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9. 如图,点 A 在反比例函数$y_1=\frac{3}{x}(x＞0)$的图象上,过点 A 作 x 轴的垂线交反比例函数$y_2=\frac{7}{x}(x＞0)$的图象于点 C,直线 BD 垂直平分线段 AC,分别交两反比例函数的图象于点 D,B,设点 A 的横坐标为 n.下列观点正确的是(
观点1:当$n=4$时,线段 AC 的长为 1.
观点2:若四边形 ABCD 是正方形,则 AB 的长为$\frac{4\sqrt{5}}{5}$.
A.只有观点1正确
B.只有观点2正确
C.观点1,2都正确
D.观点1,2都不正确
A
)观点1:当$n=4$时,线段 AC 的长为 1.
观点2:若四边形 ABCD 是正方形,则 AB 的长为$\frac{4\sqrt{5}}{5}$.
A.只有观点1正确
B.只有观点2正确
C.观点1,2都正确
D.观点1,2都不正确
答案
9. A 解析 由题意,当n=4时,
∵点A在反比例函数$y_1=\frac{3}{x}(x＞0)$的图象上,过点A作x轴的垂线交反比例函数$y_2=\frac{7}{x}(x＞0)$的图象于点C,
∴$A(4,\frac{3}{4})$,$C(4,\frac{7}{4})$,
∴$AC=\frac{7}{4}-\frac{3}{4}=1$,故观点1正确.由题意,得$A(n,\frac{3}{n})$,$C(n,\frac{7}{n})$.
∵直线BD垂直平分线段AC,
∴B,D纵坐标为$\frac{1}{2}(\frac{3}{n}+\frac{7}{n})=\frac{5}{n}$.又
∵B在反比例函数$y_2=\frac{7}{x}(x＞0)$的图象上,D在反比例函数$y_1=\frac{3}{x}(x＞0)$的图象上,
∴B的横坐标为$\frac{7n}{5}$,D的横坐标为$\frac{3n}{5}$,
∴BD与AC互相平分,$BD=\frac{4}{5}n$.
∵$AC=\frac{4}{n}$,
∴若四边形ABCD是正方形,则$AC=BD$,
∴$\frac{4}{5}n=\frac{4}{n}$,
∴$n^2=5$,则$n=\sqrt{5}$(负值舍去),
∴$AC=BD=\frac{4}{5}\sqrt{5}$,
∴$AB=\frac{\sqrt{2}}{2}BD=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{4}{5}\sqrt{5}=\frac{2}{5}\sqrt{10}$,故观点2错误.
∵点A在反比例函数$y_1=\frac{3}{x}(x＞0)$的图象上,过点A作x轴的垂线交反比例函数$y_2=\frac{7}{x}(x＞0)$的图象于点C,
∴$A(4,\frac{3}{4})$,$C(4,\frac{7}{4})$,
∴$AC=\frac{7}{4}-\frac{3}{4}=1$,故观点1正确.由题意,得$A(n,\frac{3}{n})$,$C(n,\frac{7}{n})$.
∵直线BD垂直平分线段AC,
∴B,D纵坐标为$\frac{1}{2}(\frac{3}{n}+\frac{7}{n})=\frac{5}{n}$.又
∵B在反比例函数$y_2=\frac{7}{x}(x＞0)$的图象上,D在反比例函数$y_1=\frac{3}{x}(x＞0)$的图象上,
∴B的横坐标为$\frac{7n}{5}$,D的横坐标为$\frac{3n}{5}$,
∴BD与AC互相平分,$BD=\frac{4}{5}n$.
∵$AC=\frac{4}{n}$,
∴若四边形ABCD是正方形,则$AC=BD$,
∴$\frac{4}{5}n=\frac{4}{n}$,
∴$n^2=5$,则$n=\sqrt{5}$(负值舍去),
∴$AC=BD=\frac{4}{5}\sqrt{5}$,
∴$AB=\frac{\sqrt{2}}{2}BD=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{4}{5}\sqrt{5}=\frac{2}{5}\sqrt{10}$,故观点2错误.
10.某种商品原价是每件a元，商店老板为了增加销量，减少库存，第一次降价打“八折”，第二次降价每件又减8元.两次降价后的售价是每件
0.8a−8
元.答案
10. 0.8a−8
11. 吉安作为庐陵文化的发源地，历史上书院众多. 为了更好地了解庐陵文化，小明周末计划从白鹭洲书院、阳明书院、皇寮书院、匡山书院、龙江书院、燕山书院和复真书院七个书院中随机选择一个进行实地参观，他选择去白鹭洲书院的概率为
$\frac{1}{7}$
.答案
11. $\frac{1}{7}$
12.如果关于$x$的方程$x^2 + 3x - m = 0$有实数根，那么$m$的取值范围是
$m≥-\frac{9}{4}$
.答案
12. $m≥-\frac{9}{4}$
13. 如图，由5个大小、形状完全相同的小长方形构造出一个大长方形，大长方形的周长为60，且阴影部分的面积为116，则每个小长方形的面积为
21
。答案
13. 21
14.如图，抛物线$y=-\dfrac{1}{4}x^2+x+3$与$x$轴交于$A$，$B$两点，与$y$轴交于点$C$，将抛物线向右平移$m$个单位$(m＞0)$，点$C$平移到点$D$，点$A$平移到点$E$，连接$DE$，$CE$.若$∠ DEC=90°$，则$m=$
$\frac{13}{2}$
.答案
14. $\frac{13}{2}$ 解析 如图,令$x=0$,解得$y=3$,则$OC=3$,令$y=0$,解得$x_1=-2$,$x_2=6$,则$OA=2$.由平移得$AC// DE$,平移距离$m=AE$,
∴$∠ACE=∠DEC=90°$.
∵$∠ACO+∠OCE=90°$,$∠ACO+∠CAO=90°$,
∴$∠CAO=∠OCE$,
∴$\tan∠CAO=\tan∠OCE$.在$\mathrm{Rt}△ACO$中,$\tan∠CAO=\frac{OC}{AO}=\frac{3}{2}$.在$\mathrm{Rt}△ECO$中,$\tan∠OCE=\frac{OE}{OC}=\frac{OE}{3}$,
∴$\frac{OE}{3}=\frac{3}{2}$,解得$OE=\frac{9}{2}$,
∴$AE=AO+OE=\frac{13}{2}$,即$m=\frac{13}{2}$.
15.如图,在边长为4的正方形ABCD中,对角线AC,BD交于点O.点E在线段OA上,连接BE,作$CF ⊥ BE$于点F,交OB于点P.给出下面四个结论:①$∠ OCP = ∠ OBE$;②$OE=OP$;③当$CE=CB$时,$BP=EF$;④点A与点F之间的距离的最小值为$2\sqrt{5}-2$.上述结论中,正确结论的序号有
①②④
.答案
15. ①②④ 解析
∵四边形ABCD是正方形,
∴$AB=BC=CD=AD$,$∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°$,$AC⊥BD$,$OA=OB=OC=OD$.
∵$CF⊥BE$,
∴$∠COP=∠BFP=90°$.
∵$∠CPO=∠BPF$,
∴$∠OCP=∠OBE$,故①正确.
∵$∠COP=∠BOE=90°$,$OC=OB$,
∴$△COP≌△BOE$(ASA),
∴$OP=OE$,故②正确.当$CE=CB$时,
∵$CF⊥BE$,
∴$EF=BF$,$∠BFP=90°$,
∴$BP＞BF=EF$,故③错误.如图,取BC的中点R,连接AF,RF.
∵$∠CFB=90°$,
∴点F在以点R为圆心,BC为直径的圆上,当点A,F,R共线时,AF最小.
∵$AB=BC=4$,
∴$RF=RB=2$,
∴$AR=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$,
∴$AF=2\sqrt{5}-2$,
∴点A与点F之间的距离的最小值为$2\sqrt{5}-2$,故④正确.
三、解答题(本大题共8小题,共90分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(10分)(1)计算:$\sqrt{18}+(-1)^0+|-2|$.
(2)化简:$(\dfrac{x^2-3x+1}{x}+1)÷\dfrac{x-1}{x}$.
16.(10分)(1)计算:$\sqrt{18}+(-1)^0+|-2|$.
(2)化简:$(\dfrac{x^2-3x+1}{x}+1)÷\dfrac{x-1}{x}$.
答案
解：
(1) 计算$\sqrt{18}+(-1)^0+|-2|$：
先分别化简各项：
$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，
根据零指数幂的性质，$(-1)^0=1$，
根据绝对值的性质，$|-2|=2$，
将各项结果相加：
$\sqrt{18}+(-1)^0+|-2|=3\sqrt{2}+1+2=3\sqrt{2}+3$
(2) 化简$(\dfrac{x^2-3x+1}{x}+1)÷\dfrac{x-1}{x}$：
先对括号内的部分通分计算：
$\dfrac{x^2-3x+1}{x}+1=\dfrac{x^2-3x+1}{x}+\dfrac{x}{x}=\dfrac{x^2-3x+1+x}{x}=\dfrac{x^2-2x+1}{x}$
将除法转化为乘法运算：
$\dfrac{x^2-2x+1}{x}÷\dfrac{x-1}{x}=\dfrac{x^2-2x+1}{x}·\dfrac{x}{x-1}$
对分子因式分解并约分：
$\dfrac{(x-1)^2}{x}·\dfrac{x}{x-1}=x-1$
(1) 计算$\sqrt{18}+(-1)^0+|-2|$：
先分别化简各项：
$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，
根据零指数幂的性质，$(-1)^0=1$，
根据绝对值的性质，$|-2|=2$，
将各项结果相加：
$\sqrt{18}+(-1)^0+|-2|=3\sqrt{2}+1+2=3\sqrt{2}+3$
(2) 化简$(\dfrac{x^2-3x+1}{x}+1)÷\dfrac{x-1}{x}$：
先对括号内的部分通分计算：
$\dfrac{x^2-3x+1}{x}+1=\dfrac{x^2-3x+1}{x}+\dfrac{x}{x}=\dfrac{x^2-3x+1+x}{x}=\dfrac{x^2-2x+1}{x}$
将除法转化为乘法运算：
$\dfrac{x^2-2x+1}{x}÷\dfrac{x-1}{x}=\dfrac{x^2-2x+1}{x}·\dfrac{x}{x-1}$
对分子因式分解并约分：
$\dfrac{(x-1)^2}{x}·\dfrac{x}{x-1}=x-1$
17. (12分)(1)解不等式组：$\begin{cases} 3 - x ＜ 2x + 6 \quad ① \\ \dfrac{x - 1}{2} ≥ \dfrac{x + 1}{3} \quad ② \end{cases}$。
(2)已知$x_1, x_2$是方程$x^2 - (2k - 1)x + k - 3 = 0$的两个实数根，且满足$x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 = 0$，求$k$的值。
(2)已知$x_1, x_2$是方程$x^2 - (2k - 1)x + k - 3 = 0$的两个实数根，且满足$x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 = 0$，求$k$的值。
答案
17. 解:(1)解不等式①,得$x＞-1$.解不等式②,得$x≥5$,所以不等式组的解集为$x≥5$. (2)因为$x_1$,$x_2$是方程$x^2-(2k-1)x+k-3=0$的两个实数根,所以$x_1+x_2=2k-1$,$x_1x_2=k-3$.因为$x_1^2x_2+x_1x_2^2=0$,所以$x_1x_2·(x_1+x_2)=0$,所以$(k-3)(2k-1)=0$,解得$k=3$或$k=\frac{1}{2}$,经检验,均符合题意.
