力，解题关键是准确将“伙伴数”的定义转化为数学等式，再通过解方程、因式分解等方法求解，难度适中，适合初中阶段学生练习。
【难度系数】
0.6