7.【新中考·条件开放】如图，∠ACB=∠ACD，请添加一个条件，使△ABC≌△ADC。

7. BC=DC(答案不唯一)

【分析】
要使△ABC≌△ADC，首先梳理两个三角形现有的相等条件：①AC是两个三角形的公共边，因此AC=AC；②题目已知∠ACB=∠ACD，即已经具备一组边相等、一组角相等的条件。接下来结合全等三角形的判定定理补充缺少的条件即可：若用SAS判定，需要补充已知角的另一边相等，即BC=DC；若用ASA判定，需要补充已知边的另一邻角相等，即∠BAC=∠DAC；若用AAS判定，需要补充对边所对的角相等，即∠B=∠D，任选其一即可。
【解析】
在△ABC和△ADC中：
AC=AC（公共边相等），
∠ACB=∠ACD（已知），
若添加条件BC=DC，
则满足全等三角形判定的SAS（边角边）定理，可证△ABC≌△ADC。
（注：添加∠B=∠D、∠BAC=∠DAC等条件也可证明全等，均符合要求）
【答案】
BC=DC（答案不唯一）
【知识点】
全等三角形的判定、公共边的性质
【点评】
本题是条件开放类题目，重点考查全等三角形判定定理的灵活运用，解题时要先梳理已有的相等条件，再结合判定规则补充缺失的对应边或对应角，注意不能使用“SSA”这类错误的判定依据。
【难度系数】
0.8

8.如图，$AB=AC$，$BD⊥ AC$于点$D$，$CE⊥ AB$于点$E$，$BD$与$CE$相交于点$O$，连接$AO$，则图中全等三角形有（）

A.2对
B.3对
C.4对
D.5对

8. C

【分析】
解题时先梳理已知条件：AB=AC，BD⊥AC、CE⊥AB可得两个直角相等，再结合公共角、公共边、对顶角相等的隐含条件，按顺序逐一排查全等三角形：首先利用AAS证明最外层的两个直角三角形全等，再用得到的相等边、角依次证明其余几对全等，避免遗漏。
【解析】
我们逐一证明全等三角形：
1. ①$△ AEC ≌ △ ADB$
$\because BD⊥ AC, CE⊥ AB$，$\therefore ∠ AEC=∠ ADB=90°$
在$△ AEC$和$△ ADB$中：
$\begin{cases}∠ AEC=∠ ADB \\∠ EAC=∠ DAB(\mathrm{公共角}) \\AC=AB\end{cases}$
$\therefore △ AEC ≌ △ ADB(\mathrm{AAS})$，可得$AE=AD$，$∠ B=∠ C$。
2. ②$△ AEO ≌ △ ADO$
在$\mathrm{Rt}△ AEO$和$\mathrm{Rt}△ ADO$中：
$\begin{cases}AE=AD \\AO=AO(\mathrm{公共边})\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ AEO ≌ \mathrm{Rt}△ ADO(\mathrm{HL})$，可得$EO=DO$，$∠ EAO=∠ DAO$。
3. ③$△ ABO ≌ △ ACO$
在$△ ABO$和$△ ACO$中：
$\begin{cases}AB=AC \\∠ BAO=∠ CAO \\AO=AO(\mathrm{公共边})\end{cases}$
$\therefore △ ABO ≌ △ ACO(\mathrm{SAS})$。
4. ④$△ BEO ≌ △ CDO$
在$△ BEO$和$△ CDO$中：
$\begin{cases}∠ BEO=∠ CDO=90° \\EO=DO \\∠ EOB=∠ DOC(\mathrm{对顶角相等})\end{cases}$
$\therefore △ BEO ≌ △ CDO(\mathrm{ASA})$。
综上共有4对全等三角形。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定；直角三角形全等判定；对顶角的性质
【点评】
本题考查全等三角形的判定，解题时要注意循序渐进，利用已证全等得到的相等边角作为新的条件，依次证明剩余的全等，排查时要做到不重不漏。
【难度系数】
0.7

9.【新情境·荡秋千】小明与爸爸、妈妈在公园里荡秋千.如图,小明坐在秋千的起始位置A处,OA与地面MN垂直,OA延长线交MN于点F.他两脚在地面上用力一蹬,妈妈在B处接住他后用力一推,爸爸在C处接住他.已知点B距地面的高度$BM=DF=1\ \mathrm{m}$,点B,C到OA的水平距离BD,CE分别为$1.4\ \mathrm{m}$和$1.8\ \mathrm{m}$,$∠ BOC=90°$,点C距地面的高度$CN=EF$,求此时CN的长.

9. 解:由题意,得 ∠CEO=∠ODB=90°,OB=OC,BD=1.4 m,CE=1.8 m,
∵∠BOC=90°,
∴∠COE+∠BOD=∠BOD+∠OBD=90°.
∴∠COE=∠OBD. 在△COE和△OBD中,$\begin{cases}∠CEO=∠ODB, \\∠COE=∠OBD, \\OC=BO.\end{cases}$
∴△COE≌△OBD(AAS).
∴CE=OD=1.8 m,OE=BD=1.4 m.
∴DE=OD-OE=CE-BD=1.8-1.4=0.4(m).
∴CN=EF=DE+DF=0.4+1=1.4(m).

【分析】
解题时先从题干和图形中提取已知条件：OB和OC都是秋千的绳索，长度相等；CE、BD都垂直于OA，可得△COE和△OBD都是直角三角形；结合∠BOC=90°，可通过“同角的余角相等”推出∠COE=∠OBD，由此可通过AAS证明两个三角形全等，得到对应边相等后求出DE的长度，最后结合题目给出的CN=EF、DF=1m的条件，代入数值即可算出CN的长度。
【解析】
解：由题意得 $∠ CEO=∠ ODB=90°$，$OB=OC$，$BD=1.4\ \mathrm{m}$，$CE=1.8\ \mathrm{m}$，
$\because∠ BOC=90°$，
$\therefore∠ COE+∠ BOD=∠ BOD+∠ OBD=90°$，
$\therefore∠ COE=∠ OBD$。
在$△ COE$和$△ OBD$中，
$\begin{cases}∠ CEO=∠ ODB, \\∠ COE=∠ OBD, \\OC=BO,\end{cases}$
$\therefore△ COE≌△ OBD(\mathrm{AAS})$，
$\therefore CE=OD=1.8\ \mathrm{m}$，$OE=BD=1.4\ \mathrm{m}$，
$\therefore DE=OD-OE=1.8-1.4=0.4(\mathrm{m})$，
又$\because CN=EF$，$EF=DE+DF$，$DF=1\ \mathrm{m}$，
$\therefore CN=0.4+1=1.4(\mathrm{m})$。
【答案】
$1.4\ \mathrm{m}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；余角的性质；等量代换
【点评】
本题结合荡秋千的生活情境设计问题，将实际问题转化为几何全等模型求解，解题的关键是找到角度关系证明三角形全等，通过全等的性质实现未知线段和已知线段的转化，能有效考查学生将知识应用于实际问题的能力。
【难度系数】
0.6

10.【问题情境】如图1,在$Rt△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AD⊥ BC$于点$D$,可知:$∠ BAD=∠ C$(不需要证明);
【特例探究】如图2,$∠ MAN=90°$,射线$AE$在这个角的内部,点$B,C$分别在$∠ MAN$的边$AM,AN$上,且$AB=AC$,$CF⊥ AE$于点$F$,$BD⊥ AE$于点$D$.求证:$△ ABD≌△ CAF$;
【归纳证明】如图3,点$B,C$分别在$∠ MAN$的边$AM,AN$上,点$E,F$在$∠ MAN$内部的射线$AD$上,$∠1,∠2$分别是$△ ABE$,$△ CAF$的外角.已知$AB=AC$,$∠1=∠2=∠ BAC$.求证:$△ ABE≌△ CAF$.

10. 证明:【特例探究】
∵CF⊥AE,BD⊥AE,∠MAN=90°,
∴∠BDA=∠AFC=90°,∠ABD+∠BAD=90°,∠BAD+∠CAF=90°.
∴∠ABD=∠CAF. 在△ABD 和△CAF 中,$\begin{cases}∠BDA=∠AFC, \\∠ABD=∠CAF, \\AB=CA,\end{cases}$
∴△ABD≌△CAF(AAS).【归纳证明】
∵∠1=∠2=∠BAC,∠1=∠BAE+∠ABE,∠BAC=∠BAE+∠CAF,∠2=∠ACF+∠CAF,
∴∠ABE=∠CAF,∠BAE=∠ACF. 在△ABE 和△CAF 中,$\begin{cases}∠ABE=∠CAF, \\AB=CA, \\∠BAE=∠ACF,\end{cases}$
∴△ABE≌△CAF(ASA).

【分析】
本题分为两个证明模块，解题思路清晰可寻：
1. 特例探究：要证△ABD≌△CAF，首先已知AB=AC，由两条线段垂直于AE可得一组直角相等；再结合∠MAN=90°，利用同角的余角相等可推出∠ABD=∠CAF，凑齐AAS全等判定的三组条件即可完成证明。
2. 归纳证明：要证△ABE≌△CAF，已知AB=AC，结合∠1=∠2=∠BAC的条件，利用三角形外角的性质和角的和差关系，分别推导得出∠ABE=∠CAF、∠BAE=∠ACF，凑齐ASA全等判定的三组条件即可完成证明。
【解析】
特例探究
∵CF⊥AE，BD⊥AE，∠MAN=90°，
∴∠BDA=∠AFC=90°，∠ABD+∠BAD=90°，∠BAD+∠CAF=90°，
∴∠ABD=∠CAF。
在△ABD和△CAF中：
$\begin{cases}∠BDA=∠AFC \\∠ABD=∠CAF \\AB=CA\end{cases}$
∴△ABD≌△CAF（AAS）。
归纳证明
∵∠1=∠2=∠BAC，∠1=∠BAE+∠ABE，∠BAC=∠BAE+∠CAF，∠2=∠ACF+∠CAF，
∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠ACF。
在△ABE和△CAF中：
$\begin{cases}∠ABE=∠CAF \\AB=CA \\∠BAE=∠ACF\end{cases}$
∴△ABE≌△CAF（ASA）。
【答案】
证明见上述解析过程。
【知识点】
全等三角形的判定，同角的余角相等，三角形外角的性质
【点评】
本题按照从特殊到一般的逻辑设计，核心考查全等三角形的判定方法，需要学生灵活运用角的相关性质推导等量关系，是三角形全等证明的基础题型，对训练几何逻辑推理能力有较好的作用。
【难度系数】
0.7