8.已知有两个三角形全等,若其中一个三角形的三边长分别为3,5,7,另一个三角形的三边长分别为3,3a−2b,a+2b,则a+b=.
【点拨】当两个全等三角形的对应边不明确时,应分类讨论:即3a−2b可能与5和7分别对应,然后利用全等三角形的对应边相等列方程解答.

8. 4或5

【分析】
已知两个三角形全等，根据全等三角形对应边相等的性质，两个三角形的三组边分别对应相等。已知两个三角形均有边长为3的边，剩余两组边的对应关系未明确，因此需要分两种情况讨论：①3a−2b与5对应，a+2b与7对应；②3a−2b与7对应，a+2b与5对应。分别列二元一次方程组求解a、b的值，再计算a+b，最后验证结果是否符合边长为正的要求即可。
【解析】
∵ 两个三角形全等，
∴ 两个三角形的对应边相等，分两种情况讨论：
情况1：当$\begin{cases}3a-2b=5 \\ a+2b=7\end{cases}$时，
将两个方程相加得：$4a=12$，解得$a=3$，
把$a=3$代入$a+2b=7$，得$3+2b=7$，解得$b=2$，
此时$a+b=3+2=5$，验证边长$3a-2b=5$，$a+2b=7$，均为正数，符合要求；
情况2：当$\begin{cases}3a-2b=7 \\ a+2b=5\end{cases}$时，
将两个方程相加得：$4a=12$，解得$a=3$，
把$a=3$代入$a+2b=5$，得$3+2b=5$，解得$b=1$，
此时$a+b=3+1=4$，验证边长$3a-2b=7$，$a+2b=5$，均为正数，符合要求。
综上，$a+b$的值为4或5。
【答案】
4或5
【知识点】
1. 全等三角形的性质
2. 二元一次方程组的解法
3. 分类讨论思想
【点评】
本题重点考查全等三角形对应边相等的应用，解题的关键是在对应边不明确时主动分类讨论，避免漏解，求出结果后要注意验证边长是否符合实际意义。
【难度系数】
0.6

9.如图，将$△ ABC$沿AC翻折后，得到$△ AEC$，则图中的全等三角形的对数是（）


A.1对
B.2对
C.3对
D.4对

9. C

【分析】
解题时首先利用翻折的性质确定第一对全等三角形，再根据翻折得到的相等边、相等角，结合公共边，依次判定其余的全等三角形，注意逐对排查避免遗漏。第一步：翻折前后的图形全等，直接得到△ABC和△AEC全等；第二步：由全等得到的边角相等关系，结合公共边AD，用SAS判定△ABD和△AED全等；第三步：结合公共边CD，用SAS判定△BCD和△ECD全等，最后统计总对数即可。
【解析】
1. 由翻折的性质可知，翻折前后的图形完全重合，因此$△ ABC ≌ △ AEC$，这是第1对全等三角形，由此可得：$AB=AE$，$BC=EC$，$∠ BAC=∠ EAC$，$∠ BCA=∠ ECA$。
2. 在$△ ABD$和$△ AED$中：
$\begin{cases}AB=AE \\∠ BAD=∠ EAD \\AD=AD(\mathrm{公共边})\end{cases}$
根据SAS全等判定定理，可得$△ ABD ≌ △ AED$，这是第2对全等三角形。
3. 在$△ BCD$和$△ ECD$中：
$\begin{cases}BC=EC \\∠ BCD=∠ ECD \\CD=CD(\mathrm{公共边})\end{cases}$
根据SAS全等判定定理，可得$△ BCD ≌ △ ECD$，这是第3对全等三角形。
综上，图中共有3对全等三角形。
【答案】
C
【知识点】
翻折的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟练掌握折叠前后对应边相等、对应角相等的性质，结合全等三角形的判定定理逐一验证，注意不要遗漏含有公共边的全等三角形。
【难度系数】
0.7

10.【教材P31习题T3变式】如图，两个三角形全等，已知其中某些边的长度和某些角的度数，则α=。

10. 60°

【分析】
解题时首先利用三角形内角和定理计算出第一个三角形未知角的度数，再结合已知的边长和角度，确定两个全等三角形的对应关系：观察可得AB与A'C'均为5cm，是对应边；∠A与∠A'均为65°，是对应角，由此可推出∠C与α是对应角，最后根据全等三角形对应角相等即可求出α的度数。
【解析】
1. 计算△ABC中∠C的度数：
根据三角形内角和为180°，可得
$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-65°-55°=60°$
2. 确定全等三角形的对应关系：
已知两个三角形全等，且$AB=A'C'=5\mathrm{cm}$，$∠ A=∠ A'=65°$，因此AB的对应边为A'C'，∠A的对应角为∠A'，可推得∠C的对应角为$∠ B'=α$。
3. 根据全等三角形对应角相等的性质，可得$α=∠ C=60°$
【答案】
$60°$
【知识点】
三角形内角和定理，全等三角形的性质
【点评】
本题核心是结合已知的边、角条件准确找到全等三角形的对应角，若对应关系判断错误则容易出现计算失误，熟练掌握全等三角形的性质是解题的前提。
【难度系数】
0.8

11. 如图，已知$\mathrm{Rt}△ AOB ≌ \mathrm{Rt}△ CDA$，且点$A(-1,0)$，点$B(0,2)$，则点$C$的坐标为。


第12(1)题图

11. (-3,1)

【分析】
解题时首先根据点A、B的坐标求出Rt△AOB的两条直角边OA、OB的长度；再结合全等三角形的性质，得到Rt△CDA的对应边长度，以及对应角为直角的关系，判断出CD与x轴垂直；最后结合点A的坐标，计算出点C的横、纵坐标即可。
【解析】
解：
∵点A的坐标为$(-1,0)$，点B的坐标为$(0,2)$，
∴$OA=1$，$OB=2$。
∵$\mathrm{Rt}△ AOB ≌ \mathrm{Rt}△ CDA$，
∴对应边相等：$CD=OA=1$，$AD=OB=2$，对应角相等：$∠ CDA=∠ AOB=90°$。
由此可知$AD$在x轴上，$CD⊥ x$轴。
∵点D在点A的左侧，$AD=2$，
∴点D的横坐标为$-1-2=-3$，即点C的横坐标为$-3$。
∵$CD=1$且$CD$位于x轴上方，
∴点C的纵坐标为$1$。
综上，点C的坐标为$(-3,1)$。
【答案】
$(-3,1)$
【知识点】
全等三角形的性质，平面直角坐标系中点的坐标特征
【点评】
本题是全等三角形与平面直角坐标系结合的基础题型，解题核心是准确识别全等三角形的对应边、对应角，结合坐标系的坐标运算规则求解即可，易错点是容易搞错对应边的对应关系或者坐标计算时的符号。
【难度系数】
0.7

12. (1)【教材 P31 习题 T5 变式】如图，将△ABC绕点C旋转一定角度得到△DEC，点E恰好落在AB上，DE交AC于点F，则下列说法：①AB = CD；②CE = CB；③∠ACD=∠BCE；④∠AED=∠BCE，其中正确的有.(填序号)
(2)【T12(1)变式】如图，△ABC≌△ADE，∠DAC=60°，∠BAE=100°，BC与DE，AD分别相交于点F，点G，求∠DFB的度数.

03 素养练 学科素养培育

12. 解:(1)②③④
(2)
∵△ABC≌△ADE,
∴∠B=∠D,∠BAC=∠DAE. 又∠BAD=∠BAC−CAD,∠CAE=∠DAE−CAD,
∴∠BAD=∠CAE.
∵∠DAC=60°,∠BAE=100°,
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$(∠BAE−∠DAC)=20°.
∵在△ABG和△FDG中,∠B=∠D,∠AGB=∠FGD,
∴∠DFB=∠BAD=20°.

【分析】
(1) 首先根据旋转的性质可知旋转前后三角形全等，即△ABC≌△DEC，再结合全等三角形对应边、对应角相等的性质逐个判断结论：①AB的对应边是DE而非CD，结论不成立；②CB的对应边是CE，结论成立；③由∠ACB=∠DCE，两边同时减去公共角∠ACE即可推出∠ACD=∠BCE，结论成立；④结合等腰三角形底角相等、三角形外角的性质可推导得出∠AED=∠BCE，结论成立。
(2) 首先利用全等三角形对应角相等的性质，得出∠B=∠D、∠BAC=∠DAE，推导得∠BAD=∠CAE，再结合已知角度计算出∠BAD的度数，最后在△ABG和△FDG中，利用对顶角相等、三角形内角和为180°，即可推出∠DFB=∠BAD，得到结果。
【解析】
(1) 解：
∵△ABC绕点C旋转得到△DEC，
∴△ABC≌△DEC，
∴AB=DE，CB=CE，∠ACB=∠DCE，∠B=∠DEC。
① AB的对应边为DE，故AB=CD错误；
② 由全等三角形对应边相等得CE=CB，正确；
③
∵∠ACB=∠DCE，
∴∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE，即∠BCE=∠ACD，正确；
④
∵CB=CE，
∴∠B=∠CEB，结合∠B=∠DEC得∠CEB=∠DEC；
又
∵∠AEC是△BCE的外角，
∴∠AEC=∠B+∠BCE，同时∠AEC=∠DEC+∠AED，
代入∠B=∠DEC，可得∠BCE=∠AED，正确。
故正确的是②③④。
(2) 解：
∵△ABC≌△ADE，
∴∠B=∠D，∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
∵∠DAC=60°，∠BAE=100°，
∴$∠ BAD=\frac{1}{2}×(∠ BAE-∠ DAC)=\frac{1}{2}×(100°-60°)=20°$，
在△ABG和△FDG中，∠B=∠D，∠AGB=∠FGD（对顶角相等），
∴$180°-∠ B-∠ AGB=180°-∠ D-∠ FGD$，即∠DFB=∠BAD=20°。
【答案】
(1) $\boldsymbol{②③④}$；(2) $\boldsymbol{20°}$
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形相关的基础综合题，解题核心是熟练掌握旋转、全等三角形对应边和对应角相等的性质，结合角度和差关系、三角形内角和或外角性质推导即可，有助于巩固全等相关的基础知识点。
【难度系数】
0.7

13.如图,将五边形ABCDE沿AD向下折叠,点E的对应点F落在BC上,已知△ABF≌△FCD,∠B=90°.
(1)填空:△ADE≌;
(2)求证:AB//CD;
(3)请写出线段AF与DF之间的数量关系及位置关系,并说明理由;
(4)若AF=8,则四边形AEDF的面积是.

13. (1)△ADF
(2)证明:
∵△ABF≌△FCD,
∴∠B=∠C=90°.
∴∠B+∠C=180°.
∴AB//CD;
(3)解:AF⊥FD,AF=FD. 理由:
∵∠B=90°,
∴∠BAF+∠BFA=90°.
∵△ABF≌△FCD,
∴DF=AF,∠DFC=∠FAB.
∴∠BFA+∠DFC=90°.
∴∠AFD=90°.
∴AF⊥FD.
(4)64

【分析】
(1) 结合折叠的性质思考：折叠前后对应图形全等，五边形沿AD折叠时，点E的对应点是F，因此△ADE和折叠后的对应三角形全等；
(2) 要证AB//CD，可通过证明同旁内角互补实现：已知∠B=90°，结合△ABF≌△FCD的性质可得∠C与∠B相等，二者相加为180°，即可推出平行关系；
(3) 先从全等三角形的性质推导数量关系，再通过角度互余推导位置关系：由全等可得AF和DF相等，∠BAF和∠DFC相等，结合Rt△ABF中两锐角互余，可推出∠AFD为90°，即得垂直关系；
(4) 四边形AEDF由两个全等的三角形△ADE、△ADF组成，先算出等腰直角△ADF的面积再乘2即可得到四边形面积。
【解析】
(1) 根据折叠的性质，折叠前后对应图形全等，沿AD折叠点E的对应点为F，因此△ADE≌△ADF；
(2) 证明：
∵△ABF≌△FCD，
∴∠C=∠B=90°，
∴∠B+∠C=90°+90°=180°，
根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得AB//CD；
(3) 数量关系：AF=FD，位置关系：AF⊥FD，理由如下：
∵∠B=90°，
∴在Rt△ABF中，∠BAF+∠BFA=90°，
∵△ABF≌△FCD，
∴AF=FD，∠DFC=∠BAF，
∴∠BFA+∠DFC=∠BFA+∠BAF=90°，
∴∠AFD=180°-(∠BFA+∠DFC)=180°-90°=90°，
∴AF⊥FD；
(4) 由折叠性质得△ADE≌△ADF，因此四边形AEDF的面积=2S△ADF，
由(3)可知△ADF是等腰直角三角形，AF=DF=8，
∴$S_{△ ADF}=\frac{1}{2}×AF×DF=\frac{1}{2}×8×8=32$，
∴四边形AEDF的面积=2×32=64。
【答案】
(1)△ADF
(2)AB//CD，证明见解析
(3)AF=FD且AF⊥FD，理由见解析
(4)64
【知识点】
折叠的性质，全等三角形的性质，平行线的判定
【点评】
本题属于几何综合基础题，结合折叠变换、全等三角形、平行线判定、面积计算多个考点，解题核心是熟练掌握折叠与全等的性质，能准确推导角度之间的互余关系。
【难度系数】
0.7