3.(喀什模拟)如图,AB是$\odot O$的直径,AC是一条弦,D是$\overset{\frown}{AC}$的中点,$DN ⊥ AB$于点E,交AC于点F,连接DB交AC于点G.(1)求证:$AF=DF$.(2)延长GD至点M,使$DM=DG$,连接AM.求证:AM是$\odot O$的切线.

3. (1) 如图，D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，连接AD，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$∠ ABD=∠ CAD$。
∵$DN⊥ AB$，AB为$\odot O$的直径，
∴$\overset{\frown}{AN}=\overset{\frown}{AD}$，
∴$∠ ADN=∠ ABD$，
∴$∠ ADN=∠ CAD$，
∴$AF=DF$。
(2)
∵AB为$\odot O$的直径，
∴$∠ ADB=∠ ADM=90°$，
∴$∠ B+∠ BAD=90°$。
∵$DM=DG$，
∴AD是MG的垂直平分线，
∴$AM=AG$，
∴$∠ MAD=∠ GAD$，$∠ M=∠ AGD=∠ GAB+∠ B$。
∵$∠ GAD=∠ B$，
∴$∠ MAD=∠ B$，
∴$∠ MAD+∠ BAD=∠ B+∠ BAD=90°$，
∴$∠ BAM=90°$。
∵AB为$\odot O$的直径，
∴AM是$\odot O$的切线。

4.(和田模拟)如图，AB是$\odot O$的直径，AC是弦，D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，CD与AB交于点E，F是AB延长线上的一点，且$CF=EF$。
(1)求证：CF为$\odot O$的切线。
(2)连接BD。若$CF=4$，$BF=2$，求BD的长。

4. (1) 证明：如图，连接OC，OD。
∵$OC=OD$，
∴$∠ OCD=∠ ODC$。
∵$CF=EF$，
∴$∠ FCE=∠ FEC$。
∵$∠ OED=∠ FEC$，
∴$∠ OED=∠ FCE$。
∵AB是直径，D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴$∠ DOE=90°$，
∴$∠ OED+∠ ODC=90°$，
∴$∠ FCE+∠ OCD=90°$，即$∠ OCF=90°$。
∵OC是$\odot O$的半径，
∴CF是$\odot O$的切线。
(2) 解：设$OA=OD=OC=OB=r$，则$OF=r+2$。在$\mathrm{Rt}△ COF$中，$CF^2+OC^2=OF^2$，
∴$4^2+r^2=(r+2)^2$，解得$r=3$，
∴$OB=OD=3$。
∵$∠ DOB=90°$，
∴$BD=\sqrt{OD^2+OB^2}=3\sqrt{2}$。

5.(乌鲁木齐沙依巴克区模拟)如图,△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,CP⊥AB交⊙O于点P,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E,过点A作AF⊥EC,垂足为点F,交⊙O于点D.
(1)求证:AC平分∠FAE.
(2)求证:$\overset{\frown}{BP}=\overset{\frown}{CD}$.
(3)若$CF=2DF=4$,求⊙O的半径长.

5. (1) 证明：如图，连接CO。
∵EF为$\odot O$的切线，
∴$OC⊥ EF$。
∵$AF⊥ EC$，
∴$OC// AF$，
∴$∠ OCA=∠ CAF$。
∵$OC=OA$，
∴$∠ OCA=∠ OAC$，
∴$∠ OAC=∠ CAF$，
∴AC平分$∠ FAE$。
(2) 证明：
∵$AB⊥ CP$，
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BP}$。由(1)可得$∠ OAC=∠ CAF$，
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$\overset{\frown}{BP}=\overset{\frown}{CD}$。
(3) 解：如图，连接BD交OC于点H。
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ADB=90°$。
∵CF是$\odot O$的切线，
∴$∠ FCO=90°$，
∴$∠ BDF=∠ DFC=∠ FCO=90°$，
∴四边形CHDF是矩形，
∴$BD// EF$，
∴$OC⊥ BD$，
∴$BH=DH=CF=4$，$CH=DF=2$。设$\odot O$的半径为r，
∴$OB=r$，$OH=OC-CH=r-2$。在$△ OBH$中，$BH^2+OH^2=OB^2$，
∴$4^2+(r-2)^2=r^2$，
∴$r=5$，即$\odot O$的半径长为5。