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21. (12分)根据下列素材，按要求完成任务.
如何设计利润最大方案
素材一 临近春节，某商场以25元/件的价格购进一种吉祥物，根据规定，这种吉祥物的售价不高于50元/件.
素材二 根据市场调查可得，每天的销售量y(单位：件)与售价x(单位：元/件)的部分数值如下.
任务一 确定每天的销售量与售价之间的关系 请求出每天的销售量y与售价x之间的函数解析式.
任务二 预估售价 若商场销售这种吉祥物每天想获得900元的总利润，每件商品的售价应定为多少？
任务三 拟定销售方案 设商场销售这种吉祥物每天获得的总利润为w元，请探究商场将吉祥物的售价定为多少时，可使每天获得的总利润最大.
如何设计利润最大方案
素材一 临近春节，某商场以25元/件的价格购进一种吉祥物，根据规定，这种吉祥物的售价不高于50元/件.
素材二 根据市场调查可得，每天的销售量y(单位：件)与售价x(单位：元/件)的部分数值如下.
任务一 确定每天的销售量与售价之间的关系 请求出每天的销售量y与售价x之间的函数解析式.
任务二 预估售价 若商场销售这种吉祥物每天想获得900元的总利润，每件商品的售价应定为多少？
任务三 拟定销售方案 设商场销售这种吉祥物每天获得的总利润为w元，请探究商场将吉祥物的售价定为多少时，可使每天获得的总利润最大.
答案
21. 解:任务一:观察表格可得y是x的一次函数,设$y=kx+b$,把(35,70)和(40,60)代入,得$\begin{cases} 35k+b=70 \\ 40k+b=60 \end{cases}$,解得$\begin{cases} k=-2 \\ b=140 \end{cases}$,所以$y=-2x+140(25≤x≤50)$. 任务二:由题意,得$(x-25)(-2x+140)=900$,解得$x=40$或$x=55$.因售价不高于50元/件,故$x=40$.答:每件商品的售价应定为40元. 任务三:总利润$w=(x-25)(-2x+140)=-2x^2+190x-3500$,抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{190}{2×(-2)}=47.5$.
∵$25≤47.5≤50$,且$-2＜0$,
∴当$x=47.5$时,利润最大.答:将售价定为47.5元/件时,可使每天获得的总利润最大.
∵$25≤47.5≤50$,且$-2＜0$,
∴当$x=47.5$时,利润最大.答:将售价定为47.5元/件时,可使每天获得的总利润最大.
22. (12分)如图，$\odot O$中的两条弦$AB⊥ CD$于点E，点F在$\odot O$上，$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BF}$。连接AF交CD于点G，交BC于点H.
(1)若$AE=2$，$BE=4$，$BC=BA$，求BH的长.
(2)分别连接$DF$，$EH$，求证：$DF// EH$.
(1)若$AE=2$，$BE=4$，$BC=BA$，求BH的长.
(2)分别连接$DF$，$EH$，求证：$DF// EH$.
答案
22. (1)解:
∵$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BF}$,
∴$∠C=∠A$.
∵$AB⊥CD$,
∴$∠AEC=90°$,
∴$∠A+∠AGD=90°$.
∵$∠CGF=∠AGD$,
∴$∠DCB+∠CGH=90°$,
∴$∠CHG=90°$,
∴$∠AHB=∠CEB=90°$.在$△AHB$和$△CEB$中,$\begin{cases} ∠AHB=∠CEB \\ ∠B=∠B \\ AB=CB \end{cases}$,
∴$△AHB ≌ △CEB$(AAS),
∴$BH=BE=4$. (2)证明:连接CF,BF.
∵$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BF}$,
∴$∠A=∠DCB$.
∵$∠B=∠B$,
∴$△ABH ∽ △CBE$,
∴$\frac{AH}{CE}=\frac{AB}{CB}$,即$\frac{AH}{AB}=\frac{CE}{CB}$.
∵$∠AHB=∠CHF$,$∠A=∠FCB$,
∴$△AHB ∽ △CHF$,
∴$\frac{AH}{CH}=\frac{AB}{CF}$,即$\frac{AH}{AB}=\frac{CH}{CF}$,
∴$\frac{CE}{CB}=\frac{CH}{CF}$.
∵$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BF}$,
∴$∠ECB=∠FCB$,
∴$△CEH ∽ △CBF$,
∴$∠CEH=∠CBF$.
∵$∠CBF=∠D$,
∴$∠CEH=∠D$,
∴$DF// EH$.
∵$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BF}$,
∴$∠C=∠A$.
∵$AB⊥CD$,
∴$∠AEC=90°$,
∴$∠A+∠AGD=90°$.
∵$∠CGF=∠AGD$,
∴$∠DCB+∠CGH=90°$,
∴$∠CHG=90°$,
∴$∠AHB=∠CEB=90°$.在$△AHB$和$△CEB$中,$\begin{cases} ∠AHB=∠CEB \\ ∠B=∠B \\ AB=CB \end{cases}$,
∴$△AHB ≌ △CEB$(AAS),
∴$BH=BE=4$. (2)证明:连接CF,BF.
∵$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BF}$,
∴$∠A=∠DCB$.
∵$∠B=∠B$,
∴$△ABH ∽ △CBE$,
∴$\frac{AH}{CE}=\frac{AB}{CB}$,即$\frac{AH}{AB}=\frac{CE}{CB}$.
∵$∠AHB=∠CHF$,$∠A=∠FCB$,
∴$△AHB ∽ △CHF$,
∴$\frac{AH}{CH}=\frac{AB}{CF}$,即$\frac{AH}{AB}=\frac{CH}{CF}$,
∴$\frac{CE}{CB}=\frac{CH}{CF}$.
∵$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BF}$,
∴$∠ECB=∠FCB$,
∴$△CEH ∽ △CBF$,
∴$∠CEH=∠CBF$.
∵$∠CBF=∠D$,
∴$∠CEH=∠D$,
∴$DF// EH$.
23.(14分)【基础巩固】
(1)如图①,在△ABC中,点D为AB上一点,∠ACD=∠B.求证:AC²=AD·AB.
【尝试应用】
(2)如图②,在ABCD中,点E为BC上一点,点F为CD延长线上的一点,∠BFE=∠A.若BF=3,BE=2,求AD的长.
【拓展提高】
(3)如图③,在菱形ABCD中,点E为AB上一点,点F是△ABC内一点,EF//AC,AC=2EF,∠EDF=$\frac{1}{2}$∠BAD,AE=1,DF=3,求出菱形ABCD的边长.
(1)如图①,在△ABC中,点D为AB上一点,∠ACD=∠B.求证:AC²=AD·AB.
【尝试应用】
(2)如图②,在ABCD中,点E为BC上一点,点F为CD延长线上的一点,∠BFE=∠A.若BF=3,BE=2,求AD的长.
【拓展提高】
(3)如图③,在菱形ABCD中,点E为AB上一点,点F是△ABC内一点,EF//AC,AC=2EF,∠EDF=$\frac{1}{2}$∠BAD,AE=1,DF=3,求出菱形ABCD的边长.
答案
23. (1)证明:
∵$∠ACD=∠B$,$∠A=∠A$,
∴$△ADC∽△ACB$,
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$,
∴$AC^2=AD·AB$. (2)解:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴$AD=BC$,$∠A=∠C$.又
∵$∠BFE=∠A$,
∴$∠BFE=∠C$.又
∵$∠FBE=∠CBF$,
∴$△BFE∽△BCF$,
∴$\frac{BF}{BC}=\frac{BE}{BF}$,
∴$BF^2=BE·BC$,
∴$BC=\frac{BF^2}{BE}=\frac{9}{2}$,
∴$AD=\frac{9}{2}$. (3)解:如图,分别延长EF,DC相交于点G.
∵四边形ABCD是菱形,
∴$AB// DC$.
∵$AC// EF$,
∴四边形AEGC为平行四边形,
∴$AC=EG$,$CG=AE=1$,$∠EAC=∠G$.
∵$∠EDF=\frac{1}{2}∠BAD$,
∴$∠EDF=∠BAC$,
∴$∠EDF=∠G$.又
∵$∠DEF=∠GED$,
∴$△EDF∽△EGD$,
∴$\frac{ED}{EG}=\frac{EF}{DE}$,
∴$DE^2=EF·EG$.又
∵$EG=AC=2EF$,
∴$DE^2=2EF^2$,
∴$DE=\sqrt{2}EF$.又由$△EDF∽△EGD$易得$\frac{DG}{DF}=\frac{DE}{EF}$,
∴$DG=\sqrt{2}DF=3\sqrt{2}$,
∴$DC=DG-CG=3\sqrt{2}-1$,
∴菱形ABCD的边长为$3\sqrt{2}-1$.
