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8 如图,圆柱形容器的高为1.2 m,底面周长为1 m,在容器内壁离容器底部0.3 m的点B处有一蚊子,此时一只壁虎正好在容器外壁,离容器上沿0.3 m与蚊子相对的点A处,则壁虎捕捉蚊子的最短距离为
1.3
m(容器厚度忽略不计).答案
如图,将容器侧面的一半展开,作点A关于EF的对称点$A'$.
∵高为1.2 m,底面周长为1 m,在容器内壁离容器底部0.3 m的点B处有一蚊子,此时一只壁虎正好在容器外壁,离容器上沿0.3 m与蚊子相对的点A处,
∴$A'D=0.5$ m,$BD=1.2-0.3+0.3=1.2$(m).
连接$A'B$,则$A'B$即为最短距离,
在$\mathrm{Rt}△A'DB$中,由勾股定理,得$A'B=1.3$ m.
本题考查了平面展开——最短路径问题,将图形展开,利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键.同时考查了创新意识和应用意识.
∵高为1.2 m,底面周长为1 m,在容器内壁离容器底部0.3 m的点B处有一蚊子,此时一只壁虎正好在容器外壁,离容器上沿0.3 m与蚊子相对的点A处,
∴$A'D=0.5$ m,$BD=1.2-0.3+0.3=1.2$(m).
连接$A'B$,则$A'B$即为最短距离,
在$\mathrm{Rt}△A'DB$中,由勾股定理,得$A'B=1.3$ m.
本题考查了平面展开——最短路径问题,将图形展开,利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键.同时考查了创新意识和应用意识.
9 如图,在$△ ABC$中,$CD ⊥ AB$于点$D$,若$AD:BD=5:2$,$AC=17$,$BC=10$,则$BD$的长为(
A.4
B.5
C.6
D.8
C
).A.4
B.5
C.6
D.8
答案
设$BD=2x$,则$AD=5x$,在$\mathrm{Rt}△ACD$与$\mathrm{Rt}△BCD$中,$AC^2-AD^2=BC^2-BD^2$,即$17^2-(5x)^2=10^2-(2x)^2$,解得$x=3$,
∴$BD=6$. 故选C.
∴$BD=6$. 故选C.
10 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=4$，$BC=3$，将$△ ABC$扩充为等腰三角形$ABD$，且扩充部分是以$AC$为直角边的直角三角形，则$CD$的长为(
A.3 或 $\frac{7}{6}$ 或 2
B.3 或 $\frac{7}{6}$
C.2 或 $\frac{7}{6}$
D.2 或 3
A
).A.3 或 $\frac{7}{6}$ 或 2
B.3 或 $\frac{7}{6}$
C.2 或 $\frac{7}{6}$
D.2 或 3
答案
分三种情况:①当$AD=AB$时,则$CD=BC=3$;②当$AD=BD$时,设$CD=x$,则$BD=x+3$,由勾股定理,得$(x+3)^2=x^2+4^2$,解得$x=\frac{7}{6}$;③当$BD=AB$时,由勾股定理,得$AB=5$,则$CD=5-3=2$.故$CD$的长为3或$\frac{7}{6}$或2. 故选A.
本题考查了勾股定理的应用以及分类讨论的思想,关键在于找到三种情况,即$AD=AB$,$AD=BD$和$BD=AB$,要考虑全面,切勿漏解.
本题考查了勾股定理的应用以及分类讨论的思想,关键在于找到三种情况,即$AD=AB$,$AD=BD$和$BD=AB$,要考虑全面,切勿漏解.
11 如图，已知钓鱼竿AC的长为10 m，露在水面上的鱼线BC长为6 m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'为8 m，则BB'的长为
2 m
。答案
2 m
12 一个三角形三边长分别为$5k$，$12k$，$13k$，面积$S≤900$，满足情况的正整数$k$有
5
个。答案
由题意,得$(5k)^2+(12k)^2=(13k)^2$,
∴该三角形为直角三角形,且两直角边分别是$5k$,$12k$,
∴$S=\frac{1}{2}×5k×12k=30k^2$.
∵$S≤900$,
∴$30k^2≤900$,
∴$k^2≤30$.又$k$为正整数,
∴$k=1,2,3,4,5$,
∴满足情况的正整数$k$有5个.
∴该三角形为直角三角形,且两直角边分别是$5k$,$12k$,
∴$S=\frac{1}{2}×5k×12k=30k^2$.
∵$S≤900$,
∴$30k^2≤900$,
∴$k^2≤30$.又$k$为正整数,
∴$k=1,2,3,4,5$,
∴满足情况的正整数$k$有5个.
13 如图(1),将长为$2a+3$、宽为$2a$的长方形分割成四个全等的直角三角形,拼成“赵爽弦图”(如图(2)),得到大小两个正方形.
(1)用含有$a$的代数式表示图(2)中小正方形的边长.
(2)当$a=3$时,该小正方形的面积是多少?
(1)用含有$a$的代数式表示图(2)中小正方形的边长.
(2)当$a=3$时,该小正方形的面积是多少?
答案
(1)
∵直角三角形较短的直角边为$\frac{1}{2}×2a=a$,较长的直角边为$2a+3$,
∴小正方形的边长为$2a+3-a=a+3$.
(2)小正方形的面积为$(a+3)^2$,
当$a=3$时,面积为$(3+3)^2=36$.
∵直角三角形较短的直角边为$\frac{1}{2}×2a=a$,较长的直角边为$2a+3$,
∴小正方形的边长为$2a+3-a=a+3$.
(2)小正方形的面积为$(a+3)^2$,
当$a=3$时,面积为$(3+3)^2=36$.
14 新情境 机器人拦截小球 如图，$∠ AOB=90°$，$OA=18\ \mathrm{cm}$，$OB=6\ \mathrm{cm}$，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球。如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？
答案
∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等,运动时间相等,
∴$BC=CA$.
设$BC=x$ cm,则$AC=x$ cm,$OC=OA-AC=(18-x)$cm.
∵$∠AOB=90°$,
∴由勾股定理可知,$OB^2+OC^2=BC^2$.
又$OC=(18-x)$cm,$OB=6$ cm,
∴$6^2+(18-x)^2=x^2$,解得$x=10$.
故机器人行走的路程BC是10 cm.
本题考查了勾股定理的应用,解题的关键是抓住“机器人与小球同时出发,速度相等”这两个条件,得到$BC=AC$,从而将已知量和未知量集中到$\mathrm{Rt}△BOC$中,就可以利用勾股定理建立方程来求解.
