15 小亮用11块高度都是2 cm 的相同长方体小木块垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个正方形木板ABCD，截面如图所示。两木墙高分别为AE与CF，点B在EF上，求正方形木板ABCD的面积。

∵$AE⊥EF$,$CF⊥EF$,
∴$∠AEB=∠BFC=90°$,
∴$∠EAB+∠ABE=90°$.
∵四边形ABCD是正方形,
∴$AB=BC$,$∠ABC=90°$,
∴$∠ABE+∠CBF=90°$,
∴$∠EAB=∠FBC$.
在$△ABE$和$△BCF$中,
$\{\begin{array}{l}∠AEB=∠BFC,\\∠EAB=∠FBC,\\AB=BC,\end{array} $
∴$△ABE≌△BCF$(AAS),
∴$AE=BF=2×5=10$(cm).
∵$CF=2×6=12$(cm),
∴在$\mathrm{Rt}△BCF$中,$BC^2=BF^2+CF^2=10^2+12^2=244$,
∴$S_{正方形ABCD}=BC^2=244$ cm².
故正方形木板ABCD的面积为244 cm².

16 (2025·山东泰安岱岳区期中)《九章算术》是古代东方数学代表作,书中记载:今有开门去阃(门槛)一尺,不合四寸,问门广几何?其大意:如图,推开双门(大小相同),双门间隙$CD=4$寸,点$C$、点$D$与门槛$AB$的距离$CE=DF=1$尺(1尺=10寸),求$AB$的长.

设$AE=BF=x$寸,则$AC=(x+2)$寸,
∵$AE^2+CE^2=AC^2$,
∴$x^2+10^2=(x+2)^2$,解得$x=24$,
则$AB=24+24+4=52$(寸).故AB的长为52寸.

17 如图,道路 BC 旁有一座小山 A,因工程开发需要爆破.在小山 A 北偏东 $16°$方向,距小山600 米的 B 处是一个公交站;在小山北偏西$74°$方向,距小山 800 米的 C 处是另一个公交站.
(1)爆破时,在爆破点 A 周围 400 米范围有危险,为了安全,在爆破小山时需不需要暂时封闭道路 BC? 请通过计算说明理由.
(2)点 D 是道路 BC 上一点(点 D 不与点 B 重合),$AD=AB$,$△ ADC$区域是规划中的公园,这个公园占地多少平方米?

(1)在爆破小山时不需要暂时封闭道路BC.理由如下:
由题意,得$∠CAK=74°$,$∠BAK=16°$,$AB=600$米,$AC=800$米,
∴$∠CAB=90°$,由勾股定理,得$BC=1\ 000$米.
如图,过点A作$AH⊥BC$于点H,
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2} BC · AH=\frac{1}{2} AC · AB$,
∴$AH=\frac{600×800}{1000}=480$(米).
∵480米＞400米,
∴在爆破小山时不需要暂时封闭道路BC.
(2)
∵$AD=AB$,$AH⊥BD$,
∴在$\mathrm{Rt}△BAH$中,由勾股定理,得$BH=360$米,
∴$DH=BH=360$米.
∴$CD=1\ 000-2×360=280$(米),
∴$S_{△ACD}=\frac{1}{2}×280×480=67\ 200$(平方米).
故这个公园占地67 200平方米.
本题考查勾股定理的应用,构造直角三角形是解题的关键.

18 (2025·广东梅州期末)如图,在一条河的北侧有一村庄 C,河边原有两个取水点 A,B,其中$AB=AC$,因规划建设,点 C 到点 A 段暂时封闭施工,为方便村民取水,决定在河边新建一个取水点 H(A,H,B 在一条直线上),并修一条路 CH.测得$CB=2$千米,$CH=1.6$千米,$HB=1.2$千米.
(1)请判断 CH 是否为从村庄 C 到河边的最近路,并说明理由;
(2)求原来的路线 AC 的长.

(1)CH是从村庄C到河边的最近路.理由如下:
∵$CH^2+BH^2=1.6^2+1.2^2=4$,$BC^2=4$,
∴$CH^2+BH^2=BC^2$,
∴$△CHB$为直角三角形,且$∠CHB=90°$,
∴$CH⊥AB$,
∴CH是从村庄C到河边的最近路.
(2)设$AB=AC=x$千米,则$AH=(x-1.2)$千米,
∵$∠AHC=90°$,
∴$AC^2=AH^2+CH^2$,
即$x^2=(x-1.2)^2+1.6^2$,解得$x=\frac{5}{3}$.
故原来的路线AC的长为$\frac{5}{3}$千米.
利用勾股定理建立方程