登录
2.如图，△AOB的三个顶点坐标为O(0，0)，A(4，6)，B(2，0)，在原点的同侧，以原点为位似中心.
(1)画出△OAB的位似图形△OA₁B₁，使相似比为2：1；
(2)写出A₁，B₁的坐标.
(1)画出△OAB的位似图形△OA₁B₁，使相似比为2：1；
(2)写出A₁，B₁的坐标.
答案
解：
(1) 作图步骤：
1. 延长线段OA至点$A_1$，使$OA_1=2OA$；
2. 延长线段OB至点$B_1$，使$OB_1=2OB$；
3. 连接$A_1B_1$，所得$△ OA_1B_1$即为符合要求的位似图形。
(2) 因为以原点为位似中心，位似图形与原图形在原点同侧，相似比为$2:1$，
所以位似图形对应点的横、纵坐标均为原对应点横、纵坐标的2倍。
已知$A(4,6)$，$B(2,0)$，
因此$A_1$的坐标为$(4×2,6×2)$，即$(8,12)$，
$B_1$的坐标为$(2×2,0×2)$，即$(4,0)$。
(1) 作图步骤：
1. 延长线段OA至点$A_1$，使$OA_1=2OA$；
2. 延长线段OB至点$B_1$，使$OB_1=2OB$；
3. 连接$A_1B_1$，所得$△ OA_1B_1$即为符合要求的位似图形。
(2) 因为以原点为位似中心，位似图形与原图形在原点同侧，相似比为$2:1$，
所以位似图形对应点的横、纵坐标均为原对应点横、纵坐标的2倍。
已知$A(4,6)$，$B(2,0)$，
因此$A_1$的坐标为$(4×2,6×2)$，即$(8,12)$，
$B_1$的坐标为$(2×2,0×2)$，即$(4,0)$。
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆以原点为位似中心的位似变换相关性质：当位似图形与原图形在原点同侧时，对应点的横、纵坐标都等于原图形对应点的横、纵坐标乘以相似比。第(1)问作图可利用位似定义，延长原图形从位似中心出发的边，使新边长度为原边的相似比倍，再连接端点即可；第(2)问求坐标，直接将原A、B点的横、纵坐标分别乘相似比2，即可得到对应点坐标。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 延长线段OA至点$A_1$，使$OA_1=2OA$；
② 延长线段OB至点$B_1$，使$OB_1=2OB$；
③ 连接$A_1B_1$，所得$△ OA_1B_1$即为所求的位似图形。
(2) 已知位似中心为原点，位似图形与原图形在原点同侧，相似比为$2:1$，根据原点位似的坐标变化规律：同侧位似对应点的横、纵坐标均为原对应点横、纵坐标的相似比倍。
已知$A(4,6)$，$B(2,0)$，因此：
$A_1$的横坐标为$4×2=8$，纵坐标为$6×2=12$，即$A_1(8,12)$；
$B_1$的横坐标为$2×2=4$，纵坐标为$0×2=0$，即$B_1(4,0)$。
【答案】
(1) 按上述步骤作出的$△ OA_1B_1$即为所求；
(2) $A_1(8,12)$，$B_1(4,0)$
【知识点】
位似图形作图，坐标与位似变换，位似的性质
【点评】
本题是位似变换的基础应用题，重点考查以原点为位似中心时的作图方法和坐标变化规律，解题的核心是牢记同侧位似对应点坐标乘位似比的规律，做题时注意看清位似图形和原图形的位置关系，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆以原点为位似中心的位似变换相关性质：当位似图形与原图形在原点同侧时，对应点的横、纵坐标都等于原图形对应点的横、纵坐标乘以相似比。第(1)问作图可利用位似定义，延长原图形从位似中心出发的边，使新边长度为原边的相似比倍，再连接端点即可；第(2)问求坐标，直接将原A、B点的横、纵坐标分别乘相似比2，即可得到对应点坐标。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 延长线段OA至点$A_1$，使$OA_1=2OA$；
② 延长线段OB至点$B_1$，使$OB_1=2OB$；
③ 连接$A_1B_1$，所得$△ OA_1B_1$即为所求的位似图形。
(2) 已知位似中心为原点，位似图形与原图形在原点同侧，相似比为$2:1$，根据原点位似的坐标变化规律：同侧位似对应点的横、纵坐标均为原对应点横、纵坐标的相似比倍。
已知$A(4,6)$，$B(2,0)$，因此：
$A_1$的横坐标为$4×2=8$，纵坐标为$6×2=12$，即$A_1(8,12)$；
$B_1$的横坐标为$2×2=4$，纵坐标为$0×2=0$，即$B_1(4,0)$。
【答案】
(1) 按上述步骤作出的$△ OA_1B_1$即为所求；
(2) $A_1(8,12)$，$B_1(4,0)$
【知识点】
位似图形作图，坐标与位似变换，位似的性质
【点评】
本题是位似变换的基础应用题，重点考查以原点为位似中心时的作图方法和坐标变化规律，解题的核心是牢记同侧位似对应点坐标乘位似比的规律，做题时注意看清位似图形和原图形的位置关系，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
1. 如图所示,点A的坐标为(3,0),点B的坐标为(1,3),现将△AOB扩大3倍后得△A'OB',则点A',B'的坐标分别为 .
答案
$A'(9,0)$，$B'(3,9)$
解析
【分析】
本题考查以原点为位似中心的位似图形的坐标变换规律。首先确定△AOB与△A'OB'的位似中心为原点O，扩大3倍即位似比k=3，且变换后图形与原图形在原点同侧，因此对应点的坐标为原坐标乘以位似比3，代入A、B的坐标计算即可得到A'、B'的坐标。
【解析】
由题意可知，△A'OB'是△AOB以原点O为位似中心，位似比为3的同向位似图形。
根据位似图形的坐标变换规律：以原点为位似中心的位似变换，若位似比为k，且对应点在位似中心同侧，则对应点的坐标为原坐标乘以k。
已知点A坐标为(3,0)，则A'的坐标为：$(3×3, 0×3)=(9,0)$
已知点B坐标为(1,3)，则B'的坐标为：$(1×3, 3×3)=(3,9)$
【答案】
$A'(9,0)$，$B'(3,9)$
【知识点】
坐标与位似，位似图形性质
【点评】
本题是位似坐标变换的基础题型，重点考查以原点为位似中心的位似变换中对应点坐标的计算，解题时需注意位似方向和位似比的对应关系，同侧位似乘正的位似比，异侧位似乘负的位似比。
【难度系数】
0.8
本题考查以原点为位似中心的位似图形的坐标变换规律。首先确定△AOB与△A'OB'的位似中心为原点O，扩大3倍即位似比k=3，且变换后图形与原图形在原点同侧，因此对应点的坐标为原坐标乘以位似比3，代入A、B的坐标计算即可得到A'、B'的坐标。
【解析】
由题意可知，△A'OB'是△AOB以原点O为位似中心，位似比为3的同向位似图形。
根据位似图形的坐标变换规律：以原点为位似中心的位似变换，若位似比为k，且对应点在位似中心同侧，则对应点的坐标为原坐标乘以k。
已知点A坐标为(3,0)，则A'的坐标为：$(3×3, 0×3)=(9,0)$
已知点B坐标为(1,3)，则B'的坐标为：$(1×3, 3×3)=(3,9)$
【答案】
$A'(9,0)$，$B'(3,9)$
【知识点】
坐标与位似，位似图形性质
【点评】
本题是位似坐标变换的基础题型，重点考查以原点为位似中心的位似变换中对应点坐标的计算，解题时需注意位似方向和位似比的对应关系，同侧位似乘正的位似比，异侧位似乘负的位似比。
【难度系数】
0.8
2.在平面直角坐标系中,点C,D的坐标分别为(2,3),(1,0),现以原点为位似中心,将线段CD放大得到线段AB.若点D的对应点B在x轴上且OB=2,则点C的对应点A的坐标为.
答案
解：
由点D的坐标为(1,0)，可得$OD=1$。
已知点D的对应点B在x轴上且$OB=2$，因此点B的坐标为$(2,0)$或$(-2,0)$，
则以原点为位似中心的位似比$k=\frac{OB}{OD}=2$或$k=-2$。
根据以原点为位似中心的位似坐标变换规律：原坐标$(x,y)$的对应点坐标为$(kx,ky)$，
将点$C(2,3)$代入：
当$k=2$时，点A的坐标为$(2×2,3×2)$，即$(4,6)$；
当$k=-2$时，点A的坐标为$(2×(-2),3×(-2))$，即$(-4,-6)$。
综上，点C的对应点A的坐标为$\boldsymbol{(4,6)}$或$\boldsymbol{(-4,-6)}$。
由点D的坐标为(1,0)，可得$OD=1$。
已知点D的对应点B在x轴上且$OB=2$，因此点B的坐标为$(2,0)$或$(-2,0)$，
则以原点为位似中心的位似比$k=\frac{OB}{OD}=2$或$k=-2$。
根据以原点为位似中心的位似坐标变换规律：原坐标$(x,y)$的对应点坐标为$(kx,ky)$，
将点$C(2,3)$代入：
当$k=2$时，点A的坐标为$(2×2,3×2)$，即$(4,6)$；
当$k=-2$时，点A的坐标为$(2×(-2),3×(-2))$，即$(-4,-6)$。
综上，点C的对应点A的坐标为$\boldsymbol{(4,6)}$或$\boldsymbol{(-4,-6)}$。
解析
【分析】
解题时首先回忆以原点为位似中心的位似变换坐标规律：原图形上点$(x,y)$的对应点坐标为$(kx,ky)$，其中$k$为位似比。第一步先确定位似比$k$：已知点$D(1,0)$的对应点$B$在$x$轴上且$OB=2$，先得$OD$的长度为1，由于$B$的位置可能在$x$轴正半轴或负半轴，因此要分两种情况确定位似比$k$的值，最后将点$C$的坐标代入变换公式即可得到$A$的坐标。
【解析】
解：$\because$点$D$的坐标为$(1,0)$，$\therefore OD=1$。
$\because$点$D$的对应点$B$在$x$轴上且$OB=2$，
$\therefore$点$B$的坐标为$(2,0)$或$(-2,0)$，
$\therefore$以原点为位似中心的位似比$k=\frac{OB}{OD}=2$或$k=-2$。
根据以原点为位似中心的位似坐标变换规律：若原坐标为$(x,y)$，则其对应点的坐标为$(kx,ky)$，
将点$C(2,3)$代入规律计算：
当$k=2$时，点$A$的坐标为$(2×2,3×2)=(4,6)$；
当$k=-2$时，点$A$的坐标为$(2×(-2),3×(-2))=(-4,-6)$。
【答案】
$(4,6)$或$(-4,-6)$
【知识点】
位似的性质；位似坐标变换；分类讨论
【点评】
本题重点考查坐标与位似变换的应用，解题核心是明确位似比有正负两种情况，分别对应位似图形位于位似中心的同侧或两侧，做题时需注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆以原点为位似中心的位似变换坐标规律：原图形上点$(x,y)$的对应点坐标为$(kx,ky)$，其中$k$为位似比。第一步先确定位似比$k$：已知点$D(1,0)$的对应点$B$在$x$轴上且$OB=2$，先得$OD$的长度为1，由于$B$的位置可能在$x$轴正半轴或负半轴，因此要分两种情况确定位似比$k$的值，最后将点$C$的坐标代入变换公式即可得到$A$的坐标。
【解析】
解：$\because$点$D$的坐标为$(1,0)$，$\therefore OD=1$。
$\because$点$D$的对应点$B$在$x$轴上且$OB=2$，
$\therefore$点$B$的坐标为$(2,0)$或$(-2,0)$，
$\therefore$以原点为位似中心的位似比$k=\frac{OB}{OD}=2$或$k=-2$。
根据以原点为位似中心的位似坐标变换规律：若原坐标为$(x,y)$，则其对应点的坐标为$(kx,ky)$，
将点$C(2,3)$代入规律计算：
当$k=2$时，点$A$的坐标为$(2×2,3×2)=(4,6)$；
当$k=-2$时，点$A$的坐标为$(2×(-2),3×(-2))=(-4,-6)$。
【答案】
$(4,6)$或$(-4,-6)$
【知识点】
位似的性质；位似坐标变换；分类讨论
【点评】
本题重点考查坐标与位似变换的应用，解题核心是明确位似比有正负两种情况，分别对应位似图形位于位似中心的同侧或两侧，做题时需注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
3.如图，在平面直角坐标系中，$△ ABC$与$△ ODE$是位似图形，则它们位似中心的坐标是。
答案
解：由图可得各点坐标：$A(2,1)$，$B(3,3)$，$C(2,3)$，$O(0,0)$，$D(2,4)$，$E(0,4)$。
根据位似图形的性质，位似中心是对应顶点连线的交点：
1. 作直线$OA$，过点$O(0,0)$和$A(2,1)$，其解析式为$y=\frac{1}{2}x$；
2. 作直线$DB$，过点$D(2,4)$和$B(3,3)$，其解析式为$y=-x+6$；
联立方程：
$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x \\y=-x+6\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}x=4 \\y=2\end{cases}$
验证可知直线$EC$也经过点$(4,2)$，因此位似中心的坐标是$\boldsymbol{(4,2)}$。
根据位似图形的性质，位似中心是对应顶点连线的交点：
1. 作直线$OA$，过点$O(0,0)$和$A(2,1)$，其解析式为$y=\frac{1}{2}x$；
2. 作直线$DB$，过点$D(2,4)$和$B(3,3)$，其解析式为$y=-x+6$；
联立方程：
$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x \\y=-x+6\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}x=4 \\y=2\end{cases}$
验证可知直线$EC$也经过点$(4,2)$，因此位似中心的坐标是$\boldsymbol{(4,2)}$。
解析
【分析】
解题首先回忆位似图形的性质：位似图形的所有对应顶点的连线都交于位似中心，因此我们只需要找到两组对应顶点连线的交点，即可得到位似中心，再用第三组对应顶点连线验证交点即可保证结果正确。具体步骤为：第一步确定两个三角形的对应顶点坐标，第二步分别求两组对应点所在直线的解析式，第三步联立解析式求解交点，第四步验证交点在第三组对应点的连线上。
【解析】
首先由图读出各点坐标：$A(2,1)$，$B(3,3)$，$C(2,3)$，$O(0,0)$，$D(2,4)$，$E(0,4)$。
1. 求直线$OA$的解析式：设直线$OA$的解析式为$y=kx(k≠0)$，把$A(2,1)$代入得$1=2k$，解得$k=\frac{1}{2}$，因此直线$OA$的解析式为$y=\frac{1}{2}x$。
2. 求直线$DB$的解析式：设直线$DB$的解析式为$y=ax+b(a≠0)$，把$D(2,4)$、$B(3,3)$代入得方程组$\begin{cases}2a+b=4\\3a+b=3\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=-1\\b=6\end{cases}$，因此直线$DB$的解析式为$y=-x+6$。
3. 联立两个直线解析式得$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x\\y=-x+6\end{cases}$，将第一个式子代入第二个式子，得$\frac{1}{2}x=-x+6$，解得$x=4$，代入$y=\frac{1}{2}x$得$y=2$，即两直线交点为$(4,2)$。
4. 验证：经计算，对应顶点$E$、$C$所在的直线也经过点$(4,2)$，因此该点为位似中心。
【答案】
$(4,2)$
【知识点】
位似图形的性质，待定系数法求一次函数解析式，二元一次方程组的解法
【点评】
本题是位似与平面直角坐标系结合的典型题目，解题核心是掌握位似中心的本质是对应顶点连线的公共交点，结合一次函数相关知识即可求解，难度不大。
【难度系数】
0.7
解题首先回忆位似图形的性质：位似图形的所有对应顶点的连线都交于位似中心，因此我们只需要找到两组对应顶点连线的交点，即可得到位似中心，再用第三组对应顶点连线验证交点即可保证结果正确。具体步骤为：第一步确定两个三角形的对应顶点坐标，第二步分别求两组对应点所在直线的解析式，第三步联立解析式求解交点，第四步验证交点在第三组对应点的连线上。
【解析】
首先由图读出各点坐标：$A(2,1)$，$B(3,3)$，$C(2,3)$，$O(0,0)$，$D(2,4)$，$E(0,4)$。
1. 求直线$OA$的解析式：设直线$OA$的解析式为$y=kx(k≠0)$，把$A(2,1)$代入得$1=2k$，解得$k=\frac{1}{2}$，因此直线$OA$的解析式为$y=\frac{1}{2}x$。
2. 求直线$DB$的解析式：设直线$DB$的解析式为$y=ax+b(a≠0)$，把$D(2,4)$、$B(3,3)$代入得方程组$\begin{cases}2a+b=4\\3a+b=3\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=-1\\b=6\end{cases}$，因此直线$DB$的解析式为$y=-x+6$。
3. 联立两个直线解析式得$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x\\y=-x+6\end{cases}$，将第一个式子代入第二个式子，得$\frac{1}{2}x=-x+6$，解得$x=4$，代入$y=\frac{1}{2}x$得$y=2$，即两直线交点为$(4,2)$。
4. 验证：经计算，对应顶点$E$、$C$所在的直线也经过点$(4,2)$，因此该点为位似中心。
【答案】
$(4,2)$
【知识点】
位似图形的性质，待定系数法求一次函数解析式，二元一次方程组的解法
【点评】
本题是位似与平面直角坐标系结合的典型题目，解题核心是掌握位似中心的本质是对应顶点连线的公共交点，结合一次函数相关知识即可求解，难度不大。
【难度系数】
0.7
4.如图，正方形ABCD的两边BC，AB分别在平面直角坐标系的x轴，y轴的正半轴上，正方形A'B'C'D'与正方形ABCD是以AC的中点O'为位似中心的位似图形.已知AC=$3\sqrt{2}$，若点A'的坐标为(1,2)，则正方形A'B'C'D'与正方形ABCD的相似比是()
A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
B
解析
【分析】
要计算两个位似正方形的相似比，根据位似图形的性质，相似比等于对应点到位似中心的距离之比，因此解题步骤如下：第一步，利用正方形对角线与边长的关系，求出大正方形ABCD的边长，得到顶点A、C的坐标；第二步，根据中点坐标公式求出位似中心O'（AC中点）的坐标；第三步，分别计算点A、点A'到位似中心O'的距离，两者的比值就是所求的相似比。
【解析】
1. 求正方形ABCD的边长：
正方形的对角线长度是边长的$\sqrt{2}$倍，已知$AC=3\sqrt{2}$，因此正方形ABCD的边长为$3\sqrt{2}÷\sqrt{2}=3$。
2. 确定A、C的坐标：
由题意，AB在y轴正半轴，BC在x轴正半轴，原点为B，因此$A(0,3)$，$C(3,0)$。
3. 求位似中心O'的坐标：
O'是AC的中点，根据中点坐标公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$，代入A、C坐标得O'的坐标为$(\frac{0+3}{2},\frac{3+0}{2})$，即$O'(1.5,1.5)$。
4. 计算相似比：
位似图形的相似比等于对应点到位似中心的距离之比，A和A'是对应点：
$O'A=\sqrt{(1.5-0)^2+(1.5-3)^2}=\sqrt{1.5^2+(-1.5)^2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$
$O'A'=\sqrt{(1.5-1)^2+(1.5-2)^2}=\sqrt{0.5^2+(-0.5)^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
因此相似比为$\frac{O'A'}{O'A}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3\sqrt{2}}{2}}=\frac{1}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
位似图形的性质，正方形的性质，中点坐标公式
【点评】
本题将位似图形知识和正方形性质结合考查，解题的核心是牢记位似图形相似比与对应点到位似中心距离的关系，易错点是容易搞反两个图形相似比的前后顺序。
【难度系数】
0.7
要计算两个位似正方形的相似比，根据位似图形的性质，相似比等于对应点到位似中心的距离之比，因此解题步骤如下：第一步，利用正方形对角线与边长的关系，求出大正方形ABCD的边长，得到顶点A、C的坐标；第二步，根据中点坐标公式求出位似中心O'（AC中点）的坐标；第三步，分别计算点A、点A'到位似中心O'的距离，两者的比值就是所求的相似比。
【解析】
1. 求正方形ABCD的边长：
正方形的对角线长度是边长的$\sqrt{2}$倍，已知$AC=3\sqrt{2}$，因此正方形ABCD的边长为$3\sqrt{2}÷\sqrt{2}=3$。
2. 确定A、C的坐标：
由题意，AB在y轴正半轴，BC在x轴正半轴，原点为B，因此$A(0,3)$，$C(3,0)$。
3. 求位似中心O'的坐标：
O'是AC的中点，根据中点坐标公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$，代入A、C坐标得O'的坐标为$(\frac{0+3}{2},\frac{3+0}{2})$，即$O'(1.5,1.5)$。
4. 计算相似比：
位似图形的相似比等于对应点到位似中心的距离之比，A和A'是对应点：
$O'A=\sqrt{(1.5-0)^2+(1.5-3)^2}=\sqrt{1.5^2+(-1.5)^2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$
$O'A'=\sqrt{(1.5-1)^2+(1.5-2)^2}=\sqrt{0.5^2+(-0.5)^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
因此相似比为$\frac{O'A'}{O'A}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3\sqrt{2}}{2}}=\frac{1}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
位似图形的性质，正方形的性质，中点坐标公式
【点评】
本题将位似图形知识和正方形性质结合考查，解题的核心是牢记位似图形相似比与对应点到位似中心距离的关系，易错点是容易搞反两个图形相似比的前后顺序。
【难度系数】
0.7
5. $△ OAB$的顶点坐标分别为$O(0,0),A(2,4),B(4,0),△ OCD$与$△ OAB$关于点$O$成位似关系，其中点$A$与点$C$对应，若相似比为$\frac{1}{2}$，则点$C$的坐标是()
A.$(1,2)$
B.$(4,8)$
C.$(1,2)$或$(-1,-2)$
D.$(4,8)$或$(-4,-8)$
A.$(1,2)$
B.$(4,8)$
C.$(1,2)$或$(-1,-2)$
D.$(4,8)$或$(-4,-8)$
答案
C
解析
【分析】
解决这道题首先要回忆平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换坐标规律。已知位似中心是原点O，△OCD与△OAB的相似比为$\frac{1}{2}$，点A对应点C，位似图形的位置有两种可能：与原图形在位似中心的同侧，或者在位似中心的异侧，因此需要分两种情况计算点C的坐标，即可得到正确答案。
【解析】
在平面直角坐标系中，若位似变换以原点为位似中心，相似比为$k$，则位似图形对应点的坐标为原图形对应点坐标乘$k$或乘$-k$。
本题中位似中心为$O(0,0)$，相似比为$\frac{1}{2}$，点$A$的坐标为$(2,4)$，分两种情况计算点$C$的坐标：
1. 当两个位似图形在位似中心同侧时，点$C$的坐标为$(2×\frac{1}{2},4×\frac{1}{2})=(1,2)$；
2. 当两个位似图形在位似中心异侧时，点$C$的坐标为$(2×(-\frac{1}{2}),4×(-\frac{1}{2}))=(-1,-2)$。
因此点$C$的坐标是$(1,2)$或$(-1,-2)$。
【答案】
C
【知识点】
位似的性质，坐标与位似变换
【点评】
本题主要考查以原点为位似中心的位似变换的坐标规律，解题时要注意分位似图形位于位似中心同侧、异侧两种情况讨论，避免漏算其中一种情况导致出错。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要回忆平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换坐标规律。已知位似中心是原点O，△OCD与△OAB的相似比为$\frac{1}{2}$，点A对应点C，位似图形的位置有两种可能：与原图形在位似中心的同侧，或者在位似中心的异侧，因此需要分两种情况计算点C的坐标，即可得到正确答案。
【解析】
在平面直角坐标系中，若位似变换以原点为位似中心，相似比为$k$，则位似图形对应点的坐标为原图形对应点坐标乘$k$或乘$-k$。
本题中位似中心为$O(0,0)$，相似比为$\frac{1}{2}$，点$A$的坐标为$(2,4)$，分两种情况计算点$C$的坐标：
1. 当两个位似图形在位似中心同侧时，点$C$的坐标为$(2×\frac{1}{2},4×\frac{1}{2})=(1,2)$；
2. 当两个位似图形在位似中心异侧时，点$C$的坐标为$(2×(-\frac{1}{2}),4×(-\frac{1}{2}))=(-1,-2)$。
因此点$C$的坐标是$(1,2)$或$(-1,-2)$。
【答案】
C
【知识点】
位似的性质，坐标与位似变换
【点评】
本题主要考查以原点为位似中心的位似变换的坐标规律，解题时要注意分位似图形位于位似中心同侧、异侧两种情况讨论，避免漏算其中一种情况导致出错。
【难度系数】
0.7
6.如图，已知矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，M是位似中心，若点B的坐标为(-2,4)，点E的坐标为(1,2)，则点M的坐标为（）
A.(4,0)
B.(-2,0)
C.(3,0)
D.(2,0)
A.(4,0)
B.(-2,0)
C.(3,0)
D.(2,0)
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆位似图形的核心性质：位似中心是所有对应顶点连线的公共交点，所有对应点的连线都经过位似中心。首先根据矩形的坐标特征确定两个矩形的对应顶点坐标，再求出任意一组对应点所在直线的解析式，直线与x轴的交点就是位似中心M的坐标。
【解析】
首先根据矩形的性质确定相关点坐标：
∵矩形OABC中，点B坐标为$(-2,4)$，点C在y轴上，纵坐标与B相同，
∴点C坐标为$(0,4)$；
∵矩形ODEF中，点E坐标为$(1,2)$，点D在y轴上，纵坐标与E相同，
∴点D坐标为$(0,2)$。
设直线CE的解析式为$y=kx+b$，将$C(0,4)$、$E(1,2)$代入解析式：
1. 把$x=0,y=4$代入，得$b=4$；
2. 把$x=1,y=2,b=4$代入，得$2=k+4$，解得$k=-2$。
因此直线CE的解析式为$y=-2x+4$。
∵位似中心M在x轴上，即M点纵坐标为0，令$y=0$，则$0=-2x+4$，解得$x=2$，即M点坐标为$(2,0)$。
（验证：求直线BD的解析式，代入$B(-2,4)$、$D(0,2)$可得解析式为$y=-x+2$，令$y=0$也得$x=2$，结果一致）
【答案】
D
【知识点】
位似图形的性质，一次函数的应用，矩形的性质
【点评】
本题考查位似图形性质的应用，解题关键是明确位似中心在所有对应点的连线上，通过求直线与坐标轴的交点即可得到位似中心坐标，解题思路清晰，方法容易掌握。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆位似图形的核心性质：位似中心是所有对应顶点连线的公共交点，所有对应点的连线都经过位似中心。首先根据矩形的坐标特征确定两个矩形的对应顶点坐标，再求出任意一组对应点所在直线的解析式，直线与x轴的交点就是位似中心M的坐标。
【解析】
首先根据矩形的性质确定相关点坐标：
∵矩形OABC中，点B坐标为$(-2,4)$，点C在y轴上，纵坐标与B相同，
∴点C坐标为$(0,4)$；
∵矩形ODEF中，点E坐标为$(1,2)$，点D在y轴上，纵坐标与E相同，
∴点D坐标为$(0,2)$。
设直线CE的解析式为$y=kx+b$，将$C(0,4)$、$E(1,2)$代入解析式：
1. 把$x=0,y=4$代入，得$b=4$；
2. 把$x=1,y=2,b=4$代入，得$2=k+4$，解得$k=-2$。
因此直线CE的解析式为$y=-2x+4$。
∵位似中心M在x轴上，即M点纵坐标为0，令$y=0$，则$0=-2x+4$，解得$x=2$，即M点坐标为$(2,0)$。
（验证：求直线BD的解析式，代入$B(-2,4)$、$D(0,2)$可得解析式为$y=-x+2$，令$y=0$也得$x=2$，结果一致）
【答案】
D
【知识点】
位似图形的性质，一次函数的应用，矩形的性质
【点评】
本题考查位似图形性质的应用，解题关键是明确位似中心在所有对应点的连线上，通过求直线与坐标轴的交点即可得到位似中心坐标，解题思路清晰，方法容易掌握。
【难度系数】
0.7
