登录
18. (9分)(2025·泸州改编)如图12,一次函数$y=2x+b$的图象与反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象的一个交点为$A(2,6)$。
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)将一次函数$y=2x+b$的图象沿$y$轴向下平移12个单位长度,与反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象相交于点$B,C$,求$S_{△ ABC}$的值。
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)将一次函数$y=2x+b$的图象沿$y$轴向下平移12个单位长度,与反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象相交于点$B,C$,求$S_{△ ABC}$的值。
答案
解：
(1) 将点$A(2,6)$代入一次函数$y=2x+b$，得：
$6=2× 2 + b$，
解得$b=2$，
所以一次函数的表达式为$y=2x+2$。
将点$A(2,6)$代入反比例函数$y=\frac{m}{x}$，得：
$6=\frac{m}{2}$，
解得$m=12$，
所以反比例函数的表达式为$y=\frac{12}{x}$。
(2) 将一次函数$y=2x+2$沿$y$轴向下平移12个单位长度，得到平移后的直线解析式为：
$y=2x+2-12=2x-10$。
联立平移后的直线与反比例函数的方程：
$\begin{cases}y=2x-10 \\y=\frac{12}{x}\end{cases}$
消去$y$得$2x-10=\frac{12}{x}$，整理得$x^2-5x-6=0$，
解得$x_1=-1$，$x_2=6$。
将$x_1=-1$代入$y=2x-10$，得$y=-12$；将$x_2=6$代入$y=2x-10$，得$y=2$，
因此点$B$坐标为$(-1,-12)$，点$C$坐标为$(6,2)$。
过点$A$作$AD// y$轴，交直线$BC$于点$D$。
当$x=2$时，代入$y=2x-10$得$y=-6$，即$D(2,-6)$，
则$AD=6-(-6)=12$。
$\begin{aligned}S_{△ ABC}&=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}\\&=\frac{1}{2}· AD· |x_A-x_B| + \frac{1}{2}· AD· |x_C-x_A|\\&=\frac{1}{2}· AD· (x_C - x_B)\\&=\frac{1}{2}×12×[6-(-1)]\\&=42\end{aligned}$
综上，$S_{△ ABC}=42$。
(1) 将点$A(2,6)$代入一次函数$y=2x+b$，得：
$6=2× 2 + b$，
解得$b=2$，
所以一次函数的表达式为$y=2x+2$。
将点$A(2,6)$代入反比例函数$y=\frac{m}{x}$，得：
$6=\frac{m}{2}$，
解得$m=12$，
所以反比例函数的表达式为$y=\frac{12}{x}$。
(2) 将一次函数$y=2x+2$沿$y$轴向下平移12个单位长度，得到平移后的直线解析式为：
$y=2x+2-12=2x-10$。
联立平移后的直线与反比例函数的方程：
$\begin{cases}y=2x-10 \\y=\frac{12}{x}\end{cases}$
消去$y$得$2x-10=\frac{12}{x}$，整理得$x^2-5x-6=0$，
解得$x_1=-1$，$x_2=6$。
将$x_1=-1$代入$y=2x-10$，得$y=-12$；将$x_2=6$代入$y=2x-10$，得$y=2$，
因此点$B$坐标为$(-1,-12)$，点$C$坐标为$(6,2)$。
过点$A$作$AD// y$轴，交直线$BC$于点$D$。
当$x=2$时，代入$y=2x-10$得$y=-6$，即$D(2,-6)$，
则$AD=6-(-6)=12$。
$\begin{aligned}S_{△ ABC}&=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}\\&=\frac{1}{2}· AD· |x_A-x_B| + \frac{1}{2}· AD· |x_C-x_A|\\&=\frac{1}{2}· AD· (x_C - x_B)\\&=\frac{1}{2}×12×[6-(-1)]\\&=42\end{aligned}$
综上，$S_{△ ABC}=42$。
解析
【分析】
(1) 已知交点A的坐标，点在函数图象上则坐标满足对应函数解析式，因此将A(2,6)分别代入一次函数和反比例函数表达式，即可求出未知参数b、m，进而得到两个函数的表达式。
(2) 首先根据一次函数沿y轴平移“上加下减”的规律，求出平移后的直线解析式；再联立平移后的直线与反比例函数解析式，解方程组得到B、C两点的坐标；求△ABC的面积时采用割补法：过点A作平行于y轴的直线交BC于D，将△ABC拆分为△ABD和△ACD，两个三角形的底均为AD的长度，高分别为A与B的水平距离、C与A的水平距离，求和即可得到△ABC的面积。
【解析】
(1) 求两个函数的表达式：
将点$A(2,6)$代入一次函数$y=2x+b$，得：
$6=2× 2 + b$，
解得$b=2$，
所以一次函数的表达式为$y=2x+2$。
将点$A(2,6)$代入反比例函数$y=\frac{m}{x}$，得：
$6=\frac{m}{2}$，
解得$m=12$，
所以反比例函数的表达式为$y=\frac{12}{x}$。
(2) 求$S_{△ ABC}$的值：
将一次函数$y=2x+2$沿$y$轴向下平移12个单位长度，得到平移后的直线解析式为：
$y=2x+2-12=2x-10$。
联立平移后的直线与反比例函数的方程：
$\begin{cases}y=2x-10 \\y=\frac{12}{x}\end{cases}$
消去$y$得$2x-10=\frac{12}{x}$，整理得$x^2-5x-6=0$，
解得$x_1=-1$，$x_2=6$。
将$x_1=-1$代入$y=2x-10$，得$y=-12$；将$x_2=6$代入$y=2x-10$，得$y=2$，
因此点$B$坐标为$(-1,-12)$，点$C$坐标为$(6,2)$。
过点$A$作$AD// y$轴，交直线$BC$于点$D$。
当$x=2$时，代入$y=2x-10$得$y=-6$，即$D(2,-6)$，
则$AD=6-(-6)=12$。
$\begin{aligned}S_{△ ABC}&=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}\\&=\frac{1}{2}· AD· |x_A-x_B| + \frac{1}{2}· AD· |x_C-x_A|\\&=\frac{1}{2}· AD· (x_C - x_B)\\&=\frac{1}{2}×12×[6-(-1)]\\&=42\end{aligned}$
【答案】
(1) 一次函数表达式为$\boldsymbol{y=2x+2}$，反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{12}{x}}$；
(2) $\boldsymbol{S_{△ ABC}=42}$
【知识点】
待定系数法求解析式，函数图象平移，坐标系面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题型，既考查了函数基础性质的应用，也考查了数形结合思想在几何计算中的运用，解题关键是熟练掌握函数相关基本规律，灵活选用割补法简化面积计算。
【难度系数】
0.6
(1) 已知交点A的坐标，点在函数图象上则坐标满足对应函数解析式，因此将A(2,6)分别代入一次函数和反比例函数表达式，即可求出未知参数b、m，进而得到两个函数的表达式。
(2) 首先根据一次函数沿y轴平移“上加下减”的规律，求出平移后的直线解析式；再联立平移后的直线与反比例函数解析式，解方程组得到B、C两点的坐标；求△ABC的面积时采用割补法：过点A作平行于y轴的直线交BC于D，将△ABC拆分为△ABD和△ACD，两个三角形的底均为AD的长度，高分别为A与B的水平距离、C与A的水平距离，求和即可得到△ABC的面积。
【解析】
(1) 求两个函数的表达式：
将点$A(2,6)$代入一次函数$y=2x+b$，得：
$6=2× 2 + b$，
解得$b=2$，
所以一次函数的表达式为$y=2x+2$。
将点$A(2,6)$代入反比例函数$y=\frac{m}{x}$，得：
$6=\frac{m}{2}$，
解得$m=12$，
所以反比例函数的表达式为$y=\frac{12}{x}$。
(2) 求$S_{△ ABC}$的值：
将一次函数$y=2x+2$沿$y$轴向下平移12个单位长度，得到平移后的直线解析式为：
$y=2x+2-12=2x-10$。
联立平移后的直线与反比例函数的方程：
$\begin{cases}y=2x-10 \\y=\frac{12}{x}\end{cases}$
消去$y$得$2x-10=\frac{12}{x}$，整理得$x^2-5x-6=0$，
解得$x_1=-1$，$x_2=6$。
将$x_1=-1$代入$y=2x-10$，得$y=-12$；将$x_2=6$代入$y=2x-10$，得$y=2$，
因此点$B$坐标为$(-1,-12)$，点$C$坐标为$(6,2)$。
过点$A$作$AD// y$轴，交直线$BC$于点$D$。
当$x=2$时，代入$y=2x-10$得$y=-6$，即$D(2,-6)$，
则$AD=6-(-6)=12$。
$\begin{aligned}S_{△ ABC}&=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}\\&=\frac{1}{2}· AD· |x_A-x_B| + \frac{1}{2}· AD· |x_C-x_A|\\&=\frac{1}{2}· AD· (x_C - x_B)\\&=\frac{1}{2}×12×[6-(-1)]\\&=42\end{aligned}$
【答案】
(1) 一次函数表达式为$\boldsymbol{y=2x+2}$，反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{12}{x}}$；
(2) $\boldsymbol{S_{△ ABC}=42}$
【知识点】
待定系数法求解析式，函数图象平移，坐标系面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题型，既考查了函数基础性质的应用，也考查了数形结合思想在几何计算中的运用，解题关键是熟练掌握函数相关基本规律，灵活选用割补法简化面积计算。
【难度系数】
0.6
19. (9分)(2024·甘孜州改编)如图13,一艘海轮位于灯塔P的北偏东37°方向,距离灯塔100海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处。这时,B处距离A处有多远?(结果保留整数。参考数据:$\sin37°\approx0.60,\cos37°\approx0.80,\tan37°\approx0.75$)
答案
解：过点P作PC⊥AB，垂足为C。
由题意可知，AB沿正南方向，PN为正北方向，故AB//PN，∠A=37°，∠BPC=45°，AP=100海里。
在Rt△ACP中，∠ACP=90°，
$PC = AP·\sin37° \approx 100×0.60 = 60$（海里），
$AC = AP·\cos37° \approx 100×0.80 = 80$（海里）。
在Rt△BCP中，∠BCP=90°，∠BPC=45°，
$\therefore BC = PC = 60$ 海里。
$\therefore AB = AC + BC = 80 + 60 = 140$（海里）。
答：B处距离A处约140海里。
由题意可知，AB沿正南方向，PN为正北方向，故AB//PN，∠A=37°，∠BPC=45°，AP=100海里。
在Rt△ACP中，∠ACP=90°，
$PC = AP·\sin37° \approx 100×0.60 = 60$（海里），
$AC = AP·\cos37° \approx 100×0.80 = 80$（海里）。
在Rt△BCP中，∠BCP=90°，∠BPC=45°，
$\therefore BC = PC = 60$ 海里。
$\therefore AB = AC + BC = 80 + 60 = 140$（海里）。
答：B处距离A处约140海里。
解析
【分析】
这是一道解直角三角形的方向角实际应用题，解题思路如下：首先题目给出的△APB不是直角三角形，因此需要通过作辅助线构造直角三角形，过点P作PC⊥AB，将△APB拆分为Rt△ACP和Rt△BCP两个直角三角形；接下来在Rt△ACP中，利用∠A的三角函数值，结合已知的AP长度，分别求出PC和AC的长度；再观察Rt△BCP，其中∠BPC=45°，可知该三角形是等腰直角三角形，可得BC=PC；最后AB的长度为AC与BC的和，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
过点P作PC⊥AB，垂足为C。
由题意可知，AB沿正南方向，PN为正北方向，故AB//PN，∠A=37°，∠BPC=45°，AP=100海里。
在Rt△ACP中，∠ACP=90°，
$PC = AP·\sin37° \approx 100×0.60 = 60$（海里），
$AC = AP·\cos37° \approx 100×0.80 = 80$（海里）。
在Rt△BCP中，∠BCP=90°，∠BPC=45°，
$\therefore BC = PC = 60$ 海里。
$\therefore AB = AC + BC = 80 + 60 = 140$（海里）。
【答案】
B处距离A处约140海里。
【知识点】
方向角应用，解直角三角形，等腰直角三角形性质
【点评】
本题是三角函数在实际场景中的典型应用，重点考查方向角的理解、三角函数的运用，解题的核心是通过作垂线构造直角三角形，将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，解题时可结合特殊角度的性质简化计算。
【难度系数】
0.7
这是一道解直角三角形的方向角实际应用题，解题思路如下：首先题目给出的△APB不是直角三角形，因此需要通过作辅助线构造直角三角形，过点P作PC⊥AB，将△APB拆分为Rt△ACP和Rt△BCP两个直角三角形；接下来在Rt△ACP中，利用∠A的三角函数值，结合已知的AP长度，分别求出PC和AC的长度；再观察Rt△BCP，其中∠BPC=45°，可知该三角形是等腰直角三角形，可得BC=PC；最后AB的长度为AC与BC的和，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
过点P作PC⊥AB，垂足为C。
由题意可知，AB沿正南方向，PN为正北方向，故AB//PN，∠A=37°，∠BPC=45°，AP=100海里。
在Rt△ACP中，∠ACP=90°，
$PC = AP·\sin37° \approx 100×0.60 = 60$（海里），
$AC = AP·\cos37° \approx 100×0.80 = 80$（海里）。
在Rt△BCP中，∠BCP=90°，∠BPC=45°，
$\therefore BC = PC = 60$ 海里。
$\therefore AB = AC + BC = 80 + 60 = 140$（海里）。
【答案】
B处距离A处约140海里。
【知识点】
方向角应用，解直角三角形，等腰直角三角形性质
【点评】
本题是三角函数在实际场景中的典型应用，重点考查方向角的理解、三角函数的运用，解题的核心是通过作垂线构造直角三角形，将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，解题时可结合特殊角度的性质简化计算。
【难度系数】
0.7
20. (9分)为弘扬民族传统体育文化,某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目。滚铁环器材由铁环和推杆组成。小明对滚铁环的启动阶段进行了研究,如图14,滚铁环时,铁环⊙O与水平地面相切于点C,推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD,点O,A,B,C,D在同一平面内。当推杆AB与铁环⊙O相切于点B时,手上的力量通过切点B传递到铁环上,会有较好的启动效果。
(1)求证:∠BOC+∠BAD=90°。
(2)实践中发现,切点B只有在铁环上一定区域内时,才能保证铁环平稳启动。图中点B是该区域内最低位置,此时点A距地面的距离AD最小,测得$\cos∠BAD=\frac{3}{5}$。已知铁环⊙O的半径为25 cm,推杆AB的长为75 cm,求此时AD的长。
(1)求证:∠BOC+∠BAD=90°。
(2)实践中发现,切点B只有在铁环上一定区域内时,才能保证铁环平稳启动。图中点B是该区域内最低位置,此时点A距地面的距离AD最小,测得$\cos∠BAD=\frac{3}{5}$。已知铁环⊙O的半径为25 cm,推杆AB的长为75 cm,求此时AD的长。
答案
(1) 证明：
∵ ⊙O与水平地面相切于点C，
∴ OC⊥CD。
∵ AD⊥CD，
∴ OC//AD。
过点B作MN//CD，分别交OC、AD于点M、N，
∴ MN//OC//AD，
∴ ∠ABN = ∠BAD，∠OBM = ∠BOC。
∵ AB与⊙O相切于点B，
∴ OB⊥AB，即∠ABO = 90°，
∴ ∠ABN + ∠OBM = 90°，
∴ ∠BOC + ∠BAD = 90°。
---
(2) 解：
在Rt△ABN中，∠ANB = 90°，AB = 75 cm，$\cos∠ BAD=\frac{3}{5}$，
∴ $AN = AB·\cos∠ BAD = 75×\frac{3}{5} = 45\ \mathrm{cm}$，
$\sin∠ BAD = \sqrt{1-\cos^2∠ BAD} = \frac{4}{5}$，
∴ $BN = AB·\sin∠ BAD = 75×\frac{4}{5} = 60\ \mathrm{cm}$。
由(1)知$∠ BOC + ∠ BAD = 90°$，又$∠ BOC + ∠ OBM = 90°$，
∴ $∠ OBM = ∠ BAD$。
在Rt△OMB中，∠OMB = 90°，OB = 25 cm，
∴ $BM = OB·\cos∠ OBM = 25×\frac{3}{5} = 15\ \mathrm{cm}$，
$OM = OB·\sin∠ OBM = 25×\frac{4}{5} = 20\ \mathrm{cm}$。
∵ 四边形MNDC是矩形，
∴ $ND = MC = OC - OM = 25 - 20 = 5\ \mathrm{cm}$，
∴ $AD = AN + ND = 45 + 5 = 50\ \mathrm{cm}$。
答：此时AD的长为50 cm。
∵ ⊙O与水平地面相切于点C，
∴ OC⊥CD。
∵ AD⊥CD，
∴ OC//AD。
过点B作MN//CD，分别交OC、AD于点M、N，
∴ MN//OC//AD，
∴ ∠ABN = ∠BAD，∠OBM = ∠BOC。
∵ AB与⊙O相切于点B，
∴ OB⊥AB，即∠ABO = 90°，
∴ ∠ABN + ∠OBM = 90°，
∴ ∠BOC + ∠BAD = 90°。
---
(2) 解：
在Rt△ABN中，∠ANB = 90°，AB = 75 cm，$\cos∠ BAD=\frac{3}{5}$，
∴ $AN = AB·\cos∠ BAD = 75×\frac{3}{5} = 45\ \mathrm{cm}$，
$\sin∠ BAD = \sqrt{1-\cos^2∠ BAD} = \frac{4}{5}$，
∴ $BN = AB·\sin∠ BAD = 75×\frac{4}{5} = 60\ \mathrm{cm}$。
由(1)知$∠ BOC + ∠ BAD = 90°$，又$∠ BOC + ∠ OBM = 90°$，
∴ $∠ OBM = ∠ BAD$。
在Rt△OMB中，∠OMB = 90°，OB = 25 cm，
∴ $BM = OB·\cos∠ OBM = 25×\frac{3}{5} = 15\ \mathrm{cm}$，
$OM = OB·\sin∠ OBM = 25×\frac{4}{5} = 20\ \mathrm{cm}$。
∵ 四边形MNDC是矩形，
∴ $ND = MC = OC - OM = 25 - 20 = 5\ \mathrm{cm}$，
∴ $AD = AN + ND = 45 + 5 = 50\ \mathrm{cm}$。
答：此时AD的长为50 cm。
解析
【分析】
（1）要证明∠BOC+∠BAD=90°，首先根据切线性质，⊙O与地面相切于C，得OC⊥CD，结合AD⊥CD可推出OC//AD；为将两个分散的角建立联系，过点B作MN//CD，分别交OC、AD于M、N，利用平行线的内错角相等，可将∠BOC转化为∠OBM，∠BAD转化为∠ABN；再由AB是⊙O的切线，得OB⊥AB，即∠ABO=90°，因此∠ABN+∠OBM=90°，等量代换即可完成证明。
（2）求AD的长可拆分计算：AD=AN+ND。首先在Rt△ABN中，已知AB长度和cos∠BAD的值，利用三角函数分别求出AN、BN的长度；再结合（1）的结论可推出∠OBM=∠BAD，在Rt△OBM中，已知OB为⊙O的半径，利用三角函数求出OM的长度；最后根据四边形MNDC是矩形，得ND=MC=OC-OM，将AN与ND相加即可得到AD的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ ⊙O与水平地面相切于点C，
∴ OC⊥CD。
∵ AD⊥CD，
∴ OC//AD。
过点B作MN//CD，分别交OC、AD于点M、N，
∴ MN//OC//AD，
∴ ∠ABN = ∠BAD，∠OBM = ∠BOC。
∵ AB与⊙O相切于点B，
∴ OB⊥AB，即∠ABO = 90°，
∴ ∠ABN + ∠OBM = 180°-∠ABO=90°，
∴ ∠BOC + ∠BAD = 90°。
(2) 解：
在Rt△ABN中，∠ANB = 90°，AB = 75 cm，$\cos∠ BAD=\frac{3}{5}$，
∴ $AN = AB·\cos∠ BAD = 75×\frac{3}{5} = 45\ \mathrm{cm}$，
$\sin∠ BAD = \sqrt{1-\cos^2∠ BAD} = \frac{4}{5}$，
∴ $BN = AB·\sin∠ BAD = 75×\frac{4}{5} = 60\ \mathrm{cm}$。
由(1)知$∠ BOC + ∠ BAD = 90°$，又$∠ BOC + ∠ OBM = 90°$，
∴ $∠ OBM = ∠ BAD$。
在Rt△OMB中，∠OMB = 90°，OB = 25 cm，
∴ $BM = OB·\cos∠ OBM = 25×\frac{3}{5} = 15\ \mathrm{cm}$，
$OM = OB·\sin∠ OBM = 25×\frac{4}{5} = 20\ \mathrm{cm}$。
∵ 四边形MNDC是矩形，
∴ $ND = MC = OC - OM = 25 - 20 = 5\ \mathrm{cm}$，
∴ $AD = AN + ND = 45 + 5 = 50\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\boxed{50\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
切线的性质；解直角三角形；矩形的性质
【点评】
本题结合传统体育项目场景考查几何综合应用能力，将圆的性质、三角函数、平行线与矩形的性质等知识点融合，解题的关键是合理作出辅助线实现角的转化，再通过拆分线段结合三角函数计算长度，能够有效考查学生的几何推理和运算能力。
【难度系数】
0.6
（1）要证明∠BOC+∠BAD=90°，首先根据切线性质，⊙O与地面相切于C，得OC⊥CD，结合AD⊥CD可推出OC//AD；为将两个分散的角建立联系，过点B作MN//CD，分别交OC、AD于M、N，利用平行线的内错角相等，可将∠BOC转化为∠OBM，∠BAD转化为∠ABN；再由AB是⊙O的切线，得OB⊥AB，即∠ABO=90°，因此∠ABN+∠OBM=90°，等量代换即可完成证明。
（2）求AD的长可拆分计算：AD=AN+ND。首先在Rt△ABN中，已知AB长度和cos∠BAD的值，利用三角函数分别求出AN、BN的长度；再结合（1）的结论可推出∠OBM=∠BAD，在Rt△OBM中，已知OB为⊙O的半径，利用三角函数求出OM的长度；最后根据四边形MNDC是矩形，得ND=MC=OC-OM，将AN与ND相加即可得到AD的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ ⊙O与水平地面相切于点C，
∴ OC⊥CD。
∵ AD⊥CD，
∴ OC//AD。
过点B作MN//CD，分别交OC、AD于点M、N，
∴ MN//OC//AD，
∴ ∠ABN = ∠BAD，∠OBM = ∠BOC。
∵ AB与⊙O相切于点B，
∴ OB⊥AB，即∠ABO = 90°，
∴ ∠ABN + ∠OBM = 180°-∠ABO=90°，
∴ ∠BOC + ∠BAD = 90°。
(2) 解：
在Rt△ABN中，∠ANB = 90°，AB = 75 cm，$\cos∠ BAD=\frac{3}{5}$，
∴ $AN = AB·\cos∠ BAD = 75×\frac{3}{5} = 45\ \mathrm{cm}$，
$\sin∠ BAD = \sqrt{1-\cos^2∠ BAD} = \frac{4}{5}$，
∴ $BN = AB·\sin∠ BAD = 75×\frac{4}{5} = 60\ \mathrm{cm}$。
由(1)知$∠ BOC + ∠ BAD = 90°$，又$∠ BOC + ∠ OBM = 90°$，
∴ $∠ OBM = ∠ BAD$。
在Rt△OMB中，∠OMB = 90°，OB = 25 cm，
∴ $BM = OB·\cos∠ OBM = 25×\frac{3}{5} = 15\ \mathrm{cm}$，
$OM = OB·\sin∠ OBM = 25×\frac{4}{5} = 20\ \mathrm{cm}$。
∵ 四边形MNDC是矩形，
∴ $ND = MC = OC - OM = 25 - 20 = 5\ \mathrm{cm}$，
∴ $AD = AN + ND = 45 + 5 = 50\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\boxed{50\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
切线的性质；解直角三角形；矩形的性质
【点评】
本题结合传统体育项目场景考查几何综合应用能力，将圆的性质、三角函数、平行线与矩形的性质等知识点融合，解题的关键是合理作出辅助线实现角的转化，再通过拆分线段结合三角函数计算长度，能够有效考查学生的几何推理和运算能力。
【难度系数】
0.6
