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例1 如图所示,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$\sin A$等于()
A.$\dfrac{BC}{AC}$
B.$\dfrac{BC}{AB}$
C.$\dfrac{AC}{AB}$
D.$\dfrac{AB}{BC}$
【思路导析】由锐角的正弦的定义作答.
【请你解答】.
知识点二 求锐角的正弦
A.$\dfrac{BC}{AC}$
B.$\dfrac{BC}{AB}$
C.$\dfrac{AC}{AB}$
D.$\dfrac{AB}{BC}$
【思路导析】由锐角的正弦的定义作答.
【请你解答】.
知识点二 求锐角的正弦
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值。解题步骤如下：第一步先确定直角三角形的直角，本题中∠C=90°，因此斜边为AB；第二步找到∠A的对边，∠A的对边是与它不相邻的直角边BC；第三步按照正弦定义计算比值即可得到sinA的表达式。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角正弦的定义：锐角的正弦为该角的对边与斜边的比值。
$∠ A$的对边是$BC$，$\mathrm{Rt}△ ABC$的斜边是$AB$，因此$\sin A=\frac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BC}{AB}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
正弦的定义，直角三角形的边角关系
【点评】
本题是三角函数的基础题型，重点考查对正弦定义的理解和应用，解题的关键是准确区分锐角的对边、邻边以及直角三角形的斜边，掌握定义即可快速得分。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值。解题步骤如下：第一步先确定直角三角形的直角，本题中∠C=90°，因此斜边为AB；第二步找到∠A的对边，∠A的对边是与它不相邻的直角边BC；第三步按照正弦定义计算比值即可得到sinA的表达式。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角正弦的定义：锐角的正弦为该角的对边与斜边的比值。
$∠ A$的对边是$BC$，$\mathrm{Rt}△ ABC$的斜边是$AB$，因此$\sin A=\frac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BC}{AB}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
正弦的定义，直角三角形的边角关系
【点评】
本题是三角函数的基础题型，重点考查对正弦定义的理解和应用，解题的关键是准确区分锐角的对边、邻边以及直角三角形的斜边，掌握定义即可快速得分。
【难度系数】
0.8
例2 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ C=90°, BC=3, AB=5$, 求 $\sin A$.
【思路导析】$\sin A=\dfrac{∠ A\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}}$.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
【思路导析】$\sin A=\dfrac{∠ A\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}}$.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
答案
解：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\because ∠ A$的对边为$BC$，斜边为$AB$，根据正弦的定义：
$\sin A=\dfrac{∠ A的对边}{斜边}$，
又$\because BC=3$，$AB=5$，
$\therefore \sin A=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{3}{5}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\because ∠ A$的对边为$BC$，斜边为$AB$，根据正弦的定义：
$\sin A=\dfrac{∠ A的对边}{斜边}$，
又$\because BC=3$，$AB=5$，
$\therefore \sin A=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{3}{5}$。
解析
【分析】
要求$\sin A$，首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于这个角的对边与斜边的比值。观察已知条件，$△ ABC$是直角三角形，$∠ C=90°$，先确定$∠ A$的对边为$BC$，斜边为$AB$，题目已经直接给出了$BC$和$AB$的长度，直接代入正弦定义计算即可，无需额外求解未知边长。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
根据正弦的定义：锐角的正弦值为该角的对边与斜边的比值，即$\sin A=\dfrac{∠ A\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}}$。
其中$∠ A$的对边为$BC$，斜边为$AB$，已知$BC=3$，$AB=5$，
代入得$\sin A=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{3}{5}$。
【答案】
$\dfrac{3}{5}$
【知识点】
1. 正弦的定义
2. 直角三角形边角关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对正弦定义的掌握，解题时只需准确识别直角三角形中锐角对应的对边和斜边，代入定义即可得到结果，是三角函数部分的入门基础题。
【难度系数】
0.9
要求$\sin A$，首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于这个角的对边与斜边的比值。观察已知条件，$△ ABC$是直角三角形，$∠ C=90°$，先确定$∠ A$的对边为$BC$，斜边为$AB$，题目已经直接给出了$BC$和$AB$的长度，直接代入正弦定义计算即可，无需额外求解未知边长。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
根据正弦的定义：锐角的正弦值为该角的对边与斜边的比值，即$\sin A=\dfrac{∠ A\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}}$。
其中$∠ A$的对边为$BC$，斜边为$AB$，已知$BC=3$，$AB=5$，
代入得$\sin A=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{3}{5}$。
【答案】
$\dfrac{3}{5}$
【知识点】
1. 正弦的定义
2. 直角三角形边角关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对正弦定义的掌握，解题时只需准确识别直角三角形中锐角对应的对边和斜边，代入定义即可得到结果，是三角函数部分的入门基础题。
【难度系数】
0.9
例3 在平面直角坐标系中，射线OP经过P(4,3)，求OP与x轴的夹角α的正弦。
【探究点拨】需把α放入直角三角形中，故过点P作PH⊥x轴。
【规范解答】过点P作PH⊥x轴，垂足为H，则OH=4，PH=3。
在Rt△OHP中，
OP=$\sqrt{OH^2+PH^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
∴ $\sinα=\frac{PH}{OP}=\frac{3}{5}$。
【探究点拨】需把α放入直角三角形中，故过点P作PH⊥x轴。
【规范解答】过点P作PH⊥x轴，垂足为H，则OH=4，PH=3。
在Rt△OHP中，
OP=$\sqrt{OH^2+PH^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
∴ $\sinα=\frac{PH}{OP}=\frac{3}{5}$。
答案
解：
过点P作PH⊥x轴，垂足为H，
则OH=4，PH=3。
在Rt△OHP中，
$OP=\sqrt{OH^2+PH^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，
$\therefore \sinα=\frac{PH}{OP}=\frac{3}{5}$。
过点P作PH⊥x轴，垂足为H，
则OH=4，PH=3。
在Rt△OHP中，
$OP=\sqrt{OH^2+PH^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，
$\therefore \sinα=\frac{PH}{OP}=\frac{3}{5}$。
解析
【分析】
要求夹角α的正弦值，首先明确正弦的定义：直角三角形中，锐角的正弦是该角对边与斜边的比值，因此首先需要构造包含α的直角三角形。我们过点P作x轴的垂线PH，即可得到Rt△OHP，其中α是这个直角三角形的锐角。接下来结合点P的坐标可直接得到两条直角边OH、PH的长度，再用勾股定理算出斜边OP的长度，最后根据正弦的定义计算sinα即可。
【解析】
过点P作PH⊥x轴，垂足为H，
则OH=4，PH=3。
在Rt△OHP中，
$OP=\sqrt{OH^2+PH^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，
$\therefore \sinα=\frac{PH}{OP}=\frac{3}{5}$。
【答案】
$\sinα=\frac{3}{5}$
【知识点】
正弦的定义，勾股定理，坐标的几何意义
【点评】
本题是锐角正弦的基础应用题，解题核心是通过作垂线构造含所求角的直角三角形，结合坐标特征和勾股定理得到对应边长后，代入正弦定义计算即可，能够帮助学生巩固锐角三角函数的基础求解思路。
【难度系数】
0.8
要求夹角α的正弦值，首先明确正弦的定义：直角三角形中，锐角的正弦是该角对边与斜边的比值，因此首先需要构造包含α的直角三角形。我们过点P作x轴的垂线PH，即可得到Rt△OHP，其中α是这个直角三角形的锐角。接下来结合点P的坐标可直接得到两条直角边OH、PH的长度，再用勾股定理算出斜边OP的长度，最后根据正弦的定义计算sinα即可。
【解析】
过点P作PH⊥x轴，垂足为H，
则OH=4，PH=3。
在Rt△OHP中，
$OP=\sqrt{OH^2+PH^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，
$\therefore \sinα=\frac{PH}{OP}=\frac{3}{5}$。
【答案】
$\sinα=\frac{3}{5}$
【知识点】
正弦的定义，勾股定理，坐标的几何意义
【点评】
本题是锐角正弦的基础应用题，解题核心是通过作垂线构造含所求角的直角三角形，结合坐标特征和勾股定理得到对应边长后，代入正弦定义计算即可，能够帮助学生巩固锐角三角函数的基础求解思路。
【难度系数】
0.8
1.如图，在$Rt△ ACB$中，$∠ C=90°$，$AC=5$，$BC=3$，求$\sin A$和$\sin B$. 
答案
解：
在$Rt△ ACB$中，$∠ C=90°$，
由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2 + BC^2}=\sqrt{5^2 + 3^2}=\sqrt{34}$
根据正弦的定义：
$\sin A = \frac{∠ A的对边}{斜边} = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{\sqrt{34}} = \frac{3\sqrt{34}}{34}$
$\sin B = \frac{∠ B的对边}{斜边} = \frac{AC}{AB} = \frac{5}{\sqrt{34}} = \frac{5\sqrt{34}}{34}$
在$Rt△ ACB$中，$∠ C=90°$，
由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2 + BC^2}=\sqrt{5^2 + 3^2}=\sqrt{34}$
根据正弦的定义：
$\sin A = \frac{∠ A的对边}{斜边} = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{\sqrt{34}} = \frac{3\sqrt{34}}{34}$
$\sin B = \frac{∠ B的对边}{斜边} = \frac{AC}{AB} = \frac{5}{\sqrt{34}} = \frac{5\sqrt{34}}{34}$
解析
【分析】
要解答本题，首先要明确锐角正弦的定义：直角三角形中一个锐角的正弦值等于该角的对边长度与斜边长度的比值。题目已知两条直角边的长度，斜边未知，因此第一步需要用勾股定理求出斜边AB的长度；之后分别确定∠A、∠B的对边，将对应边长代入正弦定义式计算，最后将计算结果分母有理化，得到最简形式即可。
【解析】
在$Rt△ACB$中，$∠C=90°$，
由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2 + BC^2}=\sqrt{5^2 + 3^2}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}$
根据正弦的定义：
$\sin A = \frac{∠A的对边}{斜边} = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{\sqrt{34}} = \frac{3\sqrt{34}}{34}$
$\sin B = \frac{∠B的对边}{斜边} = \frac{AC}{AB} = \frac{5}{\sqrt{34}} = \frac{5\sqrt{34}}{34}$
【答案】
$\sin A=\frac{3\sqrt{34}}{34}$，$\sin B=\frac{5\sqrt{34}}{34}$
【知识点】
1.勾股定理 2.锐角正弦的定义 3.二次根式化简
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础题，解题的关键是准确区分不同锐角对应的对边，牢记正弦的计算规则，同时注意最终计算结果要化为最简二次根式，不能保留分母带根号的形式。
【难度系数】
0.8
要解答本题，首先要明确锐角正弦的定义：直角三角形中一个锐角的正弦值等于该角的对边长度与斜边长度的比值。题目已知两条直角边的长度，斜边未知，因此第一步需要用勾股定理求出斜边AB的长度；之后分别确定∠A、∠B的对边，将对应边长代入正弦定义式计算，最后将计算结果分母有理化，得到最简形式即可。
【解析】
在$Rt△ACB$中，$∠C=90°$，
由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2 + BC^2}=\sqrt{5^2 + 3^2}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}$
根据正弦的定义：
$\sin A = \frac{∠A的对边}{斜边} = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{\sqrt{34}} = \frac{3\sqrt{34}}{34}$
$\sin B = \frac{∠B的对边}{斜边} = \frac{AC}{AB} = \frac{5}{\sqrt{34}} = \frac{5\sqrt{34}}{34}$
【答案】
$\sin A=\frac{3\sqrt{34}}{34}$，$\sin B=\frac{5\sqrt{34}}{34}$
【知识点】
1.勾股定理 2.锐角正弦的定义 3.二次根式化简
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础题，解题的关键是准确区分不同锐角对应的对边，牢记正弦的计算规则，同时注意最终计算结果要化为最简二次根式，不能保留分母带根号的形式。
【难度系数】
0.8
2.如图，菱形ABCD的边长为10 cm，DE⊥AB，$\sin A=\dfrac{3}{5}$，求DE的长和菱形ABCD的面积。
答案
解：
∵ DE⊥AB，
∴ ∠AED = 90°，
在Rt△ADE中，$\sin A = \frac{DE}{AD}$，
∵ 菱形ABCD的边长为10 cm，
∴ AD = AB = 10 cm，
又∵ $\sin A = \frac{3}{5}$，
∴ $DE = AD · \sin A = 10 × \frac{3}{5} = 6\ \mathrm{cm}$，
菱形ABCD的面积 $S = AB · DE = 10 × 6 = 60\ \mathrm{cm}^2$。
答：DE的长为6 cm，菱形ABCD的面积为60 cm²。
∵ DE⊥AB，
∴ ∠AED = 90°，
在Rt△ADE中，$\sin A = \frac{DE}{AD}$，
∵ 菱形ABCD的边长为10 cm，
∴ AD = AB = 10 cm，
又∵ $\sin A = \frac{3}{5}$，
∴ $DE = AD · \sin A = 10 × \frac{3}{5} = 6\ \mathrm{cm}$，
菱形ABCD的面积 $S = AB · DE = 10 × 6 = 60\ \mathrm{cm}^2$。
答：DE的长为6 cm，菱形ABCD的面积为60 cm²。
解析
【分析】
解题首先利用菱形的性质：菱形四条边长度相等，可得AD=AB=10cm；再由DE⊥AB可知△ADE是直角三角形，结合已知的sinA的值，根据直角三角形中锐角正弦的定义（锐角的正弦=对边/斜边），即可求出DE的长度；最后根据菱形面积公式“面积=底×高”，以AB为底、DE为高代入计算，就能得到菱形的面积。
【解析】
∵ DE⊥AB，
∴ ∠AED = 90°，
在Rt△ADE中，$\sin A = \frac{DE}{AD}$，
∵ 菱形ABCD的边长为10 cm，
∴ AD = AB = 10 cm，
又
∵ $\sin A = \frac{3}{5}$，
∴ $DE = AD · \sin A = 10 × \frac{3}{5} = 6\ \mathrm{cm}$，
菱形ABCD的面积 $S = AB · DE = 10 × 6 = 60\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
DE的长为6 cm，菱形ABCD的面积为60 cm²。
【知识点】
菱形的性质，正弦的定义，菱形面积计算
【点评】
本题是基础题型，核心是结合直角三角形的三角函数关系和菱形的性质求解，解题思路清晰，计算量小，只要掌握相关基础知识点就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题首先利用菱形的性质：菱形四条边长度相等，可得AD=AB=10cm；再由DE⊥AB可知△ADE是直角三角形，结合已知的sinA的值，根据直角三角形中锐角正弦的定义（锐角的正弦=对边/斜边），即可求出DE的长度；最后根据菱形面积公式“面积=底×高”，以AB为底、DE为高代入计算，就能得到菱形的面积。
【解析】
∵ DE⊥AB，
∴ ∠AED = 90°，
在Rt△ADE中，$\sin A = \frac{DE}{AD}$，
∵ 菱形ABCD的边长为10 cm，
∴ AD = AB = 10 cm，
又
∵ $\sin A = \frac{3}{5}$，
∴ $DE = AD · \sin A = 10 × \frac{3}{5} = 6\ \mathrm{cm}$，
菱形ABCD的面积 $S = AB · DE = 10 × 6 = 60\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
DE的长为6 cm，菱形ABCD的面积为60 cm²。
【知识点】
菱形的性质，正弦的定义，菱形面积计算
【点评】
本题是基础题型，核心是结合直角三角形的三角函数关系和菱形的性质求解，解题思路清晰，计算量小，只要掌握相关基础知识点就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
