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1 在$△ ABC$中，若$AC^2 - BC^2 = AB^2$，则(
A.$∠ A = 90°$
B.$∠ B = 90°$
C.$∠ C = 90°$
D.不能确定
B
)。A.$∠ A = 90°$
B.$∠ B = 90°$
C.$∠ C = 90°$
D.不能确定
答案
∵AC²−BC²=AB²,
∴AC²=BC²+AB²,
∴∠B=90°. 故选B.
2 在$△ ABC$中，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$的对边分别是$a$，$b$，$c$，下列说法错误的是(
A.若$∠ C - ∠ B = ∠ A$，则$△ ABC$是直角三角形
B.若$c^2 = b^2 - a^2$，则$△ ABC$是直角三角形
C.若$∠ A: ∠ B: ∠ C = 1:2:3$，则$△ ABC$是直角三角形
D.若$a^2 + b^2 ≠ c^2$，则$△ ABC$不是直角三角形
D
).A.若$∠ C - ∠ B = ∠ A$，则$△ ABC$是直角三角形
B.若$c^2 = b^2 - a^2$，则$△ ABC$是直角三角形
C.若$∠ A: ∠ B: ∠ C = 1:2:3$，则$△ ABC$是直角三角形
D.若$a^2 + b^2 ≠ c^2$，则$△ ABC$不是直角三角形
答案
A. $∠C−∠B=∠A$,即$∠A+∠B=∠C$. 又$∠A+∠B+∠C=180°$,所以$∠C=90°$,则$△ABC$是直角三角形,说法正确; B. $c^2 = b^2 - a^2$,即$a^2 + c^2 = b^2$,则$△ABC$是直角三角形且$∠B=90°$,说法正确;C. $∠A:∠B:∠C=1:2:3$,因为$∠A+∠B+∠C=180°$,所以$∠C=90°$,则$△ABC$是直角三角形,说法正确;D. $a=3,b=5,c=4$,$3^2+5^2≠4^2$,但是$3^2+4^2=5^2$,则$△ABC$可能是直角三角形,故原说法错误. 故选D.
3 如图,在四边形ABCD中,AB=5,BC=3,DE⊥AC于点$E,DE=3,S_{△ DAC}=6,$求∠ACB的度数. 
(第3题)
(第3题)答案
∵DE=3,$S_{△ DAC}=6$,$DE⊥AC$,
∴$\frac{1}{2} AC × 3 = 6$,解得$AC=4$.
∵$AB=5,BC=3$,
∴$AC^2 + BC^2 = AB^2$,
∴$△ABC$是直角三角形,即$∠ACB=90°$.
4 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ BCA=90°$,在 $△ PAB$ 中,边 $AB$ 上的高等于 $AB$ 的长度,在 $△ QBC$ 中,边 $BC$ 上的高等于 $BC$ 的长度,在 $△ HAC$ 中,边 $AC$ 上的高等于 $AC$ 的长度,且 $△ PAB$, $△ QBC$ 的面积分别是 10 和 8,则 $△ ACH$ 的面积是(
A.2
B.4
C.6
D.9
A
).A.2
B.4
C.6
D.9
答案
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠BCA=90°$,
∴$AC^2 + BC^2 = AB^2$,
∴$\frac{1}{2}AC^2 + \frac{1}{2}BC^2 = \frac{1}{2}AB^2$.
∵在$△PAB$中,边$AB$上的高等于$AB$的长度,
在$△QBC$中,边$BC$上的高等于$BC$的长度,
在$△HAC$中,边$AC$上的高等于$AC$的长度,且$△PAB$,$△QBC$的面积分别是10和8,
∴$△ACH$的面积是$10-8=2$. 故选A.
∴$AC^2 + BC^2 = AB^2$,
∴$\frac{1}{2}AC^2 + \frac{1}{2}BC^2 = \frac{1}{2}AB^2$.
∵在$△PAB$中,边$AB$上的高等于$AB$的长度,
在$△QBC$中,边$BC$上的高等于$BC$的长度,
在$△HAC$中,边$AC$上的高等于$AC$的长度,且$△PAB$,$△QBC$的面积分别是10和8,
∴$△ACH$的面积是$10-8=2$. 故选A.
5 如图,在$△ ABC$中,$AB=25$,$BC=28$,$AC=17$,求$△ ABC$的面积. 
答案
如图,过点A作$AD⊥BC$于点D.
在$\mathrm{Rt}△ABD$中,$AB^2 - BD^2 = AD^2$,
在$\mathrm{Rt}△ACD$中,$AC^2 - CD^2 = AD^2$,
∴$AB^2 - BD^2 = AC^2 - CD^2$,
即$25^2 - BD^2 = 17^2 - (28 - BD)^2$,解得$BD=20$,
∴$AD^2 = AB^2 - BD^2 = 25^2 - 20^2 = 225$,
∴$AD=15$,
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×28×15=210$.
6 新情境 荡秋千 荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动，小亮想利用所学的勾股定理知识测算公园里一架秋千立柱AB的高度。如图，他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度DB为0.4米，将踏板往前推送，使秋千绳索AD到达AE的位置，测得推送的水平距离CE为3米，此时秋千踏板离地面的垂直高度EF为1.4米，则立柱AB的高度为(
A.3米
B.4米
C.4.4米
D.5.4米
（第6题） （第7题）
D
).A.3米
B.4米
C.4.4米
D.5.4米
（第6题） （第7题）
答案
设绳索AD的长度为x米,
则$AE=x$米,$AB=AD+BD=(x+0.4)$米.
∵$CD=BC-BD=EF-BD=1.4-0.4=1$(米),
∴$AC=AD-CD=(x-1)$米.
由题意,得$∠ACE=90°$,
在$\mathrm{Rt}△AEC$中,由勾股定理,得$CE^2 + AC^2 = AE^2$,
即$3^2 + (x-1)^2 = x^2$,解得$x=5$,
∴$x+0.4=5+0.4=5.4$,即立柱AB的高度为5.4米. 故选D.
则$AE=x$米,$AB=AD+BD=(x+0.4)$米.
∵$CD=BC-BD=EF-BD=1.4-0.4=1$(米),
∴$AC=AD-CD=(x-1)$米.
由题意,得$∠ACE=90°$,
在$\mathrm{Rt}△AEC$中,由勾股定理,得$CE^2 + AC^2 = AE^2$,
即$3^2 + (x-1)^2 = x^2$,解得$x=5$,
∴$x+0.4=5+0.4=5.4$,即立柱AB的高度为5.4米. 故选D.
7 如图，国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发先往东走8 km，又往北走2 km，遇到障碍后又往西走3 km，再向北走到6 km处往东拐，仅走了1 km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是（
A.20 km
B.14 km
C.11 km
D.10 km
D
）。A.20 km
B.14 km
C.11 km
D.10 km
答案
如图,过点B作$BC⊥AC$,垂足为C.
观察图形可知$AC=AF-MF+MC=8-3+1=6$(km),$BC=2+6=8$(km),
在$\mathrm{Rt}△ACB$中,$AB^2=AC^2+BC^2=6^2+8^2=100$,
∴$AB=10$ km.
故门口A到藏宝点B的直线距离是10 km. 故选D.
