1. (2025·新疆中考变式)如图，$△ ABC$内接于$\odot O$，$∠ B = 45°$，连接AO并延长交$\odot O$于点D，连接CD，直线EF经过点C且$EF // AD$。
(1)求证：EF是$\odot O$的切线。
(2)若$∠ ACB = 30°$，$AB = 2\sqrt{2}$，求图中阴影部分的面积。(结果保留$π$和根号)

1. (1) 证明：如图，连接 OC. $\because AD$ 是$\odot O$ 的直径，$\therefore ∠ACD = 90°. \because ∠ADC = ∠ABC = 45°$，$\therefore ∠DAC= ∠ADC = 45°, \therefore AC = DC. \because OA = OD, \therefore OC ⊥ AD. \because$ 直线 EF 经过点 C 且 $EF // AD, \therefore ∠OCF = ∠AOC = 90°. \because OC$ 是$\odot O$ 的半径，且 $EF ⊥ OC$ 于点 C，$\therefore EF$ 是 $\odot O$ 的切线。
(2) 解：如图，连接 BD，作 $AH ⊥ BC$ 于点 H，则$∠ABD = ∠AHB = ∠AHC = 90°, ∠ADB = ∠ACB=30°, \therefore ∠HAB = ∠ABC = 45°, \therefore AH = BH,AC=2AH. \because AB=2\sqrt{2}, \therefore AD=2AB=4\sqrt{2}, \therefore OC=OA=OD=\frac{1}{2}AD=2\sqrt{2}. \because ∠AOC=90°$，$\therefore S_{\mathrm{扇形}AOC}=\frac{90π × (2\sqrt{2})^2}{360}=2π, S_{△ AOC}=\frac{1}{2} × 2\sqrt{2} × 2\sqrt{2}=4. \because AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=\sqrt{2} BH=2\sqrt{2}$，$\therefore AH = BH = 2, \therefore AC = 2AH = 4, \therefore CH = \sqrt{AC^2-AH^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}, \therefore BC=BH+CH=2+2\sqrt{3}, \therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × (2+2\sqrt{3}) × 2=2+2\sqrt{3}, \therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}AOC}-S_{△ AOC}+S_{△ ABC}=2π-4+2+2\sqrt{3}=2π+2\sqrt{3}-2, \therefore$ 阴影部分的面积是 $2π+2\sqrt{3}-2$。

2. (2022·新疆中考变式)如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$BE$是$△ ABC$的角平分线,$DE ⊥ BE$交$AB$于点$D$,$\odot O$是$△ BDE$的外接圆,且交$BC$于点$F$.
(1)求证:$AC$是$\odot O$的切线.
(2)若$BD=10$,$CE=4$,求线段$CF$的长.

2. (1) 证明：如图，连接 OE. $\because BE$ 平分 $∠CBD$，$\therefore ∠CBE = ∠DBE. \because OB = OE, \therefore ∠OEB = ∠DBE, \therefore ∠OEB=∠CBE, \therefore OE// BC. \because ∠C=90°, \therefore ∠AEO=90°, \therefore OE ⊥ AC. \because OE$ 是$\odot O$ 的半径，$\therefore AC$ 是$\odot O$ 的切线。
(2) 解：如图，作 $OP ⊥ BC$ 于点 P，则$∠OEC=∠OPC=90°. \because ∠C=90°, \therefore$ 四边形 CEOP 是矩形，$\therefore CP=OE=5, OP=CE=4.$ 在 $\mathrm{Rt}△ BPO$ 中，$OB=5, OP=4, \therefore BP=\sqrt{OB^2-OP^2}=3. \because OP ⊥ BC, \therefore BP=PF=3, \therefore CF=CP-PF=2, \therefore$ 线段 CF 的长是 2。

1.(新疆一模)如图，AB是$\odot O$的直径，BD是$\odot O$的弦，延长BD到点C，使$DC=BD$，连接AC，作$DE⊥ AC$。
(1)求证：$AB=AC$。
(2)求证：DE为$\odot O$的切线。

1. (1) 如图，连接AD，
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ADB=90°$。又
∵$DC=BD$，
∴AD是BC的中垂线。
∴$AB=AC$。
(2) 如图，连接OD，
∵$OA=OB$，$CD=BD$，
∴OD是$△ BAC$的中位线，
∴$OD// AC$，
∴$∠ ODE=∠ CED$。又
∵$DE⊥ AC$，
∴$∠ CED=90°$，
∴$∠ ODE=90°$，即$OD⊥ DE$。
∵OD是$\odot O$的半径，
∴DE为$\odot O$的切线。

2.(喀什模拟)如图,已知$△ ABC$,以AB为直径的$\odot O$与BC,AC分别交于点D,E,AF与过E点的切线EF垂直,垂足为点F.
(1)求证:AC平分$∠ BAF$.
(2)当$BC=AC$时,求证:$CD=CE$.

2. (1) 如图，连接OE。
∵EF为$\odot O$的切线，
∴$OE⊥ EF$，
∴$∠ OEF=90°$。
∵$AF⊥ EF$，
∴$∠ AFE=90°$，
∴$∠ OEF=∠ AFE=90°$，
∴$∠ OEF+∠ AFE=180°$，
∴$AF// OE$，
∴$∠ FAE=∠ AEO$。
∵$OE=OA$，
∴$∠ OAE=∠ AEO$，
∴$∠ FAE=∠ OAE$，即AC平分$∠ BAF$。
(2) 如图，连接OD。
∵$BC=AC$，
∴$∠ ABC=∠ OAE$。
∵$OA=OE=OB=OD$，
∴$∠ OEA=∠ OAE=∠ OBD=∠ ODB$，
∴$∠ AOE=∠ BOD$，
∴$BD=AE$，
∴$CD=CE$。