1（2025·河南郑州四十七中月考）如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为$Rt△ ABC$的斜边$BC$、直角边$AB,AC$.$△ ABC$的三边所围成的区域记为Ⅰ,阴影部分记为Ⅱ,其余部分(两个白色弓形部分)记为Ⅲ.设Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的面积分别为$S_1,S_2,S_3$,则下列结论一定正确的是().

A.$S_1=S_2+S_3$
B.$S_1=S_3$
C.$S_2=S_3$
D.$S_1=S_2$

1.D [解析]在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$,
$\therefore S_{2}=\frac{1}{2}π(\frac{1}{2}AB)^{2}+\frac{1}{2}π(\frac{1}{2}AC)^{2}-\frac{1}{2}π(\frac{1}{2}BC)^{2}+S_{△ ABC}=\frac{1}{8}π(AB^{2}+AC^{2}-BC^{2})+S_{△ ABC}=S_{1}$.故选D.

2 五根小木棒，其长度分别为7,15,20,24,25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是().

2.C [解析]$\because 7^{2}=49,24^{2}=576,20^{2}=400,15^{2}=225,25^{2}=625,\therefore 7^{2}+24^{2}=25^{2},15^{2}+20^{2}≠ 24^{2},15^{2}+20^{2}=25^{2},\therefore$A错误,B错误,C正确,D错误.故选C.

3 如图,一牧童在 A 处放羊,牧童的家在 B 处,A,B 距河岸的距离 AC,BD 分别为 500 m 和 700 m,且 C,D 两地相距 500 m,天黑前牧童要将羊赶往河边喝水再回家,那么牧童至少应该走 m.

(第3题) (第4题)

3.1 300 [解析] 如图,作点 A 关于 CD 的对称点 E,连接 BE 交 CD 于点 P,连接 AP,并过点 B 作$BF⊥ AC$于点 F,则$PB+PA=PB+PE=BE$最短. 由题意,得$EF=BD+AC=500+700=1\ 200(\mathrm{m})$,$BF=CD=500\ \mathrm{m}$. 在$\mathrm{Rt}△ BEF$中,根据勾股定理,得$BE=1\ 300\ \mathrm{m}$.

4 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$BC=13$,正方形$ABDE$的面积为25,过点$A$作$AM⊥ BC$于点$M$,则$AM=$$\underline{\hspace{5cm}}$.

4.$\frac{60}{13}$ [解析]$\because$正方形 ABDE 的面积为 25,$\therefore AB^{2}=25$,$\therefore AB=5$.$\because BC=13$,$∠ BAC=90°$,$\therefore AC^{2}=BC^{2}-AB^{2}=13^{2}-5^{2}=144$,$\therefore AC=12$.
$\because S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}AM· BC$,
＞已知直角三角形三边长通常用面积法求斜边上的高
$\therefore \frac{1}{2}× 5× 12=\frac{1}{2}× 13AM$,$\therefore AM=\frac{60}{13}$.

5 如图，在△ABC中，BC=9，AC=12，在△ABE中，DE是边AB上的高，DE=8，△ABE的面积为60。
(1)AB的长为；
(2)求四边形ACBE的面积。

5.(1)15 [解析]由题意,得$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}AB· DE=\frac{1}{2}AB× 8=60$,$\therefore AB=15$.
(2)$\because$在$△ ABC$中,$BC=9$,$AC=12$,$AB=15$,
$\therefore AC^{2}+BC^{2}=12^{2}+9^{2}=225$,$AB^{2}=15^{2}=225$,
$\therefore AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$,$\therefore △ ABC$是直角三角形,
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× 9× 12=54$,$\therefore$四边形 ACBE 的面积$=S_{△ ABC}+S_{△ ABE}=54+60=114$.
解后反思 本题考查了三角形的面积计算、勾股定理的应用,解题的关键是证明$△ ABC$是直角三角形.

6 方程思想 如图将一张长方形纸片ABCD折叠起来，EF为折痕，使其对角顶点A与C重合，D与G重合.若长方形的长BC为8，宽AB为4.
(1)求DE的长；
(2)求EF²的值；
(3)求阴影部分△GED的面积.

6.(1)由折叠可知,$DE=GE$,$AG=DC=AB=4$.
设$DE=x$,则$AE=8-x$,
在$\mathrm{Rt}△ AEG$中,$AG^{2}+GE^{2}=AE^{2}$,
$\therefore 16+x^{2}=(8-x)^{2}$,解得$x=3$,$\therefore DE=3$.
(2)如图,过点 F 作$FH⊥ AD$于点 H,则$FH=4$.
$\because AF=FC$,$\therefore AF=8-BF$. 在$\mathrm{Rt}△ ABF$中,由勾股定理,得$BF^{2}=AF^{2}-AB^{2}$,即$BF^{2}=(8-BF)^{2}-16$,$\therefore BF=AH=3$.
$\because AE=AD-DE=5$,$\therefore EH=AE-AH=2$,
$\therefore EF^{2}=FH^{2}+EH^{2}=4^{2}+2^{2}=20$.
(3) 如图,过点 G 作$GM⊥ AD$于点 M.
在$\mathrm{Rt}△ GAE$中,$GE=3$,$AE=5$,$AG=4$,
由$\frac{1}{2}AG· GE=\frac{1}{2}AE· GM$,
得$GM=\frac{12}{5}$,
$\therefore S_{△ GED}=\frac{1}{2}GM· DE=\frac{18}{5}$.
归纳总结 本题考查了翻折的性质、勾股定理以及三角形的面积公式,灵活运用翻折的性质、勾股定理等几何知识来分析、判断、推理是解题的关键.