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2,BC=5,CD=3,则tanC等于 ()
A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{4}{3}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{4}{5}$
A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{4}{3}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{4}{5}$
答案
B
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，利用三角形中位线定理求BD的长度，观察图形可知E、F分别是AB、AD的中点，因此EF是△ABD的中位线，根据中位线等于第三边的一半，可由EF的长度求出BD的长；第二步，判断△BCD的形状，将△BCD三边的长度代入勾股定理逆定理，验证是否满足直角三角形的条件；第三步，根据锐角正切的定义，在直角三角形中用∠C的对边比邻边，即可求出tanC的值。
【解析】
解：由题意可知E、F分别为AB、AD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴$BD=2EF=2×2=4$，
在△BCD中，$CD=3$，$BD=4$，$BC=5$，
∵$CD^2+BD^2=3^2+4^2=25$，$BC^2=5^2=25$，
∴$CD^2+BD^2=BC^2$，
根据勾股定理逆定理可得△BCD是直角三角形，且$∠ BDC=90°$，
根据正切的定义可得：
$\tan C=\frac{∠ C的对边}{∠ C的邻边}=\frac{BD}{CD}=\frac{4}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理，勾股定理逆定理，锐角三角函数定义
【点评】
本题属于基础综合题，将三角形中位线、直角三角形判定、锐角三角函数三个知识点结合考查，解题核心是先通过中位线求出未知边BD的长度，再判断三角形形状，最后代入三角函数定义计算，整体逻辑清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，利用三角形中位线定理求BD的长度，观察图形可知E、F分别是AB、AD的中点，因此EF是△ABD的中位线，根据中位线等于第三边的一半，可由EF的长度求出BD的长；第二步，判断△BCD的形状，将△BCD三边的长度代入勾股定理逆定理，验证是否满足直角三角形的条件；第三步，根据锐角正切的定义，在直角三角形中用∠C的对边比邻边，即可求出tanC的值。
【解析】
解：由题意可知E、F分别为AB、AD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴$BD=2EF=2×2=4$，
在△BCD中，$CD=3$，$BD=4$，$BC=5$，
∵$CD^2+BD^2=3^2+4^2=25$，$BC^2=5^2=25$，
∴$CD^2+BD^2=BC^2$，
根据勾股定理逆定理可得△BCD是直角三角形，且$∠ BDC=90°$，
根据正切的定义可得：
$\tan C=\frac{∠ C的对边}{∠ C的邻边}=\frac{BD}{CD}=\frac{4}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理，勾股定理逆定理，锐角三角函数定义
【点评】
本题属于基础综合题，将三角形中位线、直角三角形判定、锐角三角函数三个知识点结合考查，解题核心是先通过中位线求出未知边BD的长度，再判断三角形形状，最后代入三角函数定义计算，整体逻辑清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7
8. 在$△ ABC$中，$AB=12\sqrt{2}$，$AC=13$，$\cos B=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，则$BC$边的长为（）
A.7
B.8
C.8或17
D.7或17
A.7
B.8
C.8或17
D.7或17
答案
D
解析
【分析】
已知$\cos B=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，可先确定$∠ B=45°$，要求$BC$的长度，可通过作高$AD⊥ BC$，将斜三角形转化为两个直角三角形求解。首先在$\mathrm{Rt}△ ABD$中利用三角函数求出$BD$和$AD$的长度，再在$\mathrm{Rt}△ ADC$中利用勾股定理求出$DC$的长度，最后分高$AD$在$△ ABC$内部和外部两种情况计算$BC$的长度即可。
【解析】
过点$A$作$AD⊥ BC$，垂足为$D$。
1. 在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ADB=90°$：
$\because \cos B=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$AB=12\sqrt{2}$，
$\therefore BD=AB·\cos B=12\sqrt{2}×\dfrac{\sqrt{2}}{2}=12$，
由勾股定理得$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{(12\sqrt{2})^2-12^2}=\sqrt{144}=12$。
2. 在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ ADC=90°$，$AC=13$，$AD=12$：
由勾股定理得$DC=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5$。
3. 分两种情况讨论：
① 当高$AD$在$△ ABC$内部时，$BC=BD+DC=12+5=17$；
② 当高$AD$在$△ ABC$外部（即$∠ ACB$为钝角）时，$BC=BD-DC=12-5=7$。
综上，$BC$边的长为7或17，故选D。
【答案】
D
【知识点】
解直角三角形，勾股定理，分类讨论
【点评】
本题的解题关键是通过作高将斜三角形转化为直角三角形求解，易错点是容易忽略高在三角形外部的情况导致漏解，解题时要注意结合分类讨论思想考虑所有可能的图形情况。
【难度系数】
0.6
已知$\cos B=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，可先确定$∠ B=45°$，要求$BC$的长度，可通过作高$AD⊥ BC$，将斜三角形转化为两个直角三角形求解。首先在$\mathrm{Rt}△ ABD$中利用三角函数求出$BD$和$AD$的长度，再在$\mathrm{Rt}△ ADC$中利用勾股定理求出$DC$的长度，最后分高$AD$在$△ ABC$内部和外部两种情况计算$BC$的长度即可。
【解析】
过点$A$作$AD⊥ BC$，垂足为$D$。
1. 在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ADB=90°$：
$\because \cos B=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$AB=12\sqrt{2}$，
$\therefore BD=AB·\cos B=12\sqrt{2}×\dfrac{\sqrt{2}}{2}=12$，
由勾股定理得$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{(12\sqrt{2})^2-12^2}=\sqrt{144}=12$。
2. 在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ ADC=90°$，$AC=13$，$AD=12$：
由勾股定理得$DC=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5$。
3. 分两种情况讨论：
① 当高$AD$在$△ ABC$内部时，$BC=BD+DC=12+5=17$；
② 当高$AD$在$△ ABC$外部（即$∠ ACB$为钝角）时，$BC=BD-DC=12-5=7$。
综上，$BC$边的长为7或17，故选D。
【答案】
D
【知识点】
解直角三角形，勾股定理，分类讨论
【点评】
本题的解题关键是通过作高将斜三角形转化为直角三角形求解，易错点是容易忽略高在三角形外部的情况导致漏解，解题时要注意结合分类讨论思想考虑所有可能的图形情况。
【难度系数】
0.6
9. (2025·德阳)六方钢也称六角棒,是钢材的一种,其截面为正六边形。六方钢可以通过切割、钻孔、车削等方式进行加工,广泛应用于各种建筑结构和工程结构,如房梁、桥梁柱、输电塔等。在学校开展的综合实践活动中,兴趣小组对六方钢截面图(如图5所示)的性质进行研究,测得边长$AB=1$,那么图中四边形$GCHF$的面积是 ()
A.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
B.$\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{3}$
A.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
B.$\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{3}$
答案
A
解析
【分析】解决本题的核心是利用正六边形的性质分析图形中的边角关系，逐步推导四边形GCHF的形状和相关边长、角度，进而计算面积。解题思路如下：①首先回忆正六边形的基本性质：所有边长相等，每个内角为120°，对边互相平行；②通过等腰三角形三线合一求对角线AC的长度；③分析△BCG的角度特征，解直角三角形求出GC的长度；④判断四边形GCHF为平行四边形，求出其内角角度，最终用平行四边形面积公式计算结果。
【解析】
∵正六边形ABCDEF的边长AB=1，
∴AB=BC=1，每个内角均为120°，即∠ABC=120°。
过点B作BM⊥AC于点M，
∵AB=BC，
∴AM=MC，∠ABM=$\frac{1}{2}$∠ABC=60°，
在Rt△ABM中，AM=AB·sin60°=$1×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AC=2AM=$\sqrt{3}$。
∵AB=AF=1，∠BAF=120°，
∴∠ABF=$\frac{180°-120°}{2}=30°$，
∴∠CBF=∠ABC - ∠ABF=120°-30°=90°，即△BCG为直角三角形。
又
∵∠BCA=30°，BC=1，
∴在Rt△BCG中，GC=$\frac{BC}{\cos30°}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
由正六边形的对称性可得CH=GC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，且AC//FD，BF//CE，
∴四边形GCHF是平行四边形。
∵∠BCA=∠ECD=30°，∠BCD=120°，
∴平行四边形GCHF的内角∠GCH=∠BCD - ∠BCA - ∠ECD=120°-30°-30°=60°，
∴平行四边形GCHF的面积$S=GC·CH·\sin60°=\frac{2\sqrt{3}}{3}×\frac{2\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
【答案】A
【知识点】正六边形的性质；解直角三角形；平行四边形面积计算
【点评】本题以实际生活中的六方钢截面为背景，考查正六边形性质与解直角三角形的结合应用，需要学生具备一定的图形分析能力，能准确梳理图形中的特殊角度和线段关系，是几何应用类的典型习题。
【难度系数】0.6
【解析】
∵正六边形ABCDEF的边长AB=1，
∴AB=BC=1，每个内角均为120°，即∠ABC=120°。
过点B作BM⊥AC于点M，
∵AB=BC，
∴AM=MC，∠ABM=$\frac{1}{2}$∠ABC=60°，
在Rt△ABM中，AM=AB·sin60°=$1×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AC=2AM=$\sqrt{3}$。
∵AB=AF=1，∠BAF=120°，
∴∠ABF=$\frac{180°-120°}{2}=30°$，
∴∠CBF=∠ABC - ∠ABF=120°-30°=90°，即△BCG为直角三角形。
又
∵∠BCA=30°，BC=1，
∴在Rt△BCG中，GC=$\frac{BC}{\cos30°}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
由正六边形的对称性可得CH=GC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，且AC//FD，BF//CE，
∴四边形GCHF是平行四边形。
∵∠BCA=∠ECD=30°，∠BCD=120°，
∴平行四边形GCHF的内角∠GCH=∠BCD - ∠BCA - ∠ECD=120°-30°-30°=60°，
∴平行四边形GCHF的面积$S=GC·CH·\sin60°=\frac{2\sqrt{3}}{3}×\frac{2\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
【答案】A
【知识点】正六边形的性质；解直角三角形；平行四边形面积计算
【点评】本题以实际生活中的六方钢截面为背景，考查正六边形性质与解直角三角形的结合应用，需要学生具备一定的图形分析能力，能准确梳理图形中的特殊角度和线段关系，是几何应用类的典型习题。
【难度系数】0.6
10. (2025·北京) 如图6,在平面直角坐标系xOy中,A,B分别是横、纵轴正半轴上的动点,四边形OACB是矩形,函数$y=\frac{1}{x}(x＞0)$的图象与边AC交于点M,与边BC交于点N(M,N不重合)。给出下面四个结论:
①$△ COM$与$△ CON$的面积一定相等;②$△ MON$与$△ MCN$的面积可能相等;③$△ MON$一定是锐角三角形;④$△ MON$可能是等边三角形。
上述结论中,所有正确结论的序号是 ()
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
①$△ COM$与$△ CON$的面积一定相等;②$△ MON$与$△ MCN$的面积可能相等;③$△ MON$一定是锐角三角形;④$△ MON$可能是等边三角形。
上述结论中,所有正确结论的序号是 ()
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
答案
B
解析
【分析】
解题时可采用设坐标代数推导的方法：首先设矩形顶点A(a,0)、B(0,b)（a＞0,b＞0），得到C(a,b)，再根据反比例函数解析式求出M、N的坐标，随后逐个验证四个结论是否成立即可。
【解析】
设点A坐标为(a,0)，点B坐标为(0,b)，其中a＞0，b＞0，
∵四边形OACB是矩形，
∴点C坐标为(a,b)。
∵点M在AC上，且在反比例函数$y=\frac{1}{x}(x＞0)$图象上，AC横坐标恒为a，
∴M$(a,\frac{1}{a})$；
∵点N在BC上，且在反比例函数$y=\frac{1}{x}(x＞0)$图象上，BC纵坐标恒为b，
∴N$(\frac{1}{b},b)$。
1. 验证结论①：
$S_{△ COM}=\frac{1}{2}× CM × OA=\frac{1}{2}× (b-\frac{1}{a})× a=\frac{1}{2}(ab-1)$，
$S_{△ CON}=\frac{1}{2}× CN × OB=\frac{1}{2}× (a-\frac{1}{b})× b=\frac{1}{2}(ab-1)$，
∴$S_{△ COM}=S_{△ CON}$，结论①正确。
2. 验证结论②：
$S_{△ MCN}=\frac{1}{2}× CM × CN=\frac{1}{2}(b-\frac{1}{a})(a-\frac{1}{b})=\frac{1}{2}(ab+\frac{1}{ab}-2)$，
$S_{△ MON}=S_{矩形OACB}-S_{△ OAM}-S_{△ OBN}-S_{△ MCN}=ab-\frac{1}{2}× a× \frac{1}{a}-\frac{1}{2}× \frac{1}{b}× b - S_{△ MCN}=ab-1-S_{△ MCN}$，
若$S_{△ MON}=S_{△ MCN}$，则$ab-1=2S_{△ MCN}$，代入得：
$ab-1=ab+\frac{1}{ab}-2$，解得$\frac{1}{ab}=1$即$ab=1$，
此时$M(a,\frac{1}{a})=(a,b)=C$，$N(\frac{1}{b},b)=(a,b)=C$，M、N与C重合，与题意矛盾，故结论②错误。
3. 验证结论③：
取a=1，b=3，得M(1,1)，N$(\frac{1}{3},3)$，
计算边长平方：$OM^2=1^2+1^2=2$，$MN^2=(1-\frac{1}{3})^2+(1-3)^2=\frac{40}{9}$，$ON^2=(\frac{1}{3})^2+3^2=\frac{82}{9}$，
∵$OM^2+MN^2=2+\frac{40}{9}=\frac{58}{9}＜\frac{82}{9}=ON^2$，
∴∠OMN为钝角，△MON为钝角三角形，故结论③错误。
4. 验证结论④：
若△MON为等边三角形，则OM=ON，
$OM^2=a^2+\frac{1}{a^2}$，$ON^2=b^2+\frac{1}{b^2}$，解得$a=b$（$a=\frac{1}{b}$时M、N与C重合，舍去），
此时令OM=MN，$MN^2=2(a-\frac{1}{a})^2$，故$a^2+\frac{1}{a^2}=2(a-\frac{1}{a})^2$，
设$t=a+\frac{1}{a}(t＞0)$，化简得$t^2-2=2(t^2-4)$，解得$t=\sqrt{6}$，即$a+\frac{1}{a}=\sqrt{6}$，该方程有正实数解，故存在符合条件的a、b，结论④正确。
综上，正确结论为①④。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的性质，三角形面积计算，特殊三角形判定
【点评】
本题是反比例函数与几何的综合题，通过设坐标将几何问题转化为代数推导，考查了学生数形结合的能力，需要熟练掌握反比例函数性质和三角形相关计算方法。
【难度系数】
0.4
解题时可采用设坐标代数推导的方法：首先设矩形顶点A(a,0)、B(0,b)（a＞0,b＞0），得到C(a,b)，再根据反比例函数解析式求出M、N的坐标，随后逐个验证四个结论是否成立即可。
【解析】
设点A坐标为(a,0)，点B坐标为(0,b)，其中a＞0，b＞0，
∵四边形OACB是矩形，
∴点C坐标为(a,b)。
∵点M在AC上，且在反比例函数$y=\frac{1}{x}(x＞0)$图象上，AC横坐标恒为a，
∴M$(a,\frac{1}{a})$；
∵点N在BC上，且在反比例函数$y=\frac{1}{x}(x＞0)$图象上，BC纵坐标恒为b，
∴N$(\frac{1}{b},b)$。
1. 验证结论①：
$S_{△ COM}=\frac{1}{2}× CM × OA=\frac{1}{2}× (b-\frac{1}{a})× a=\frac{1}{2}(ab-1)$，
$S_{△ CON}=\frac{1}{2}× CN × OB=\frac{1}{2}× (a-\frac{1}{b})× b=\frac{1}{2}(ab-1)$，
∴$S_{△ COM}=S_{△ CON}$，结论①正确。
2. 验证结论②：
$S_{△ MCN}=\frac{1}{2}× CM × CN=\frac{1}{2}(b-\frac{1}{a})(a-\frac{1}{b})=\frac{1}{2}(ab+\frac{1}{ab}-2)$，
$S_{△ MON}=S_{矩形OACB}-S_{△ OAM}-S_{△ OBN}-S_{△ MCN}=ab-\frac{1}{2}× a× \frac{1}{a}-\frac{1}{2}× \frac{1}{b}× b - S_{△ MCN}=ab-1-S_{△ MCN}$，
若$S_{△ MON}=S_{△ MCN}$，则$ab-1=2S_{△ MCN}$，代入得：
$ab-1=ab+\frac{1}{ab}-2$，解得$\frac{1}{ab}=1$即$ab=1$，
此时$M(a,\frac{1}{a})=(a,b)=C$，$N(\frac{1}{b},b)=(a,b)=C$，M、N与C重合，与题意矛盾，故结论②错误。
3. 验证结论③：
取a=1，b=3，得M(1,1)，N$(\frac{1}{3},3)$，
计算边长平方：$OM^2=1^2+1^2=2$，$MN^2=(1-\frac{1}{3})^2+(1-3)^2=\frac{40}{9}$，$ON^2=(\frac{1}{3})^2+3^2=\frac{82}{9}$，
∵$OM^2+MN^2=2+\frac{40}{9}=\frac{58}{9}＜\frac{82}{9}=ON^2$，
∴∠OMN为钝角，△MON为钝角三角形，故结论③错误。
4. 验证结论④：
若△MON为等边三角形，则OM=ON，
$OM^2=a^2+\frac{1}{a^2}$，$ON^2=b^2+\frac{1}{b^2}$，解得$a=b$（$a=\frac{1}{b}$时M、N与C重合，舍去），
此时令OM=MN，$MN^2=2(a-\frac{1}{a})^2$，故$a^2+\frac{1}{a^2}=2(a-\frac{1}{a})^2$，
设$t=a+\frac{1}{a}(t＞0)$，化简得$t^2-2=2(t^2-4)$，解得$t=\sqrt{6}$，即$a+\frac{1}{a}=\sqrt{6}$，该方程有正实数解，故存在符合条件的a、b，结论④正确。
综上，正确结论为①④。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的性质，三角形面积计算，特殊三角形判定
【点评】
本题是反比例函数与几何的综合题，通过设坐标将几何问题转化为代数推导，考查了学生数形结合的能力，需要熟练掌握反比例函数性质和三角形相关计算方法。
【难度系数】
0.4
二、填空题(每小题3分,共15分)
11.(2024·山西)如图7,机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置,其最快移动速度$v$(m/s)是载重后总质量$m$(kg)的反比例函数。已知一款机器狗载重后总质量$m=60$ kg时,它的最快移动速度$v=6$ m/s;当其载重后总质量$m=90$ kg时,它的最快移动速度$v=$m/s。
11.(2024·山西)如图7,机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置,其最快移动速度$v$(m/s)是载重后总质量$m$(kg)的反比例函数。已知一款机器狗载重后总质量$m=60$ kg时,它的最快移动速度$v=6$ m/s;当其载重后总质量$m=90$ kg时,它的最快移动速度$v=$m/s。
答案
$\boldsymbol{4}$
解析
【分析】
首先根据题目中“最快移动速度$v$是载重后总质量$m$的反比例函数”可确定函数类型，解题思路为：第一步先设出反比例函数的一般形式，第二步将已知的$m$、$v$的对应值代入解析式，求出未知常数$k$，得到完整的函数解析式，第三步将$m=90$代入已求出的解析式，计算得到对应的$v$值即可。
【解析】
设$v$与$m$的反比例函数解析式为$\boldsymbol{v=\frac{k}{m}}$（$k≠0$，$k$为常数），
将$m=60$，$v=6$代入解析式得：$6=\frac{k}{60}$，
解得：$k=6×60=360$，
因此$v$与$m$的函数解析式为$v=\frac{360}{m}$，
当$m=90$时，代入解析式得：$v=\frac{360}{90}=4$。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
反比例函数的概念；待定系数法求解析式；反比例函数求值
【点评】
本题考查反比例函数在实际问题中的应用，属于基础题型，解题的核心是先利用已知条件确定反比例函数的解析式，再代入数值计算即可。
【难度系数】
0.8
首先根据题目中“最快移动速度$v$是载重后总质量$m$的反比例函数”可确定函数类型，解题思路为：第一步先设出反比例函数的一般形式，第二步将已知的$m$、$v$的对应值代入解析式，求出未知常数$k$，得到完整的函数解析式，第三步将$m=90$代入已求出的解析式，计算得到对应的$v$值即可。
【解析】
设$v$与$m$的反比例函数解析式为$\boldsymbol{v=\frac{k}{m}}$（$k≠0$，$k$为常数），
将$m=60$，$v=6$代入解析式得：$6=\frac{k}{60}$，
解得：$k=6×60=360$，
因此$v$与$m$的函数解析式为$v=\frac{360}{m}$，
当$m=90$时，代入解析式得：$v=\frac{360}{90}=4$。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
反比例函数的概念；待定系数法求解析式；反比例函数求值
【点评】
本题考查反比例函数在实际问题中的应用，属于基础题型，解题的核心是先利用已知条件确定反比例函数的解析式，再代入数值计算即可。
【难度系数】
0.8
12. 在平面直角坐标系$xOy$中，$A$为双曲线上$y=-\dfrac{6}{x}$上一点，点$B$的坐标为$(4,0)$。如果$△ AOB$的面积为$6$，那么点$A$的坐标为。
答案
解：设点$A$的坐标为$(x,y)$，
由点$B(4,0)$可得$OB=4$。
$△ AOB$的面积$S=\frac{1}{2} · OB · |y| = 6$，
代入$OB=4$得：$\frac{1}{2} × 4 × |y| = 6$，
解得$|y|=3$，即$y=3$或$y=-3$。
将$y=3$代入$y=-\frac{6}{x}$，得$3=-\frac{6}{x}$，解得$x=-2$；
将$y=-3$代入$y=-\frac{6}{x}$，得$-3=-\frac{6}{x}$，解得$x=2$。
所以点$A$的坐标为$(-2,3)$或$(2,-3)$。
由点$B(4,0)$可得$OB=4$。
$△ AOB$的面积$S=\frac{1}{2} · OB · |y| = 6$，
代入$OB=4$得：$\frac{1}{2} × 4 × |y| = 6$，
解得$|y|=3$，即$y=3$或$y=-3$。
将$y=3$代入$y=-\frac{6}{x}$，得$3=-\frac{6}{x}$，解得$x=-2$；
将$y=-3$代入$y=-\frac{6}{x}$，得$-3=-\frac{6}{x}$，解得$x=2$。
所以点$A$的坐标为$(-2,3)$或$(2,-3)$。
解析
【分析】
要求点A的坐标，已知点A在反比例函数$y=-\dfrac{6}{x}$上，只要求出A的横/纵坐标，代入解析式就能求出另一个坐标值。首先观察△AOB的特征：点B在x轴上，OB可作为三角形的底，长度等于B点横坐标的绝对值即4；三角形的高对应点A到x轴的距离，也就是A点纵坐标的绝对值$|y|$。先通过三角形面积公式求出$|y|$的值，得到y的两种可能取值，再分别代入反比例函数解析式求解x即可，注意绝对值带来的多解情况，不要漏解。
【解析】
设点A的坐标为$(x,y)$，
由点$B(4,0)$可得$OB=4$。
$△ AOB$的面积$S=\frac{1}{2} · OB · |y| = 6$，
代入$OB=4$得：$\frac{1}{2} × 4 × |y| = 6$，
解得$|y|=3$，即$y=3$或$y=-3$。
将$y=3$代入$y=-\frac{6}{x}$，得$3=-\frac{6}{x}$，解得$x=-2$；
将$y=-3$代入$y=-\frac{6}{x}$，得$-3=-\frac{6}{x}$，解得$x=2$。
所以点A的坐标为$(-2,3)$或$(2,-3)$。
【答案】
$(-2,3)$或$(2,-3)$
【知识点】
1. 反比例函数点的坐标特征
2. 三角形面积计算
3. 绝对值的应用
【点评】
本题是反比例函数与几何面积结合的基础题型，解题关键是将三角形的高转化为点纵坐标的绝对值，解题时需注意绝对值的正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
要求点A的坐标，已知点A在反比例函数$y=-\dfrac{6}{x}$上，只要求出A的横/纵坐标，代入解析式就能求出另一个坐标值。首先观察△AOB的特征：点B在x轴上，OB可作为三角形的底，长度等于B点横坐标的绝对值即4；三角形的高对应点A到x轴的距离，也就是A点纵坐标的绝对值$|y|$。先通过三角形面积公式求出$|y|$的值，得到y的两种可能取值，再分别代入反比例函数解析式求解x即可，注意绝对值带来的多解情况，不要漏解。
【解析】
设点A的坐标为$(x,y)$，
由点$B(4,0)$可得$OB=4$。
$△ AOB$的面积$S=\frac{1}{2} · OB · |y| = 6$，
代入$OB=4$得：$\frac{1}{2} × 4 × |y| = 6$，
解得$|y|=3$，即$y=3$或$y=-3$。
将$y=3$代入$y=-\frac{6}{x}$，得$3=-\frac{6}{x}$，解得$x=-2$；
将$y=-3$代入$y=-\frac{6}{x}$，得$-3=-\frac{6}{x}$，解得$x=2$。
所以点A的坐标为$(-2,3)$或$(2,-3)$。
【答案】
$(-2,3)$或$(2,-3)$
【知识点】
1. 反比例函数点的坐标特征
2. 三角形面积计算
3. 绝对值的应用
【点评】
本题是反比例函数与几何面积结合的基础题型，解题关键是将三角形的高转化为点纵坐标的绝对值，解题时需注意绝对值的正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
