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18. (10分)某校为了解九年级女生的体育考试准备情况,随机抽取部分女生进行立定跳远测试,测试成绩由高到低分为“优秀”“良好”“合格”与“不合格”四个等级,根据成绩绘制成如下两幅不完整的统计图.
根据图中信息,解答下列问题.
(1)扇形统计图中“不合格”对应的扇形圆心角为
(2)该校九年级有400名女生,请你估计成绩未达到良好的女生人数.
(3)某班现拟选派甲、乙两位成绩“优秀”的女生参加校运会立定跳远比赛,预赛分为A,B,C,D四组进行,选手由抽签确定分组.请利用画树状图或列表的方法,求甲、乙两名女生恰好分在同一组的概率.
根据图中信息,解答下列问题.
(1)扇形统计图中“不合格”对应的扇形圆心角为
36
°,并补全条形统计图.(2)该校九年级有400名女生,请你估计成绩未达到良好的女生人数.
(3)某班现拟选派甲、乙两位成绩“优秀”的女生参加校运会立定跳远比赛,预赛分为A,B,C,D四组进行,选手由抽签确定分组.请利用画树状图或列表的方法,求甲、乙两名女生恰好分在同一组的概率.
答案
18. 解:(1)由题意,得抽取的人数为$8÷20\%=40$(人),
∴扇形统计图中“不合格”对应的扇形圆心角为$360°×\frac{4}{40}=36°$.“合格”的人数为$40-8-20-4=8$(人).补全条形统计图如图所示.
(2)$400×\frac{8+4}{40}=120$(人),∴估计成绩未达到良好的女生人数为120人. (3)列表如下.
| | A | B | C | D |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | (D,D) |
共有16种等可能的结果,其中甲、乙两名女生恰好分在同一组的结果有4种,
∴甲、乙两名女生恰好分在同一组的概率为$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$.
19. (10分)如图①,在$△ ABC$中,BD,CE分别是边AC,AB上的中线,BD与CE交于点O,点F是BO的中点,点G是CO的中点.
(1)求证:四边形DEFG是平行四边形.
(2)如图②,当$AB=AC$时,求证:四边形DEFG是矩形.
(1)求证:四边形DEFG是平行四边形.
(2)如图②,当$AB=AC$时,求证:四边形DEFG是矩形.
答案
19. 证明:(1)
∵BD,CE分别是边AC,AB上的中线,
∴点D,E分别是AC和AB的中点,
∴DE是$△ABC$的中位线,
∴$DE// BC$,$DE=\frac{1}{2}BC$.同理,$FG// BC$,$FG=\frac{1}{2}BC$,
∴$DE// FG$,$DE=FG$,
∴四边形DEFG是平行四边形. (2)
∵BD,CE分别是边AC,AB上的中线,
∴$BE=\frac{1}{2}AB$,$CD=\frac{1}{2}AC$.
∵$AB=AC$,
∴$BE=CD$,$∠EBC=∠DCB$.
∵$BC=CB$,
∴$△EBC≌△DCB$(SAS),
∴$CE=BD$.
∵BD,CE分别是边AC,AB上的中线,
∴点O是$△ABC$的重心,易证$OE=\frac{1}{3}CE$,$OD=\frac{1}{3}BD$,
∴$OE=OD$,
∴$OC=OB$.
∵点F,G分别是OB和OC的中点,
∴$OF=\frac{1}{2}OB$,$OG=\frac{1}{2}OC$,
∴$OF=OG$,
∴$OE+OG=OD+OF$,
∴$EG=DF$.由(1)知四边形DEFG是平行四边形,
∴四边形DEFG是矩形.
∵BD,CE分别是边AC,AB上的中线,
∴点D,E分别是AC和AB的中点,
∴DE是$△ABC$的中位线,
∴$DE// BC$,$DE=\frac{1}{2}BC$.同理,$FG// BC$,$FG=\frac{1}{2}BC$,
∴$DE// FG$,$DE=FG$,
∴四边形DEFG是平行四边形. (2)
∵BD,CE分别是边AC,AB上的中线,
∴$BE=\frac{1}{2}AB$,$CD=\frac{1}{2}AC$.
∵$AB=AC$,
∴$BE=CD$,$∠EBC=∠DCB$.
∵$BC=CB$,
∴$△EBC≌△DCB$(SAS),
∴$CE=BD$.
∵BD,CE分别是边AC,AB上的中线,
∴点O是$△ABC$的重心,易证$OE=\frac{1}{3}CE$,$OD=\frac{1}{3}BD$,
∴$OE=OD$,
∴$OC=OB$.
∵点F,G分别是OB和OC的中点,
∴$OF=\frac{1}{2}OB$,$OG=\frac{1}{2}OC$,
∴$OF=OG$,
∴$OE+OG=OD+OF$,
∴$EG=DF$.由(1)知四边形DEFG是平行四边形,
∴四边形DEFG是矩形.
20. (10分)某消防大队进行消防演习. 图①是一辆登高云梯消防车的实物图, 图②是其工作示意图, 起重臂AC可伸缩(15 m≤AC≤26 m), 且起重臂AC可绕点A在一定范围内转动, 张角为∠CAE(90°≤∠CAE≤150°), 转动点A距离地面BD的高度AE为3 m.
(1)当起重臂AC长度为20 m,张角∠CAE=127°时,求云梯消防车最高点C距离地面BD的高度.
(2)已知某小区层高为2.8 m,若该小区某居民家突发险情,请问该消防车能有效救援几层?请说明理由.(参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75,√3≈1.73)
(1)当起重臂AC长度为20 m,张角∠CAE=127°时,求云梯消防车最高点C距离地面BD的高度.
(2)已知某小区层高为2.8 m,若该小区某居民家突发险情,请问该消防车能有效救援几层?请说明理由.(参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75,√3≈1.73)
答案
20. 解:(1)过点C作$CF⊥BD$,垂足为点F,过点A作$AG⊥CF$,垂足为点G,则$AE=FG=3$ m,$∠EAG=∠AGC=90°$.
∵$∠CAE=127°$,
∴$∠CAG=∠CAE-∠EAG=127°-90°=37°$.在$\mathrm{Rt}△AGC$中,$AC=20$ m,$\sin∠CAG=\sin 37°=\frac{CG}{AC}≈0.60$,
∴$CG=AC·\sin 37°≈20×0.60=12$(m),
∴$CF=CG+GF=12+3=15$(m),
∴云梯消防车最高点C距离地面BD的高度为15 m. (2)该消防车能有效救援10层.理由:当$∠CAE=150°$,$AC=26$ m时,能达到最大高度.
∵$∠EAG=90°$,
∴$∠CAG=∠CAE-∠EAG=150°-90°=60°$.在$\mathrm{Rt}△CAG$中,$\sin∠CAG=\sin 60°=\frac{CG}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴$CG=AC·\sin 60°=26×\frac{\sqrt{3}}{2}=13\sqrt{3}$(m),
∴$CF=CG+FG=13\sqrt{3}+3≈25.49$(m).
∵$25.49÷2.8≈9.1$,
∴该消防车能有效救援10层.
∵$∠CAE=127°$,
∴$∠CAG=∠CAE-∠EAG=127°-90°=37°$.在$\mathrm{Rt}△AGC$中,$AC=20$ m,$\sin∠CAG=\sin 37°=\frac{CG}{AC}≈0.60$,
∴$CG=AC·\sin 37°≈20×0.60=12$(m),
∴$CF=CG+GF=12+3=15$(m),
∴云梯消防车最高点C距离地面BD的高度为15 m. (2)该消防车能有效救援10层.理由:当$∠CAE=150°$,$AC=26$ m时,能达到最大高度.
∵$∠EAG=90°$,
∴$∠CAG=∠CAE-∠EAG=150°-90°=60°$.在$\mathrm{Rt}△CAG$中,$\sin∠CAG=\sin 60°=\frac{CG}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴$CG=AC·\sin 60°=26×\frac{\sqrt{3}}{2}=13\sqrt{3}$(m),
∴$CF=CG+FG=13\sqrt{3}+3≈25.49$(m).
∵$25.49÷2.8≈9.1$,
∴该消防车能有效救援10层.
