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3.如图，点$A(-2,0)$，射线$AP$经过点$(3,3)$，求射线$AP$与$x$轴的夹角$α$的正弦。
答案
解：过点$(3,3)$作$x$轴的垂线，垂足为点$C$。
由$A(-2,0)$，$C(3,0)$，可得：
$AC = 3 - (-2) = 5$，$BC = 3$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{34}$。
根据正弦的定义：
$\sinα = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{3}{\sqrt{34}} = \dfrac{3\sqrt{34}}{34}$。
由$A(-2,0)$，$C(3,0)$，可得：
$AC = 3 - (-2) = 5$，$BC = 3$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{34}$。
根据正弦的定义：
$\sinα = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{3}{\sqrt{34}} = \dfrac{3\sqrt{34}}{34}$。
解析
【分析】
要求角α的正弦值，首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，锐角的正弦等于该角的对边与斜边的比值，因此我们需要先构造出包含α的直角三角形。我们可以过射线AP上的已知点(3,3)作x轴的垂线，即可得到含α的直角三角形，再结合点的坐标计算直角三角形两条直角边的长度，通过勾股定理求出斜边长度，最后代入正弦定义式就能得到结果。
【解析】
过点(3,3)记为点B作x轴的垂线，垂足为点C，则C点坐标为(3,0)。
由A(-2,0)、C(3,0)，可得：
$AC = 3 - (-2) = 5$，$BC = 3-0=3$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，∠ACB=90°，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{34}$。
根据正弦的定义：
$\sinα = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{3}{\sqrt{34}} = \dfrac{3\sqrt{34}}{34}$。
【答案】
$\dfrac{3\sqrt{34}}{34}$
【知识点】
正弦的定义；勾股定理；坐标求线段长
【点评】
本题是基础的锐角三角函数求解问题，解题关键是正确构造直角三角形，结合坐标特征得到三角形各边长度，计算时注意最终结果要化为最简二次根式。
【难度系数】
0.8
要求角α的正弦值，首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，锐角的正弦等于该角的对边与斜边的比值，因此我们需要先构造出包含α的直角三角形。我们可以过射线AP上的已知点(3,3)作x轴的垂线，即可得到含α的直角三角形，再结合点的坐标计算直角三角形两条直角边的长度，通过勾股定理求出斜边长度，最后代入正弦定义式就能得到结果。
【解析】
过点(3,3)记为点B作x轴的垂线，垂足为点C，则C点坐标为(3,0)。
由A(-2,0)、C(3,0)，可得：
$AC = 3 - (-2) = 5$，$BC = 3-0=3$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，∠ACB=90°，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{34}$。
根据正弦的定义：
$\sinα = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{3}{\sqrt{34}} = \dfrac{3\sqrt{34}}{34}$。
【答案】
$\dfrac{3\sqrt{34}}{34}$
【知识点】
正弦的定义；勾股定理；坐标求线段长
【点评】
本题是基础的锐角三角函数求解问题，解题关键是正确构造直角三角形，结合坐标特征得到三角形各边长度，计算时注意最终结果要化为最简二次根式。
【难度系数】
0.8
1.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ B=60°,∠ C=90°$,则$∠ B$的对边AC与斜边AB的比为.
答案
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
解析
【分析】
解题时先明确所求为∠B的对边AC与斜边AB的比值，结合直角三角形的已知条件，有两种常见思考路径：一是根据正弦的定义，锐角的正弦就是该角对边与斜边的比值，因此所求比值就是60°角的正弦值，可直接得出结果；二是通过推导边长计算，先利用三角形内角和求出∠A=30°，再结合直角三角形中30°角对的直角边是斜边一半的性质，设边长后用勾股定理算出AC和AB的长度，再求比值即可，两种方法都可快速得到结果。
【解析】
方法一（利用正弦定义求解）：
根据正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值。
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B$的对边是$AC$，斜边是$AB$，因此$\frac{AC}{AB}=\sin B$。
已知$∠ B=60°$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
方法二（边长推导法）：
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=60°$，因此$∠ A=180°-90°-60°=30°$。
设$BC=a(a＞0)$，直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，因此斜边$AB=2BC=2a$。
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(2a)^2-a^2}=\sqrt{3}a$。
因此$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{3}a}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
正弦的定义，特殊角的三角函数值，勾股定理
【点评】
本题是三角函数部分的基础常考题，既可以直接用三角函数定义结合特殊角三角函数值快速求解，也可以通过直角三角形性质和勾股定理推导得到结果，侧重考查基础概念的掌握情况。
【难度系数】
0.8
解题时先明确所求为∠B的对边AC与斜边AB的比值，结合直角三角形的已知条件，有两种常见思考路径：一是根据正弦的定义，锐角的正弦就是该角对边与斜边的比值，因此所求比值就是60°角的正弦值，可直接得出结果；二是通过推导边长计算，先利用三角形内角和求出∠A=30°，再结合直角三角形中30°角对的直角边是斜边一半的性质，设边长后用勾股定理算出AC和AB的长度，再求比值即可，两种方法都可快速得到结果。
【解析】
方法一（利用正弦定义求解）：
根据正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值。
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B$的对边是$AC$，斜边是$AB$，因此$\frac{AC}{AB}=\sin B$。
已知$∠ B=60°$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
方法二（边长推导法）：
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=60°$，因此$∠ A=180°-90°-60°=30°$。
设$BC=a(a＞0)$，直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，因此斜边$AB=2BC=2a$。
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(2a)^2-a^2}=\sqrt{3}a$。
因此$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{3}a}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
正弦的定义，特殊角的三角函数值，勾股定理
【点评】
本题是三角函数部分的基础常考题，既可以直接用三角函数定义结合特殊角三角函数值快速求解，也可以通过直角三角形性质和勾股定理推导得到结果，侧重考查基础概念的掌握情况。
【难度系数】
0.8
2.如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，则$\sin B=$(用$AB$，$AC$或$BC$的比表示)
答案
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
根据正弦的定义，锐角的正弦等于该角的对边与斜边的比值，
$∠ B$的对边是$AC$，斜边是$AB$，
因此$\sin B = \frac{AC}{AB}$。
根据正弦的定义，锐角的正弦等于该角的对边与斜边的比值，
$∠ B$的对边是$AC$，斜边是$AB$，
因此$\sin B = \frac{AC}{AB}$。
解析
【分析】
要解答本题，首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。第一步先确定直角三角形的斜边，本题中∠C为直角，因此斜边是AB；第二步找到∠B的对边，即不与∠B相邻的直角边AC；最后根据正弦定义写出对应比值即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
根据锐角正弦的定义：直角三角形中一个锐角的正弦等于该角的对边与斜边的比值，
$∠ B$的对边是$AC$，直角三角形的斜边为$AB$，
因此$\sin B = \frac{AC}{AB}$。
【答案】
$\frac{AC}{AB}$
【知识点】
正弦的定义；直角三角形的边角关系
【点评】
本题是三角函数的基础题型，重点考查对正弦定义的掌握程度，解题关键是准确区分锐角的对边、邻边以及直角三角形的斜边，熟练掌握相关定义即可快速作答。
【难度系数】
0.9
要解答本题，首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。第一步先确定直角三角形的斜边，本题中∠C为直角，因此斜边是AB；第二步找到∠B的对边，即不与∠B相邻的直角边AC；最后根据正弦定义写出对应比值即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
根据锐角正弦的定义：直角三角形中一个锐角的正弦等于该角的对边与斜边的比值，
$∠ B$的对边是$AC$，直角三角形的斜边为$AB$，
因此$\sin B = \frac{AC}{AB}$。
【答案】
$\frac{AC}{AB}$
【知识点】
正弦的定义；直角三角形的边角关系
【点评】
本题是三角函数的基础题型，重点考查对正弦定义的掌握程度，解题关键是准确区分锐角的对边、邻边以及直角三角形的斜边，熟练掌握相关定义即可快速作答。
【难度系数】
0.9
3.如图所示，角α的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，OA上有一点P(2,3)，则sinα=
答案
$\boldsymbol{\frac{3\sqrt{13}}{13}}$
解析
【分析】
要求sinα的值，首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，锐角的正弦等于该角对边与斜边的比值。因此我们需要构造包含角α的直角三角形：过点P向x轴作垂线，即可得到直角三角形。结合点P的坐标(2,3)，可得到直角三角形两条直角边的长度，再用勾股定理计算斜边长度，最后代入正弦定义即可求解，注意结果要分母有理化。
【解析】
过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q。
∵点P的坐标为(2,3)，
∴OQ=2，PQ=3，
在Rt△OPQ中，由勾股定理可得：
$OP=\sqrt{OQ^2+PQ^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，
根据正弦的定义，$\sinα=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{PQ}{OP}=\frac{3}{\sqrt{13}}=\frac{3\sqrt{13}}{13}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{3\sqrt{13}}{13}}$
【知识点】
正弦的定义；勾股定理；平面直角坐标系点的坐标意义
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础题型，解题核心是结合点的坐标构造直角三角形，再结合三角函数定义和勾股定理计算，掌握基础概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
要求sinα的值，首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，锐角的正弦等于该角对边与斜边的比值。因此我们需要构造包含角α的直角三角形：过点P向x轴作垂线，即可得到直角三角形。结合点P的坐标(2,3)，可得到直角三角形两条直角边的长度，再用勾股定理计算斜边长度，最后代入正弦定义即可求解，注意结果要分母有理化。
【解析】
过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q。
∵点P的坐标为(2,3)，
∴OQ=2，PQ=3，
在Rt△OPQ中，由勾股定理可得：
$OP=\sqrt{OQ^2+PQ^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，
根据正弦的定义，$\sinα=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{PQ}{OP}=\frac{3}{\sqrt{13}}=\frac{3\sqrt{13}}{13}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{3\sqrt{13}}{13}}$
【知识点】
正弦的定义；勾股定理；平面直角坐标系点的坐标意义
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础题型，解题核心是结合点的坐标构造直角三角形，再结合三角函数定义和勾股定理计算，掌握基础概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
4.如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ BAC=90°,AD⊥ BC$,垂足为 $D$,则下列结论中,不正确的是 ()
A.$\sin B=\dfrac{AD}{AB}$
B.$\sin B=\dfrac{AC}{BC}$
C.$\sin B=\dfrac{CD}{AC}$
D.$\sin B=\dfrac{AD}{AC}$
A.$\sin B=\dfrac{AD}{AB}$
B.$\sin B=\dfrac{AC}{BC}$
C.$\sin B=\dfrac{CD}{AC}$
D.$\sin B=\dfrac{AD}{AC}$
答案
D
解析
【分析】
要判断各选项中关于$\sin B$的表达式是否正确，首先明确锐角正弦的定义：直角三角形中一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值。其次结合图形中的直角三角形，先直接推导$∠ B$在所在直角三角形中的正弦表达式，再利用“同角的余角相等”找到与$∠ B$相等的角，通过等角的正弦值相等转化推导，逐一验证选项即可。
【解析】
根据锐角正弦的定义：直角三角形中，锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。
1. 在$Rt△ ABD$中，$∠ ADB=90°$，$∠ B$的对边是$AD$，斜边是$AB$，因此$\sin B=\frac{AD}{AB}$，A选项正确，不符合题意；
2. 在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$∠ B$的对边是$AC$，斜边是$BC$，因此$\sin B=\frac{AC}{BC}$，B选项正确，不符合题意；
3. 因为$∠ BAC=90°$，$AD⊥ BC$，所以$∠ B+∠ C=90°$，$∠ CAD+∠ C=90°$，根据同角的余角相等可得$∠ B=∠ CAD$。在$Rt△ ACD$中，$∠ ADC=90°$，$∠ CAD$的对边是$CD$，斜边是$AC$，因此$\sin∠ CAD=\frac{CD}{AC}$，即$\sin B=\frac{CD}{AC}$，C选项正确，不符合题意；
4. 在$Rt△ ACD$中，$\frac{AD}{AC}$是$∠ CAD$的邻边与斜边的比值，即$\cos∠ CAD=\cos B$，不等于$\sin B$，因此D选项错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
正弦的定义，同角的余角相等
【点评】
本题考查锐角正弦的基本应用，解题时需要找准锐角所在的直角三角形，明确边角的对应关系，也可借助等角的三角函数值相等进行转化判断，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.8
要判断各选项中关于$\sin B$的表达式是否正确，首先明确锐角正弦的定义：直角三角形中一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值。其次结合图形中的直角三角形，先直接推导$∠ B$在所在直角三角形中的正弦表达式，再利用“同角的余角相等”找到与$∠ B$相等的角，通过等角的正弦值相等转化推导，逐一验证选项即可。
【解析】
根据锐角正弦的定义：直角三角形中，锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。
1. 在$Rt△ ABD$中，$∠ ADB=90°$，$∠ B$的对边是$AD$，斜边是$AB$，因此$\sin B=\frac{AD}{AB}$，A选项正确，不符合题意；
2. 在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$∠ B$的对边是$AC$，斜边是$BC$，因此$\sin B=\frac{AC}{BC}$，B选项正确，不符合题意；
3. 因为$∠ BAC=90°$，$AD⊥ BC$，所以$∠ B+∠ C=90°$，$∠ CAD+∠ C=90°$，根据同角的余角相等可得$∠ B=∠ CAD$。在$Rt△ ACD$中，$∠ ADC=90°$，$∠ CAD$的对边是$CD$，斜边是$AC$，因此$\sin∠ CAD=\frac{CD}{AC}$，即$\sin B=\frac{CD}{AC}$，C选项正确，不符合题意；
4. 在$Rt△ ACD$中，$\frac{AD}{AC}$是$∠ CAD$的邻边与斜边的比值，即$\cos∠ CAD=\cos B$，不等于$\sin B$，因此D选项错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
正弦的定义，同角的余角相等
【点评】
本题考查锐角正弦的基本应用，解题时需要找准锐角所在的直角三角形，明确边角的对应关系，也可借助等角的三角函数值相等进行转化判断，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.8
5. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=8$，$\sin A = \dfrac{3}{5}$，点$D$是$AB$中点，则$CD$的长为()
A.4
B.5
C.6
D.7
A.4
B.5
C.6
D.7
答案
B
解析
【分析】
要求CD的长度，首先观察到D是Rt△ABC斜边AB的中点，根据直角三角形斜边中线的性质，CD等于AB的一半，因此解题核心是先求出斜边AB的长度。首先利用正弦的定义，$\sin A$是∠A的对边与斜边的比值，即$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}$，可设参数k表示BC和AB的长度，再结合勾股定理用k表示出AC，结合已知AC=8即可求出k的值，进而得到AB的长度，最终算出CD。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
根据正弦的定义：$\sin A = \frac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}$，
设$BC=3k$，$AB=5k$（$k＞0$），
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(5k)^2-(3k)^2}=4k$，
已知$AC=8$，代入得$4k=8$，解得$k=2$，
因此$AB=5k=5×2=10$，
∵点D是AB的中点，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，
∴$CD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
正弦的定义，勾股定理，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础常考题，综合考查了锐角三角函数的基本定义、勾股定理以及直角三角形的特殊性质，解题的关键是将求CD的问题转化为求斜边AB的长度，利用参数法结合三角函数和勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.75
要求CD的长度，首先观察到D是Rt△ABC斜边AB的中点，根据直角三角形斜边中线的性质，CD等于AB的一半，因此解题核心是先求出斜边AB的长度。首先利用正弦的定义，$\sin A$是∠A的对边与斜边的比值，即$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}$，可设参数k表示BC和AB的长度，再结合勾股定理用k表示出AC，结合已知AC=8即可求出k的值，进而得到AB的长度，最终算出CD。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
根据正弦的定义：$\sin A = \frac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}$，
设$BC=3k$，$AB=5k$（$k＞0$），
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(5k)^2-(3k)^2}=4k$，
已知$AC=8$，代入得$4k=8$，解得$k=2$，
因此$AB=5k=5×2=10$，
∵点D是AB的中点，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，
∴$CD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
正弦的定义，勾股定理，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础常考题，综合考查了锐角三角函数的基本定义、勾股定理以及直角三角形的特殊性质，解题的关键是将求CD的问题转化为求斜边AB的长度，利用参数法结合三角函数和勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.75
6.如图,在$6×6$正方形网格中,$△ ABC$的顶点$A,B,C$都在网格线上,且都是小正方形边的中点,则$\sin A=$()
A.$\frac{\sqrt{10}}{5}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{4}{5}$
D.$\frac{4}{3}$
A.$\frac{\sqrt{10}}{5}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{4}{5}$
D.$\frac{4}{3}$
答案
C
解析
【分析】
要求sinA，根据锐角正弦的定义，需要将∠A放在直角三角形中，计算∠A的对边与斜边的比值。首先过点C作CD⊥AB于点D，构造出含∠A的直角三角形ACD，接下来只需分别计算直角边CD和斜边AC的长度，再代入正弦定义计算即可，可设小正方形边长为单位长度方便计算网格中的线段长度。
【解析】
设每个小正方形的边长为2（方便中点坐标取整数），过点C作CD⊥AB，垂足为D。
1. 计算CD的长度：观察网格可知，点C到AB的垂直距离为8，即CD=8；
2. 计算AC的长度：点A到点C的水平距离为6，垂直距离为8，根据勾股定理得：
$AC=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$；
3. 在Rt△ACD中，∠ADC=90°，根据正弦的定义：
$\sin A=\frac{∠A的对边}{斜边}=\frac{CD}{AC}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$。
【答案】
C
【知识点】
锐角正弦的定义，勾股定理，网格线段长度计算
【点评】
本题结合网格考查锐角三角函数的基本计算，解题核心是构造含目标角的直角三角形，再结合勾股定理计算对应边长，解题时设合适的单位长度可简化计算过程。
【难度系数】
0.7
要求sinA，根据锐角正弦的定义，需要将∠A放在直角三角形中，计算∠A的对边与斜边的比值。首先过点C作CD⊥AB于点D，构造出含∠A的直角三角形ACD，接下来只需分别计算直角边CD和斜边AC的长度，再代入正弦定义计算即可，可设小正方形边长为单位长度方便计算网格中的线段长度。
【解析】
设每个小正方形的边长为2（方便中点坐标取整数），过点C作CD⊥AB，垂足为D。
1. 计算CD的长度：观察网格可知，点C到AB的垂直距离为8，即CD=8；
2. 计算AC的长度：点A到点C的水平距离为6，垂直距离为8，根据勾股定理得：
$AC=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$；
3. 在Rt△ACD中，∠ADC=90°，根据正弦的定义：
$\sin A=\frac{∠A的对边}{斜边}=\frac{CD}{AC}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$。
【答案】
C
【知识点】
锐角正弦的定义，勾股定理，网格线段长度计算
【点评】
本题结合网格考查锐角三角函数的基本计算，解题核心是构造含目标角的直角三角形，再结合勾股定理计算对应边长，解题时设合适的单位长度可简化计算过程。
【难度系数】
0.7
