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23.(10分)综合实践。
如何设计运动会奖品购买方案及抵扣方式?
素材1 某校运动会准备购买排球和篮球作为奖品,已知篮球的单价比排球的单价贵20元,用800元购买排球的数量是用480元购买篮球数量的2倍。
素材2 学校花费1680元购买篮球和排球作为奖品颁发给“优秀运动员”,其中购买的排球数量比篮球数量多8个。
素材3 学校花费1680元后,商家赠送若干张抵扣券(满100元抵扣20元,每件商品限用1张),学校准备花费1260元再次购买这种篮球和排球,其中购买的篮球中没有使用抵扣券的数量是两种球总数的$\frac{1}{3}$。
问题解决
任务1 探求商品单价 请运用适当的方法,求出篮球与排球的单价。
任务2 求商品的数量 利用素材2,求出该校花费1680元购买的篮球和排球的数量。
任务3 确定抵扣方式 基于素材3,求出排球中使用抵扣券的数量。
如何设计运动会奖品购买方案及抵扣方式?
素材1 某校运动会准备购买排球和篮球作为奖品,已知篮球的单价比排球的单价贵20元,用800元购买排球的数量是用480元购买篮球数量的2倍。
素材2 学校花费1680元购买篮球和排球作为奖品颁发给“优秀运动员”,其中购买的排球数量比篮球数量多8个。
素材3 学校花费1680元后,商家赠送若干张抵扣券(满100元抵扣20元,每件商品限用1张),学校准备花费1260元再次购买这种篮球和排球,其中购买的篮球中没有使用抵扣券的数量是两种球总数的$\frac{1}{3}$。
问题解决
任务1 探求商品单价 请运用适当的方法,求出篮球与排球的单价。
任务2 求商品的数量 利用素材2,求出该校花费1680元购买的篮球和排球的数量。
任务3 确定抵扣方式 基于素材3,求出排球中使用抵扣券的数量。
答案
23.任务1:设排球的单价为$x$元,则篮球的单价为$(x+20)$元。由题意得$\dfrac{800}{x}=2×\dfrac{480}{x+20}$,解得$x=100$,经检验,$x=100$是原方程的解,所以$x+20=120$。所以排球的单价为100元,篮球的单价为120元。任务2:设购买篮球的数量为$m$个,则购买排球的数量为$(m+8)$个。由题意得$120m+100(m+8)=1680$,解得$m=4$。所以$m+8=12$。所以购买篮球的数量为4个,购买排球的数量为12个。任务3:设第二次购买了$a$个篮球,$b$个排球,且第二次购买的排球中使用抵扣券的数量是$c$个,则第二次购买的篮球中没有使用抵扣券的数量是$\dfrac{a+b}{3}$个,所以第二次购买的篮球中使用抵扣券的数量是$a-\dfrac{a+b}{3}=\dfrac{2a-b}{3}$(个)。所以$120a+100b-20(c+\dfrac{2a-b}{3})=1260$,化简整理得$16(a+b)-3c=189$。因为$\dfrac{a+b}{3}$一定是正整数,所以$a+b$一定是3的倍数。设$a+b=3k$($k$为正整数),所以$48k-3c=189$。所以$c=16k-63$。因为$c≥0$,所以$16k-63≥0$,解得$k≥\dfrac{63}{16}$。因为$c＜a+b$,所以$c＜3k$。所以$16k-63＜3k$,解得$k＜\dfrac{63}{13}$。所以$\dfrac{63}{16}≤ k＜\dfrac{63}{13}$。所以$k$只能取4。当$k=4$时,$c=1$。所以排球中使用抵扣券的数量是1个。
解析
【分析】
本题分为三个任务逐步解决：
任务1：求商品单价，利用“数量=总价÷单价”的关系，设排球单价为$x$元，篮球单价为$(x+20)$元，根据“800元购买排球的数量是480元购买篮球数量的2倍”列分式方程，解后需检验分式方程的根；
任务2：求购买数量，利用已知单价和总花费，设篮球数量为$m$个，排球数量为$(m+8)$个，根据总花费列一元一次方程求解；
任务3：确定抵扣方式，需明确抵扣规则（满100元抵扣20元，每件商品限用1张），结合第二次购买的总花费、篮球未用抵扣券数量与总数的关系列方程，再根据数量为正整数的条件设参数，通过不等式确定参数取值，进而求出结果。
【解析】
任务1：设排球的单价为$x$元，则篮球的单价为$(x+20)$元。
由题意得：$\dfrac{800}{x}=2×\dfrac{480}{x+20}$
解方程：
两边同乘$x(x+20)$得：$800(x+20)=960x$
$800x + 16000 = 960x$
$160x = 16000$
解得$x=100$
经检验，$x=100$是原方程的解，且符合题意。
则篮球单价为$100+20=120$元。
任务2：设购买篮球的数量为$m$个，则购买排球的数量为$(m+8)$个。
由题意得：$120m + 100(m+8)=1680$
化简得：$220m + 800 = 1680$
$220m=880$
解得$m=4$
则排球数量为$4+8=12$个。
任务3：设第二次购买了$a$个篮球，$b$个排球，排球中使用抵扣券的数量为$c$个。
由题意，篮球中未使用抵扣券的数量为$\dfrac{a+b}{3}$，则篮球中使用抵扣券的数量为$a-\dfrac{a+b}{3}=\dfrac{2a - b}{3}$。
根据总花费列方程：
$120a + 100b - 20(c + \dfrac{2a - b}{3})=1260$
两边同乘3消分母：
$360a + 300b - 20(3c + 2a - b)=3780$
化简得：$16(a+b)-3c=189$
因$\dfrac{a+b}{3}$为正整数，设$a+b=3k$（$k$为正整数），代入得：
$48k - 3c=189$ → $c=16k -63$
根据实际意义：
$c≥0$ → $16k -63≥0$ → $k≥\dfrac{63}{16}=3.9375$
$c ＜ a+b$ → $16k -63 ＜3k$ → $k＜\dfrac{63}{13}≈4.846$
故$k$只能取整数4，代入得$c=16×4 -63=1$。
【答案】
任务1：排球单价为100元，篮球单价为120元；任务2：购买篮球4个，排球12个；任务3：排球中使用抵扣券的数量是1个。
【知识点】
分式方程的应用、一元一次方程的应用、二元一次方程的整数解
【点评】
本题为综合实践类应用题，分三个梯度考查方程的实际应用，从基础单价计算到数量求解，再到结合抵扣规则的复杂关系分析，需学生理清各量间的联系，任务3需利用整数条件确定参数，体现数学在生活中的应用，对逻辑分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
本题分为三个任务逐步解决：
任务1：求商品单价，利用“数量=总价÷单价”的关系，设排球单价为$x$元，篮球单价为$(x+20)$元，根据“800元购买排球的数量是480元购买篮球数量的2倍”列分式方程，解后需检验分式方程的根；
任务2：求购买数量，利用已知单价和总花费，设篮球数量为$m$个，排球数量为$(m+8)$个，根据总花费列一元一次方程求解；
任务3：确定抵扣方式，需明确抵扣规则（满100元抵扣20元，每件商品限用1张），结合第二次购买的总花费、篮球未用抵扣券数量与总数的关系列方程，再根据数量为正整数的条件设参数，通过不等式确定参数取值，进而求出结果。
【解析】
任务1：设排球的单价为$x$元，则篮球的单价为$(x+20)$元。
由题意得：$\dfrac{800}{x}=2×\dfrac{480}{x+20}$
解方程：
两边同乘$x(x+20)$得：$800(x+20)=960x$
$800x + 16000 = 960x$
$160x = 16000$
解得$x=100$
经检验，$x=100$是原方程的解，且符合题意。
则篮球单价为$100+20=120$元。
任务2：设购买篮球的数量为$m$个，则购买排球的数量为$(m+8)$个。
由题意得：$120m + 100(m+8)=1680$
化简得：$220m + 800 = 1680$
$220m=880$
解得$m=4$
则排球数量为$4+8=12$个。
任务3：设第二次购买了$a$个篮球，$b$个排球，排球中使用抵扣券的数量为$c$个。
由题意，篮球中未使用抵扣券的数量为$\dfrac{a+b}{3}$，则篮球中使用抵扣券的数量为$a-\dfrac{a+b}{3}=\dfrac{2a - b}{3}$。
根据总花费列方程：
$120a + 100b - 20(c + \dfrac{2a - b}{3})=1260$
两边同乘3消分母：
$360a + 300b - 20(3c + 2a - b)=3780$
化简得：$16(a+b)-3c=189$
因$\dfrac{a+b}{3}$为正整数，设$a+b=3k$（$k$为正整数），代入得：
$48k - 3c=189$ → $c=16k -63$
根据实际意义：
$c≥0$ → $16k -63≥0$ → $k≥\dfrac{63}{16}=3.9375$
$c ＜ a+b$ → $16k -63 ＜3k$ → $k＜\dfrac{63}{13}≈4.846$
故$k$只能取整数4，代入得$c=16×4 -63=1$。
【答案】
任务1：排球单价为100元，篮球单价为120元；任务2：购买篮球4个，排球12个；任务3：排球中使用抵扣券的数量是1个。
【知识点】
分式方程的应用、一元一次方程的应用、二元一次方程的整数解
【点评】
本题为综合实践类应用题，分三个梯度考查方程的实际应用，从基础单价计算到数量求解，再到结合抵扣规则的复杂关系分析，需学生理清各量间的联系，任务3需利用整数条件确定参数，体现数学在生活中的应用，对逻辑分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
