7. 如图,在平面直角坐标系中,$△ ABC$ 的顶点A 在第二象限,点 B 的坐标为$(-2,0)$,点 C 的坐标为$(-1,0)$,以点 C 为位似中心,在 x轴的下方作$△ ABC$ 的位似图形$△ A'B'C$.若点 A 的对应点 A'的坐标为$(2,-3)$,点 B 的对应点 B'的坐标为$(1,0)$,则点 A 的坐标为()

A.$(-3,2)$
B.$(-3,\frac{3}{2})$
C.$(-\frac{5}{2},\frac{3}{2})$
D.$(-\frac{5}{2},2)$

C

【分析】
本题考查平面直角坐标系中非原点为位似中心的位似图形坐标求解，解题思路如下：第一步，先根据点B、B'、C的坐标计算位似比，注意位似方向对应位似比的符号；第二步，设点A的坐标为$(x,y)$，利用位似变换中对应点与位似中心的坐标关系列方程，解方程即可得到点A的坐标。
【解析】
已知点C坐标为$(-1,0)$，点B坐标为$(-2,0)$，点B的对应点B'坐标为$(1,0)$。
1. 求位似比：
$CB = |-2 - (-1)| = 1$，$CB' = |1 - (-1)| = 2$，由于$△ A'B'C$在x轴下方，与$△ ABC$在位似中心两侧，因此位似比$k=-2$（负号表示方向相反）。
2. 设点A坐标为$(x,y)$，根据以$C(c,d)$为位似中心、位似比为$k$时，点$(x,y)$的对应点坐标为$(c + k(x - c), d + k(y - d))$，已知A'坐标为$(2,-3)$，列方程：
对x坐标：$-1 + (-2)×(x + 1) = 2$
化简得：$-1 -2x -2 = 2$，解得$x=-\frac{5}{2}$
对y坐标：$0 + (-2)×y = -3$
解得$y=\frac{3}{2}$
因此点A的坐标为$(-\frac{5}{2},\frac{3}{2})$。
【答案】
C
【知识点】
位似图形的性质，坐标与位似变换
【点评】
本题解题关键是明确位似中心不是原点时的坐标变换规律，注意位似方向会影响位似比的符号，结合已知点坐标先求位似比再列方程求解即可。
【难度系数】
0.6

8. 如图,已知函数$y=-2x+4$的图象与$x$轴,$y$轴分别交于$A,B$两点,函数$y=kx+b$的图象与$y=-2x+4$的图象平行.
(1)若函数$y=kx+b$的图象过点$(1,1)$,求$b$的值;
(2)若函数$y=kx+b$的图象与两坐标轴围成的三角形和$△ AOB$构成位似图形,位似中心为原点,相似比为$1:2$,求函数$y=kx+b$的解析式.

解：
(1) ∵ 函数$y=kx+b$的图象与$y=-2x+4$的图象平行，
∴ $k=-2$。
将点$(1,1)$代入$y=-2x+b$，得：
$1 = -2×1 + b$，
解得$b=3$。
(2) 先求$A,B$两点坐标：
在$y=-2x+4$中，令$y=0$，得$-2x+4=0$，解得$x=2$，即$A(2,0)$；
令$x=0$，得$y=4$，即$B(0,4)$。
由位似中心为原点，相似比为$1:2$，可知围成三角形的对应顶点坐标为$A,B$的坐标同时乘$\frac{1}{2}$或$-\frac{1}{2}$：
① 当对应点为$(1,0)$和$(0,2)$时，代入$y=-2x+b$，得解析式为$y=-2x+2$；
② 当对应点为$(-1,0)$和$(0,-2)$时，代入$y=-2x+b$，得解析式为$y=-2x-2$。
综上，函数$y=kx+b$的解析式为$y=-2x+2$或$y=-2x-2$。

【分析】
(1) 解题思路：首先利用两直线平行斜率相等的性质，先确定一次函数$y=kx+b$中$k$的值，再将已知点坐标代入函数表达式，即可求解$b$的值。
(2) 解题思路：先求出直线$y=-2x+4$与坐标轴交点$A、B$的坐标，再根据位似中心为原点的性质，对应点坐标为原坐标乘相似比或相似比的相反数（对应位似图形在原点同侧、异侧两种情况），得到所求直线与坐标轴的交点，结合已确定的$k$值，用待定系数法求出解析式即可，注意不要遗漏异侧的情况。
【解析】
(1)
∵ 函数$y=kx+b$的图象与$y=-2x+4$的图象平行，两平行直线斜率相等，
∴ $k=-2$。
将点$(1,1)$代入$y=-2x+b$，得：
$1 = -2×1 + b$，
解得$b=3$。
(2) 先求$A,B$两点坐标：
在$y=-2x+4$中，令$y=0$，得$-2x+4=0$，解得$x=2$，即$A(2,0)$；
令$x=0$，得$y=4$，即$B(0,4)$。
∵ 位似中心为原点，相似比为$1:2$，
∴ 所求直线与两坐标轴的交点为$A、B$的坐标同时乘$\frac{1}{2}$或$-\frac{1}{2}$，分两种情况讨论：
① 当对应交点为$(1,0)$和$(0,2)$时，将$(0,2)$代入$y=-2x+b$，得$b=2$，即解析式为$y=-2x+2$；
② 当对应交点为$(-1,0)$和$(0,-2)$时，将$(0,-2)$代入$y=-2x+b$，得$b=-2$，即解析式为$y=-2x-2$。
【答案】
(1) $b=3$；
(2) $y=-2x+2$或$y=-2x-2$
【知识点】
一次函数的性质；位似图形的性质；待定系数法求解析式
【点评】
本题是一次函数与位似的综合题，解题关键是掌握两直线平行斜率相等的性质，以及位似中心为原点时点的坐标变化规律，注意位似图形存在原点两侧两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7

9. 如图，$△ ABC$的顶点坐标分别为$A(1,3)$，$B(4,2)$，$C(2,1)$。
(1) 作出与$△ ABC$关于$x$轴对称的$△ A_1B_1C_1$，并写出$A_1,B_1,C_1$的坐标；
(2) 以原点$O$为位似中心，在原点的另一侧画出$△ A_2B_2C_2$，使$\frac{AB}{A_2B_2}=\frac{1}{2}$。

解：
(1) 根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得：
$A_1(1,-3)$，$B_1(4,-2)$，$C_1(2,-1)$。
在坐标系内描出点$A_1,B_1,C_1$，依次连接三点，即可得到$△ A_1B_1C_1$。
(2) 由$\frac{AB}{A_2B_2}=\frac{1}{2}$，可知$△ A_2B_2C_2$与$△ ABC$的位似比为$2$，结合位似中心为原点$O$、位似图形在原点另一侧的条件，对应点的横、纵坐标均为原顶点横、纵坐标的$-2$倍：
$A_2(-2,-6)$，$B_2(-8,-4)$，$C_2(-4,-2)$。
在坐标系内描出点$A_2,B_2,C_2$，依次连接三点，即可得到$△ A_2B_2C_2$。

【分析】
解决本题分两步思考：
1. 处理第一问的轴对称作图：回忆关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，我们只需要对A、B、C三点的纵坐标取相反数，保留横坐标，就能得到对称点A₁、B₁、C₁的坐标，再依次连接三点即可得到对称三角形。
2. 处理第二问的位似作图：首先根据$\frac{AB}{A_2B_2}=\frac{1}{2}$确定两个三角形的位似比为2，结合位似中心是原点、图形在原点另一侧的条件，可知对应点的横、纵坐标均为原顶点横、纵坐标的-2倍，计算得到A₂、B₂、C₂的坐标后描点连线即可。
【解析】
(1) 根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得三个对称点的坐标：
$A_1(1,-3)$，$B_1(4,-2)$，$C_1(2,-1)$。
在坐标系内描出点$A_1,B_1,C_1$，依次连接三点，即可得到$△ A_1B_1C_1$。
(2) 由$\frac{AB}{A_2B_2}=\frac{1}{2}$，可知$△ A_2B_2C_2$与$△ ABC$的位似比为$2$，结合位似中心为原点$O$、位似图形在原点另一侧的条件，对应点的横、纵坐标均为原顶点横、纵坐标的$-2$倍，计算得：
$A_2(-2,-6)$，$B_2(-8,-4)$，$C_2(-4,-2)$。
在坐标系内描出点$A_2,B_2,C_2$，依次连接三点，即可得到$△ A_2B_2C_2$。
【答案】
(1) $A_1(1,-3)$，$B_1(4,-2)$，$C_1(2,-1)$，作图略；
(2) $A_2(-2,-6)$，$B_2(-8,-4)$，$C_2(-4,-2)$，作图略。
【知识点】
关于x轴对称的坐标变化；位似图形的性质；位似的坐标变换
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查轴对称变换和位似变换，核心是掌握两种变换对应的坐标变化规则，作图时要注意描点准确，对应点连线符合变换要求，属于基础类的作图题。
【难度系数】
0.8

10.如图，△ABC的两个顶点B,C均在第一象限，以点A(0,1)为位似中心，在y轴左侧作△ABC的位似图形△ADE，△ABC与△ADE的相似比为1:2.若点C的纵坐标为m，求其对应点E的纵坐标.

解：设点E的纵坐标为n。
∵ 点A的坐标为$(0,1)$，点C的纵坐标为$m$，
∴ 点C到点A的竖直距离为$m-1$。
∵ 位似图形$△ ADE$在y轴左侧，点E位于点A下方，
∴ 点E到点A的竖直距离为$1-n$。
∵ $△ ABC$与$△ ADE$的相似比为$1:2$，位似中心为点A，
∴ $AC:AE=1:2$，对应竖直方向的距离比等于相似比，即：
$\frac{m-1}{1-n}=\frac{1}{2}$
整理得：$1-n=2(m-1)$，
解得：$n=3-2m$。
答：点E的纵坐标为$3-2m$。

【分析】
本题是平面直角坐标系中结合位似性质求对应点纵坐标的问题，解题思路如下：首先确定位似中心为A(0,1)，点C与点E是位似对应点；其次分别计算两点到位似中心A的竖直距离，注意C在A上方，竖直距离为C的纵坐标减A的纵坐标，E在A下方，竖直距离为A的纵坐标减E的纵坐标；最后根据位似图形的相似比等于对应点到位似中心的距离之比，列比例方程求解即可。
【解析】
设点E的纵坐标为$n$。
∵ 点A的坐标为$(0,1)$，点C的纵坐标为$m$，
∴ 点C到点A的竖直距离为$m-1$。
∵ 位似图形$△ ADE$在y轴左侧，点E位于点A下方，
∴ 点E到点A的竖直距离为$1-n$。
∵ $△ ABC$与$△ ADE$的相似比为$1:2$，位似中心为点A，对应点到位似中心的距离比等于相似比，即竖直方向的距离比等于相似比，可得：
$\frac{m-1}{1-n}=\frac{1}{2}$
交叉相乘得：$1-n=2(m-1)$，
整理解得：$n=3-2m$。
【答案】
$3-2m$
【知识点】
位似的性质；坐标与位似变换
【点评】
本题考查位似变换的实际应用，解题核心是掌握位似图形对应点到位似中心的距离比等于相似比，求解时要结合点的位置判断距离的表达式，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7