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1. 若关于$x$的方程$a(x-1)^2=2x^2-2$是一元二次方程，则$a$满足的条件是（）
A.$a=2$
B.$a=-2$
C.$a=0$
D.$a≠2$
A.$a=2$
B.$a=-2$
C.$a=0$
D.$a≠2$
答案
D
解析
【分析】
要判断方程是一元二次方程，需先明确一元二次方程的核心特征：①只含一个未知数；②未知数最高次数为2；③是整式方程，且二次项系数不为0。解题思路如下：第一步先将原方程去括号、移项、合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$）；第二步令二次项系数不等于0，即可求出$a$的取值范围。
【解析】
首先对原方程进行整理：
1. 展开方程左边：$a(x-1)^2 = a(x^2-2x+1) = ax^2 - 2ax + a$
原方程可化为：$ax^2 - 2ax + a = 2x^2 - 2$
2. 移项、合并同类项，将方程整理为一般形式：
$ax^2 - 2ax + a - 2x^2 + 2 = 0$
即$(a-2)x^2 - 2ax + (a+2) = 0$
3. 根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，因此：
$a - 2 ≠ 0$
解得$a ≠ 2$
故选D选项。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 整式的化简
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是牢记一元二次方程的成立条件，尤其要注意需先将方程整理为一般形式后再判断二次项系数，避免直接观察原方程误判系数。
【难度系数】
0.8
要判断方程是一元二次方程，需先明确一元二次方程的核心特征：①只含一个未知数；②未知数最高次数为2；③是整式方程，且二次项系数不为0。解题思路如下：第一步先将原方程去括号、移项、合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$）；第二步令二次项系数不等于0，即可求出$a$的取值范围。
【解析】
首先对原方程进行整理：
1. 展开方程左边：$a(x-1)^2 = a(x^2-2x+1) = ax^2 - 2ax + a$
原方程可化为：$ax^2 - 2ax + a = 2x^2 - 2$
2. 移项、合并同类项，将方程整理为一般形式：
$ax^2 - 2ax + a - 2x^2 + 2 = 0$
即$(a-2)x^2 - 2ax + (a+2) = 0$
3. 根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，因此：
$a - 2 ≠ 0$
解得$a ≠ 2$
故选D选项。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 整式的化简
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是牢记一元二次方程的成立条件，尤其要注意需先将方程整理为一般形式后再判断二次项系数，避免直接观察原方程误判系数。
【难度系数】
0.8
2. 将一元二次方程$(x+1)(x-1)=x$化成一般形式，正确的是（）
A.$x^2 -x +1=0$
B.$x^2 -x -1=0$
C.$x^2 +x +1=0$
D.$x^2 +x -1=0$
A.$x^2 -x +1=0$
B.$x^2 -x -1=0$
C.$x^2 +x +1=0$
D.$x^2 +x -1=0$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先回忆一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a、b、c$为常数）。首先需要先化简方程左侧的多项式乘积，再将所有项移到等号左侧，按$x$的降幂排列合并同类项，最终得到的式子就是一般形式，再和选项匹配即可。
【解析】
1. 化简方程左侧：利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，可得$(x+1)(x-1)=x^2-1$，原方程转化为$x^2-1=x$。
2. 移项：将等号右侧的$x$移到左侧，移项需变号，得到$x^2-1-x=0$。
3. 整理为一般形式：按$x$的降幂排列，得到$x^2 -x -1=0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程一般形式；平方差公式；整式化简
【点评】
本题是基础类题型，主要考查一元二次方程一般形式的整理，解题的关键是正确展开多项式乘积，同时注意移项要变号，避免符号出错。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a、b、c$为常数）。首先需要先化简方程左侧的多项式乘积，再将所有项移到等号左侧，按$x$的降幂排列合并同类项，最终得到的式子就是一般形式，再和选项匹配即可。
【解析】
1. 化简方程左侧：利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，可得$(x+1)(x-1)=x^2-1$，原方程转化为$x^2-1=x$。
2. 移项：将等号右侧的$x$移到左侧，移项需变号，得到$x^2-1-x=0$。
3. 整理为一般形式：按$x$的降幂排列，得到$x^2 -x -1=0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程一般形式；平方差公式；整式化简
【点评】
本题是基础类题型，主要考查一元二次方程一般形式的整理，解题的关键是正确展开多项式乘积，同时注意移项要变号，避免符号出错。
【难度系数】
0.9
3. 用配方法解一元二次方程$2x^2 - 3x -1=0$时,下列配方正确的是
()
A.$(x-\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{17}{16}$
B.$(x-\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{1}{2}$
C.$(x-\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{13}{4}$
D.$(x-\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{11}{4}$
()
A.$(x-\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{17}{16}$
B.$(x-\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{1}{2}$
C.$(x-\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{13}{4}$
D.$(x-\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{11}{4}$
答案
A
解析
【分析】
要判断配方是否正确，需按照配方法解一元二次方程的步骤逐步计算：首先将二次项系数化为1，再把常数项移到方程右侧，接着给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧整理为完全平方式，最后对比选项即可。
【解析】
解：已知方程$2x^2 - 3x -1=0$，
1. 化二次项系数为1：方程两边同时除以2，得$x^2 - \dfrac{3}{2}x - \dfrac{1}{2}=0$；
2. 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2 - \dfrac{3}{2}x = \dfrac{1}{2}$；
3. 配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，一次项系数为$-\dfrac{3}{2}$，其一半的平方为$(-\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{9}{16}$，
则左边为$x^2 - \dfrac{3}{2}x + \dfrac{9}{16} = (x-\dfrac{3}{4})^2$，
右边为$\dfrac{1}{2} + \dfrac{9}{16} = \dfrac{8}{16} + \dfrac{9}{16} = \dfrac{17}{16}$，
因此配方结果为$(x-\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{17}{16}$。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、等式的性质
【点评】
本题考查配方法的应用，属于基础题，易错点是忘记先将二次项系数化为1就直接配方，或计算一次项系数一半的平方时出错，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要判断配方是否正确，需按照配方法解一元二次方程的步骤逐步计算：首先将二次项系数化为1，再把常数项移到方程右侧，接着给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧整理为完全平方式，最后对比选项即可。
【解析】
解：已知方程$2x^2 - 3x -1=0$，
1. 化二次项系数为1：方程两边同时除以2，得$x^2 - \dfrac{3}{2}x - \dfrac{1}{2}=0$；
2. 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2 - \dfrac{3}{2}x = \dfrac{1}{2}$；
3. 配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，一次项系数为$-\dfrac{3}{2}$，其一半的平方为$(-\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{9}{16}$，
则左边为$x^2 - \dfrac{3}{2}x + \dfrac{9}{16} = (x-\dfrac{3}{4})^2$，
右边为$\dfrac{1}{2} + \dfrac{9}{16} = \dfrac{8}{16} + \dfrac{9}{16} = \dfrac{17}{16}$，
因此配方结果为$(x-\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{17}{16}$。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、等式的性质
【点评】
本题考查配方法的应用，属于基础题，易错点是忘记先将二次项系数化为1就直接配方，或计算一次项系数一半的平方时出错，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键。
【难度系数】
0.7
4. (2025·安徽)下列方程中,有两个不相等的实数根的是 ()
A.$x^2+1=0$
B.$x^2-2x+1=0$
C.$x^2+x+1=0$
D.$x^2+x-1=0$
A.$x^2+1=0$
B.$x^2-2x+1=0$
C.$x^2+x+1=0$
D.$x^2+x-1=0$
答案
D
解析
【分析】
要判断一元二次方程是否存在两个不相等的实数根，需利用一元二次方程根的判别式Δ = b² - 4ac的性质：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根。解题时先确定每个选项对应方程的a（二次项系数）、b（一次项系数）、c（常数项）的取值，再分别计算判别式，判断其与0的大小关系即可选出正确答案。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$：
$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；
$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；
$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
逐一计算各选项的判别式：
A. 方程$x^2+1=0$中，$a=1$，$b=0$，$c=1$，$\Delta=0^2-4×1×1=-4＜0$，无实数根，不符合要求；
B. 方程$x^2-2x+1=0$中，$a=1$，$b=-2$，$c=1$，$\Delta=(-2)^2-4×1×1=0$，有两个相等的实数根，不符合要求；
C. 方程$x^2+x+1=0$中，$a=1$，$b=1$，$c=1$，$\Delta=1^2-4×1×1=-3＜0$，无实数根，不符合要求；
D. 方程$x^2+x-1=0$中，$a=1$，$b=1$，$c=-1$，$\Delta=1^2-4×1×(-1)=5＞0$，有两个不相等的实数根，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根的判别式与一元二次方程根的情况的对应关系，只要准确记忆判别式的取值规则，正确代入计算即可快速解题，是一元二次方程章节的常规考查题型。
【难度系数】
0.85
要判断一元二次方程是否存在两个不相等的实数根，需利用一元二次方程根的判别式Δ = b² - 4ac的性质：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根。解题时先确定每个选项对应方程的a（二次项系数）、b（一次项系数）、c（常数项）的取值，再分别计算判别式，判断其与0的大小关系即可选出正确答案。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$：
$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；
$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；
$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
逐一计算各选项的判别式：
A. 方程$x^2+1=0$中，$a=1$，$b=0$，$c=1$，$\Delta=0^2-4×1×1=-4＜0$，无实数根，不符合要求；
B. 方程$x^2-2x+1=0$中，$a=1$，$b=-2$，$c=1$，$\Delta=(-2)^2-4×1×1=0$，有两个相等的实数根，不符合要求；
C. 方程$x^2+x+1=0$中，$a=1$，$b=1$，$c=1$，$\Delta=1^2-4×1×1=-3＜0$，无实数根，不符合要求；
D. 方程$x^2+x-1=0$中，$a=1$，$b=1$，$c=-1$，$\Delta=1^2-4×1×(-1)=5＞0$，有两个不相等的实数根，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根的判别式与一元二次方程根的情况的对应关系，只要准确记忆判别式的取值规则，正确代入计算即可快速解题，是一元二次方程章节的常规考查题型。
【难度系数】
0.85
5.若关于$x$的一元二次方程$x^2 -8x +m=0$的两根为$x_1,x_2$,且$x_1=3x_2$,则$m$的值为（）
A.4
B.8
C.12
D.16
A.4
B.8
C.12
D.16
答案
C
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：首先回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的韦达定理：两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$；结合题目给出的两根关系$x_1=3x_2$，先代入两根之和的公式求出两个根的具体值，再代入两根之积的公式即可求出$m$的值。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 -8x +m=0$，其中$a=1$，$b=-8$，$c=m$，根据韦达定理可得：
两根之和：$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 8$，
两根之积：$x_1 x_2 = \frac{c}{a} = m$。
已知$x_1=3x_2$，将其代入两根之和的式子得：
$3x_2 + x_2 = 8$，
合并同类项得$4x_2=8$，解得$x_2=2$，
则$x_1=3x_2=3×2=6$，
所以$m=x_1x_2=6×2=12$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，结合题干给出的两根数量关系代入求解即可，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：首先回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的韦达定理：两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$；结合题目给出的两根关系$x_1=3x_2$，先代入两根之和的公式求出两个根的具体值，再代入两根之积的公式即可求出$m$的值。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 -8x +m=0$，其中$a=1$，$b=-8$，$c=m$，根据韦达定理可得：
两根之和：$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 8$，
两根之积：$x_1 x_2 = \frac{c}{a} = m$。
已知$x_1=3x_2$，将其代入两根之和的式子得：
$3x_2 + x_2 = 8$，
合并同类项得$4x_2=8$，解得$x_2=2$，
则$x_1=3x_2=3×2=6$，
所以$m=x_1x_2=6×2=12$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，结合题干给出的两根数量关系代入求解即可，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
6. 若两个连续奇数的积为63,则这两个数的和为 ()
A.16
B.17
C.$\pm16$
D.$\pm17$
A.16
B.17
C.$\pm16$
D.$\pm17$
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确连续奇数的特征：两个连续奇数的差为2。我们可以通过设未知数的方法，结合题目给出的“积为63”的条件列方程求解，最后计算两个数的和，注意奇数包含正奇数和负奇数，不要漏解。解题步骤为：第一步设较小的奇数为未知数，表示出另一个奇数；第二步根据乘积关系列一元二次方程；第三步解方程得到两组奇数解；第四步分别计算两组数的和，得到最终结果。
【解析】
设较小的奇数为$x$，则另一个连续奇数为$x+2$。
根据题意列方程得：
$x(x+2)=63$
整理得一元二次方程：
$x^2 + 2x - 63 = 0$
用因式分解法解方程：
$(x+9)(x-7)=0$
解得$x_1=-9$，$x_2=7$。
① 当$x=-9$时，另一个奇数为$-9+2=-7$，两数之和为$-9+(-7)=-16$；
② 当$x=7$时，另一个奇数为$7+2=9$，两数之和为$7+9=16$。
因此这两个数的和为$\pm16$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用、因式分解法解方程、奇数的概念
【点评】
本题属于数字类一元二次方程应用题，解题关键是正确表示连续奇数，易错点是容易忽略负奇数的情况导致漏解，做题时要考虑全面，验证所有解是否符合题意。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需明确连续奇数的特征：两个连续奇数的差为2。我们可以通过设未知数的方法，结合题目给出的“积为63”的条件列方程求解，最后计算两个数的和，注意奇数包含正奇数和负奇数，不要漏解。解题步骤为：第一步设较小的奇数为未知数，表示出另一个奇数；第二步根据乘积关系列一元二次方程；第三步解方程得到两组奇数解；第四步分别计算两组数的和，得到最终结果。
【解析】
设较小的奇数为$x$，则另一个连续奇数为$x+2$。
根据题意列方程得：
$x(x+2)=63$
整理得一元二次方程：
$x^2 + 2x - 63 = 0$
用因式分解法解方程：
$(x+9)(x-7)=0$
解得$x_1=-9$，$x_2=7$。
① 当$x=-9$时，另一个奇数为$-9+2=-7$，两数之和为$-9+(-7)=-16$；
② 当$x=7$时，另一个奇数为$7+2=9$，两数之和为$7+9=16$。
因此这两个数的和为$\pm16$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用、因式分解法解方程、奇数的概念
【点评】
本题属于数字类一元二次方程应用题，解题关键是正确表示连续奇数，易错点是容易忽略负奇数的情况导致漏解，做题时要考虑全面，验证所有解是否符合题意。
【难度系数】
0.7
7. 我们知道方程$x^2 + 2x - 3 = 0$的解是$x_1=1,x_2=-3$,现给出另一个方程$(2x+3)^2 + 2(2x+3)-3=0$,它的解是（）
A.$x_1=1,x_2=3$
B.$x_1=1,x_2=-3$
C.$x_1=-1,x_2=3$
D.$x_1=-1,x_2=-3$
A.$x_1=1,x_2=3$
B.$x_1=1,x_2=-3$
C.$x_1=-1,x_2=3$
D.$x_1=-1,x_2=-3$
答案
D
解析
【分析】
观察题目给出的两个方程，发现结构完全一致，仅未知数部分由$x$替换为了$(2x+3)$，因此可采用整体代换的思路解题：将$(2x+3)$看作一个整体，根据已知的方程$x^2+2x-3=0$的解，得到$(2x+3)$的取值，再分别求解关于$x$的一元一次方程即可，无需展开原方程计算，能简化运算过程。
【解析】
设$y=2x+3$，则原方程$(2x+3)^2 + 2(2x+3)-3=0$可转化为：
$y^2 + 2y - 3 = 0$
由题可知该方程的解为$y_1=1$，$y_2=-3$。
分两种情况求解$x$：
1. 当$y=1$时：$2x+3=1$，移项得$2x=1-3=-2$，解得$x=-1$；
2. 当$y=-3$时：$2x+3=-3$，移项得$2x=-3-3=-6$，解得$x=-3$。
因此原方程的解为$x_1=-1$，$x_2=-3$。
【答案】
D
【知识点】
换元法解一元二次方程；整体代换思想；一元二次方程的解
【点评】
本题考查一元二次方程的解法，解题核心是观察到两个方程的结构共性，运用整体换元的思想简化运算，避免直接展开原方程带来的计算繁琐，是一元二次方程解法中的典型应用题型。
【难度系数】
0.8
观察题目给出的两个方程，发现结构完全一致，仅未知数部分由$x$替换为了$(2x+3)$，因此可采用整体代换的思路解题：将$(2x+3)$看作一个整体，根据已知的方程$x^2+2x-3=0$的解，得到$(2x+3)$的取值，再分别求解关于$x$的一元一次方程即可，无需展开原方程计算，能简化运算过程。
【解析】
设$y=2x+3$，则原方程$(2x+3)^2 + 2(2x+3)-3=0$可转化为：
$y^2 + 2y - 3 = 0$
由题可知该方程的解为$y_1=1$，$y_2=-3$。
分两种情况求解$x$：
1. 当$y=1$时：$2x+3=1$，移项得$2x=1-3=-2$，解得$x=-1$；
2. 当$y=-3$时：$2x+3=-3$，移项得$2x=-3-3=-6$，解得$x=-3$。
因此原方程的解为$x_1=-1$，$x_2=-3$。
【答案】
D
【知识点】
换元法解一元二次方程；整体代换思想；一元二次方程的解
【点评】
本题考查一元二次方程的解法，解题核心是观察到两个方程的结构共性，运用整体换元的思想简化运算，避免直接展开原方程带来的计算繁琐，是一元二次方程解法中的典型应用题型。
【难度系数】
0.8
