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13. (2025·吉林)如图8,在平面直角坐标系中,过原点O的直线与反比例函数$y=\frac{\sqrt{3}}{x}$的图象交于A,B两点,分别以点A,B为圆心,画半径为1的$\odot A$和$\odot B$。当$\odot A,\odot B$分别与x轴相切时,切点分别为点C和点D,连接AC,BD,则阴影部分图形的面积和为。(结果保留π)
图8 图9 图10
图8 图9 图10
答案
$\boldsymbol{\frac{π}{3}}$
解析
【分析】
解题思路可分为以下几步：
1. 利用反比例函数的中心对称性，可知直线与反比例函数的交点A、B关于原点对称；
2. 根据圆与x轴相切的性质，圆心到x轴的距离等于半径，可得A、B的纵坐标绝对值为1，代入反比例函数解析式可求出A点坐标；
3. 在直角三角形中用三角函数求出OA与x轴的夹角，进而得到两个阴影扇形的圆心角之和；
4. 两个扇形半径均为1，直接代入扇形面积公式计算总面积即可。
【解析】
∵过原点的直线与反比例函数$y=\frac{\sqrt{3}}{x}$交于A、B两点，
∴A、B两点关于原点对称。
∵$\odot A$、$\odot B$分别与x轴相切，半径为1，
∴点A的纵坐标为1，点B的纵坐标为-1，且$AC⊥ x$轴，$BD⊥ x$轴。
将$y=1$代入$y=\frac{\sqrt{3}}{x}$，得$1=\frac{\sqrt{3}}{x}$，解得$x=\sqrt{3}$，即$A(\sqrt{3},1)$，
∴$OC=\sqrt{3}$，$AC=1$。
在$Rt△ ACO$中，$\tan∠ AOC=\frac{AC}{OC}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$∠ AOC=30°$，则$∠ OAC=90°-30°=60°$。
同理可得$∠ OBD=60°$，
∴两个阴影扇形的圆心角之和为$60°+60°=120°$。
∴阴影部分面积和为：$\frac{120π×1^2}{360}=\frac{π}{3}$。
【答案】
$\frac{π}{3}$
【知识点】
反比例函数的性质，切线的性质，扇形面积计算
【点评】
本题结合反比例函数、圆的切线性质考查扇形面积计算，解题核心是利用反比例函数的中心对称性，将两个分散的扇形圆心角合并计算，有效降低运算量。
【难度系数】
0.6
解题思路可分为以下几步：
1. 利用反比例函数的中心对称性，可知直线与反比例函数的交点A、B关于原点对称；
2. 根据圆与x轴相切的性质，圆心到x轴的距离等于半径，可得A、B的纵坐标绝对值为1，代入反比例函数解析式可求出A点坐标；
3. 在直角三角形中用三角函数求出OA与x轴的夹角，进而得到两个阴影扇形的圆心角之和；
4. 两个扇形半径均为1，直接代入扇形面积公式计算总面积即可。
【解析】
∵过原点的直线与反比例函数$y=\frac{\sqrt{3}}{x}$交于A、B两点，
∴A、B两点关于原点对称。
∵$\odot A$、$\odot B$分别与x轴相切，半径为1，
∴点A的纵坐标为1，点B的纵坐标为-1，且$AC⊥ x$轴，$BD⊥ x$轴。
将$y=1$代入$y=\frac{\sqrt{3}}{x}$，得$1=\frac{\sqrt{3}}{x}$，解得$x=\sqrt{3}$，即$A(\sqrt{3},1)$，
∴$OC=\sqrt{3}$，$AC=1$。
在$Rt△ ACO$中，$\tan∠ AOC=\frac{AC}{OC}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$∠ AOC=30°$，则$∠ OAC=90°-30°=60°$。
同理可得$∠ OBD=60°$，
∴两个阴影扇形的圆心角之和为$60°+60°=120°$。
∴阴影部分面积和为：$\frac{120π×1^2}{360}=\frac{π}{3}$。
【答案】
$\frac{π}{3}$
【知识点】
反比例函数的性质，切线的性质，扇形面积计算
【点评】
本题结合反比例函数、圆的切线性质考查扇形面积计算，解题核心是利用反比例函数的中心对称性，将两个分散的扇形圆心角合并计算，有效降低运算量。
【难度系数】
0.6
14. (2024·泰安)如图9,AB是$\odot O$的直径,AH是$\odot O$的切线,C为$\odot O$上任意一点,D为$\overset{\frown}{AC}$的中点,连接BD交AC于点E,延长BD与AH相交于点F。若$DF=1$,$\tan B=\frac{1}{2}$,则AE的长为。
答案
$\boldsymbol{\sqrt{5}}$
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：1. 先利用切线和直径的性质，得到∠BAF=90°，结合直径所对圆周角为直角得到∠ADB=90°，通过同角的余角相等推出∠DAF=∠B，结合tanB=1/2和DF=1求出AD的长度；2. 再利用弧中点的性质得到∠CAD=∠B，根据等角的正切值相等求出DE的长度；3. 最后在直角三角形ADE中用勾股定理计算AE的长度即可。
【解析】
连接AD，
∵ AH是$\odot O$的切线，AB是$\odot O$的直径，
∴ AB⊥AH，即$∠ BAF=90°$，
又
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ADB=90°$，即AD⊥BF，$∠ ADF=90°$，
∴ $∠ B + ∠ F = 90°$，$∠ DAF + ∠ F = 90°$，
∴ $∠ DAF = ∠ B$，
∴ $\tan∠ DAF = \tan B = \frac{1}{2} = \frac{DF}{AD}$，
已知$DF=1$，代入得$\frac{1}{AD}=\frac{1}{2}$，解得$AD=2$，
∵ D为$\overset{\frown}{AC}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DC}$，
∴ $∠ CAD = ∠ ABD = ∠ B$，
∴ $\tan∠ CAD = \tan B = \frac{1}{2} = \frac{DE}{AD}$，
代入$AD=2$得$\frac{DE}{2}=\frac{1}{2}$，解得$DE=1$，
在Rt$△ ADE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AD^2 + DE^2}=\sqrt{2^2 + 1^2}=\sqrt{5}$。
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；勾股定理
【点评】
本题是圆与三角函数结合的典型题型，解题的关键是添加辅助线AD，利用圆的性质推导等角，再结合三角函数值建立线段间的数量关系，能有效考查对圆的性质和直角三角形相关知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时可按以下思路推导：1. 先利用切线和直径的性质，得到∠BAF=90°，结合直径所对圆周角为直角得到∠ADB=90°，通过同角的余角相等推出∠DAF=∠B，结合tanB=1/2和DF=1求出AD的长度；2. 再利用弧中点的性质得到∠CAD=∠B，根据等角的正切值相等求出DE的长度；3. 最后在直角三角形ADE中用勾股定理计算AE的长度即可。
【解析】
连接AD，
∵ AH是$\odot O$的切线，AB是$\odot O$的直径，
∴ AB⊥AH，即$∠ BAF=90°$，
又
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ADB=90°$，即AD⊥BF，$∠ ADF=90°$，
∴ $∠ B + ∠ F = 90°$，$∠ DAF + ∠ F = 90°$，
∴ $∠ DAF = ∠ B$，
∴ $\tan∠ DAF = \tan B = \frac{1}{2} = \frac{DF}{AD}$，
已知$DF=1$，代入得$\frac{1}{AD}=\frac{1}{2}$，解得$AD=2$，
∵ D为$\overset{\frown}{AC}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DC}$，
∴ $∠ CAD = ∠ ABD = ∠ B$，
∴ $\tan∠ CAD = \tan B = \frac{1}{2} = \frac{DE}{AD}$，
代入$AD=2$得$\frac{DE}{2}=\frac{1}{2}$，解得$DE=1$，
在Rt$△ ADE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AD^2 + DE^2}=\sqrt{2^2 + 1^2}=\sqrt{5}$。
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；勾股定理
【点评】
本题是圆与三角函数结合的典型题型，解题的关键是添加辅助线AD，利用圆的性质推导等角，再结合三角函数值建立线段间的数量关系，能有效考查对圆的性质和直角三角形相关知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
15. 如图10, 在四边形ABCD中, ∠A = ∠ABC = 90°, DB平分∠ADC。若AD=1, CD=3, 则sin∠ABD=。
答案
$\dfrac{\sqrt{6}}{6}$
解析
【分析】
解题时先利用∠A和∠ABC都是直角推出AD//BC，结合角平分线的定义得到∠CDB=∠DBC，推出BC=CD得到BC的长度；再通过作BE⊥CD构造直角三角形，利用角平分线的性质得到AB=BE、AD=DE，求出EC的长度；接着用勾股定理求出BE即AB的长，再求出BD的长；最后在Rt△ABD中根据正弦的定义计算即可。
【解析】
解：过点B作BE⊥CD于点E。
1.
∵ ∠A=∠ABC=90°，
∴ AD//BC（同旁内角互补，两直线平行），
∴ ∠ADB=∠DBC（两直线平行，内错角相等）。
2.
∵ DB平分∠ADC，
∴ ∠ADB=∠CDB，
∴ ∠CDB=∠DBC，
∴ BC=CD=3（等角对等边）。
3.
∵ DB平分∠ADC，BA⊥AD，BE⊥CD，
∴ AB=BE（角平分线上的点到角两边的距离相等），
又
∵ BD=BD，
∴ Rt△ABD≌Rt△EBD（HL），
∴ DE=AD=1。
4.
∵ CD=3，
∴ EC=CD-DE=3-1=2。
5. 在Rt△BEC中，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{BC^2-EC^2}=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$，
∴ $AB=BE=\sqrt{5}$。
6. 在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{1^2+(\sqrt{5})^2}=\sqrt{6}$。
7. 在Rt△ABD中，∠A=90°，
∴ $\sin∠ABD=\frac{AD}{BD}=\frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{6}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{6}}{6}$
【知识点】
角平分线的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【点评】
本题属于几何综合题，解题的关键是合理作出辅助线，结合角平分线、平行线、等腰三角形的性质转化线段关系，再利用勾股定理和三角函数的定义求解。
【难度系数】
0.6
解题时先利用∠A和∠ABC都是直角推出AD//BC，结合角平分线的定义得到∠CDB=∠DBC，推出BC=CD得到BC的长度；再通过作BE⊥CD构造直角三角形，利用角平分线的性质得到AB=BE、AD=DE，求出EC的长度；接着用勾股定理求出BE即AB的长，再求出BD的长；最后在Rt△ABD中根据正弦的定义计算即可。
【解析】
解：过点B作BE⊥CD于点E。
1.
∵ ∠A=∠ABC=90°，
∴ AD//BC（同旁内角互补，两直线平行），
∴ ∠ADB=∠DBC（两直线平行，内错角相等）。
2.
∵ DB平分∠ADC，
∴ ∠ADB=∠CDB，
∴ ∠CDB=∠DBC，
∴ BC=CD=3（等角对等边）。
3.
∵ DB平分∠ADC，BA⊥AD，BE⊥CD，
∴ AB=BE（角平分线上的点到角两边的距离相等），
又
∵ BD=BD，
∴ Rt△ABD≌Rt△EBD（HL），
∴ DE=AD=1。
4.
∵ CD=3，
∴ EC=CD-DE=3-1=2。
5. 在Rt△BEC中，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{BC^2-EC^2}=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$，
∴ $AB=BE=\sqrt{5}$。
6. 在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{1^2+(\sqrt{5})^2}=\sqrt{6}$。
7. 在Rt△ABD中，∠A=90°，
∴ $\sin∠ABD=\frac{AD}{BD}=\frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{6}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{6}}{6}$
【知识点】
角平分线的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【点评】
本题属于几何综合题，解题的关键是合理作出辅助线，结合角平分线、平行线、等腰三角形的性质转化线段关系，再利用勾股定理和三角函数的定义求解。
【难度系数】
0.6
三、解答题(共75分)
16.(8分)直角三角形的三边的长是连续偶数,求最小角的三角函数值。
16.(8分)直角三角形的三边的长是连续偶数,求最小角的三角函数值。
答案
解：
设该直角三角形的三边长分别为$2n$，$2n+2$，$2n+4$（$n$为正整数），
由直角三角形斜边最长，结合勾股定理得：
$(2n)^2 + (2n+2)^2 = (2n+4)^2$
展开整理得：
$n^2 - 2n - 3 = 0$
解得$n_1=3$，$n_2=-1$，边长为正，舍去$n_2=-1$。
因此该直角三角形三边长为6，8，10。
直角三角形的最小角对应最短边，设最小角为$α$，$α$的对边长为6，相邻直角边长为8，斜边长为10，可得：
$\sinα = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
$\cosα = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$
$\tanα = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$
设该直角三角形的三边长分别为$2n$，$2n+2$，$2n+4$（$n$为正整数），
由直角三角形斜边最长，结合勾股定理得：
$(2n)^2 + (2n+2)^2 = (2n+4)^2$
展开整理得：
$n^2 - 2n - 3 = 0$
解得$n_1=3$，$n_2=-1$，边长为正，舍去$n_2=-1$。
因此该直角三角形三边长为6，8，10。
直角三角形的最小角对应最短边，设最小角为$α$，$α$的对边长为6，相邻直角边长为8，斜边长为10，可得：
$\sinα = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
$\cosα = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$
$\tanα = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$
解析
【分析】
要解决本题，首先需要确定直角三角形的三边长：已知三边是连续偶数，我们可以通过设未知数表示三边，结合直角三角形斜边最长的性质，利用勾股定理列方程求解边长；得到三边后，根据“大边对大角”的规律确定最小角对应的边，最后利用锐角三角函数的定义计算最小角的各三角函数值即可。
【解析】
解：设该直角三角形的三边长分别为$2n$，$2n+2$，$2n+4$（$n$为正整数），
∵直角三角形中斜边最长，结合勾股定理可得：
$(2n)^2 + (2n+2)^2 = (2n+4)^2$
展开并整理方程：
$4n^2 + 4n^2 + 8n + 4 = 4n^2 + 16n + 16$
化简得$n^2 - 2n - 3 = 0$
解得$n_1=3$，$n_2=-1$
∵三角形边长为正数，
∴舍去$n_2=-1$
因此该直角三角形的三边长为6，8，10。
∵直角三角形中最小角对应最短边，设最小角为$α$，则$α$的对边长为6，相邻直角边长为8，斜边长为10，根据锐角三角函数定义：
$\sinα = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
$\cosα = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$
$\tanα = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$
【答案】
最小角的正弦值为$\frac{3}{5}$，余弦值为$\frac{4}{5}$，正切值为$\frac{3}{4}$
【知识点】
勾股定理、锐角三角函数定义、一元二次方程求解
【点评】
本题是直角三角形性质与三角函数的基础综合题，解题关键是合理设未知数，结合勾股定理求出三边长，注意求解方程后要舍去不符合实际意义的负根，再根据边角对应关系确定最小角，代入三角函数定义计算即可。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需要确定直角三角形的三边长：已知三边是连续偶数，我们可以通过设未知数表示三边，结合直角三角形斜边最长的性质，利用勾股定理列方程求解边长；得到三边后，根据“大边对大角”的规律确定最小角对应的边，最后利用锐角三角函数的定义计算最小角的各三角函数值即可。
【解析】
解：设该直角三角形的三边长分别为$2n$，$2n+2$，$2n+4$（$n$为正整数），
∵直角三角形中斜边最长，结合勾股定理可得：
$(2n)^2 + (2n+2)^2 = (2n+4)^2$
展开并整理方程：
$4n^2 + 4n^2 + 8n + 4 = 4n^2 + 16n + 16$
化简得$n^2 - 2n - 3 = 0$
解得$n_1=3$，$n_2=-1$
∵三角形边长为正数，
∴舍去$n_2=-1$
因此该直角三角形的三边长为6，8，10。
∵直角三角形中最小角对应最短边，设最小角为$α$，则$α$的对边长为6，相邻直角边长为8，斜边长为10，根据锐角三角函数定义：
$\sinα = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
$\cosα = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$
$\tanα = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$
【答案】
最小角的正弦值为$\frac{3}{5}$，余弦值为$\frac{4}{5}$，正切值为$\frac{3}{4}$
【知识点】
勾股定理、锐角三角函数定义、一元二次方程求解
【点评】
本题是直角三角形性质与三角函数的基础综合题，解题关键是合理设未知数，结合勾股定理求出三边长，注意求解方程后要舍去不符合实际意义的负根，再根据边角对应关系确定最小角，代入三角函数定义计算即可。
【难度系数】
0.7
17. (9分)如图11，A，B是$\odot O$上的两点，$∠ AOB = 120°$，C是$\overset{\frown}{AB}$的中点。
(1)连接AB，求证：AB平分$∠ OAC$；
(2)延长OA至点P，使得$AP = OA$，连接PC，若$\odot O$的半径$R=1$，求PC的长。
(1)连接AB，求证：AB平分$∠ OAC$；
(2)延长OA至点P，使得$AP = OA$，连接PC，若$\odot O$的半径$R=1$，求PC的长。
答案
(1) 证明：连接OC，
∵ C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，$∠ AOB=120°$，
∴ $∠ AOC = ∠ BOC = \frac{1}{2}∠ AOB = 60°$，
又∵ $OA=OC=OB$，
∴ $△ OAC$和$△ OBC$均为等边三角形，
∴ $OA=AC=BC=OB$，
∴ 四边形OACB是菱形，
∴ AB平分$∠ OAC$。
(2) 解：∵ $\odot O$的半径$R=1$，
∴ $OA=OC=1$，
由(1)知$△ OAC$是等边三角形，
∴ $AC=OA=1$，$∠ OCA=∠ OAC=60°$，
∵ $AP=OA$，
∴ $AP=AC$，$OP=OA+AP=2$，
∴ $∠ APC=∠ ACP$，
∵ $∠ PAC=180°-∠ OAC=120°$，
∴ $∠ ACP=\frac{1}{2}×(180°-120°)=30°$，
∴ $∠ OCP=∠ OCA+∠ ACP=60°+30°=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ OCP$中，
$PC=\sqrt{OP^2-OC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
∵ C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，$∠ AOB=120°$，
∴ $∠ AOC = ∠ BOC = \frac{1}{2}∠ AOB = 60°$，
又∵ $OA=OC=OB$，
∴ $△ OAC$和$△ OBC$均为等边三角形，
∴ $OA=AC=BC=OB$，
∴ 四边形OACB是菱形，
∴ AB平分$∠ OAC$。
(2) 解：∵ $\odot O$的半径$R=1$，
∴ $OA=OC=1$，
由(1)知$△ OAC$是等边三角形，
∴ $AC=OA=1$，$∠ OCA=∠ OAC=60°$，
∵ $AP=OA$，
∴ $AP=AC$，$OP=OA+AP=2$，
∴ $∠ APC=∠ ACP$，
∵ $∠ PAC=180°-∠ OAC=120°$，
∴ $∠ ACP=\frac{1}{2}×(180°-120°)=30°$，
∴ $∠ OCP=∠ OCA+∠ ACP=60°+30°=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ OCP$中，
$PC=\sqrt{OP^2-OC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
解析
【分析】
(1) 要证明AB平分∠OAC，首先利用C是$\overset{\frown}{AB}$中点的性质，连接OC，可推导得到等弧对应的圆心角相等，即$∠ AOC=∠ BOC=60°$；再结合同圆半径相等的性质，可判定$△ OAC$、$△ OBC$都是等边三角形，进而得到四边形OACB四边相等，判定为菱形，最后根据菱形对角线平分内角的性质即可完成证明。
(2) 求PC的长，先根据圆的半径为1得到$OA=OC=1$，结合(1)的结论可知$△ OAC$是等边三角形，可推出$AP=AC$，进而推导得出$∠ OCP$为直角，最后在$\mathrm{Rt}△ OCP$中利用勾股定理计算PC的长度即可。
【解析】
(1) 证明：连接OC，
∵ C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，$∠ AOB=120°$，
∴ $∠ AOC = ∠ BOC = \frac{1}{2}∠ AOB = 60°$，
又
∵ $OA=OC=OB$（同圆的半径相等），
∴ $△ OAC$和$△ OBC$均为等边三角形，
∴ $OA=AC=BC=OB$，
∴ 四边形OACB是菱形，
∴ AB平分$∠ OAC$。
(2) 解：
∵ $\odot O$的半径$R=1$，
∴ $OA=OC=1$，
由(1)知$△ OAC$是等边三角形，
∴ $AC=OA=1$，$∠ OCA=∠ OAC=60°$，
∵ $AP=OA$，
∴ $AP=AC$，$OP=OA+AP=2$，
∴ $∠ APC=∠ ACP$，
∵ $∠ PAC=180°-∠ OAC=180°-60°=120°$，
∴ $∠ ACP=\frac{1}{2}×(180°-120°)=30°$，
∴ $∠ OCP=∠ OCA+∠ ACP=60°+30°=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ OCP$中，由勾股定理得：
$PC=\sqrt{OP^2-OC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\sqrt{3}$
【知识点】
弧与圆心角的关系、菱形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题的关键是合理连接辅助线OC，结合圆的基本性质推导得到等边三角形、菱形等特殊图形，再利用特殊图形的性质和勾股定理求解，注重对基础知识的考察。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明AB平分∠OAC，首先利用C是$\overset{\frown}{AB}$中点的性质，连接OC，可推导得到等弧对应的圆心角相等，即$∠ AOC=∠ BOC=60°$；再结合同圆半径相等的性质，可判定$△ OAC$、$△ OBC$都是等边三角形，进而得到四边形OACB四边相等，判定为菱形，最后根据菱形对角线平分内角的性质即可完成证明。
(2) 求PC的长，先根据圆的半径为1得到$OA=OC=1$，结合(1)的结论可知$△ OAC$是等边三角形，可推出$AP=AC$，进而推导得出$∠ OCP$为直角，最后在$\mathrm{Rt}△ OCP$中利用勾股定理计算PC的长度即可。
【解析】
(1) 证明：连接OC，
∵ C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，$∠ AOB=120°$，
∴ $∠ AOC = ∠ BOC = \frac{1}{2}∠ AOB = 60°$，
又
∵ $OA=OC=OB$（同圆的半径相等），
∴ $△ OAC$和$△ OBC$均为等边三角形，
∴ $OA=AC=BC=OB$，
∴ 四边形OACB是菱形，
∴ AB平分$∠ OAC$。
(2) 解：
∵ $\odot O$的半径$R=1$，
∴ $OA=OC=1$，
由(1)知$△ OAC$是等边三角形，
∴ $AC=OA=1$，$∠ OCA=∠ OAC=60°$，
∵ $AP=OA$，
∴ $AP=AC$，$OP=OA+AP=2$，
∴ $∠ APC=∠ ACP$，
∵ $∠ PAC=180°-∠ OAC=180°-60°=120°$，
∴ $∠ ACP=\frac{1}{2}×(180°-120°)=30°$，
∴ $∠ OCP=∠ OCA+∠ ACP=60°+30°=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ OCP$中，由勾股定理得：
$PC=\sqrt{OP^2-OC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\sqrt{3}$
【知识点】
弧与圆心角的关系、菱形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题的关键是合理连接辅助线OC，结合圆的基本性质推导得到等边三角形、菱形等特殊图形，再利用特殊图形的性质和勾股定理求解，注重对基础知识的考察。
【难度系数】
0.7
