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1.(1)正三角形的边长为$a$,则它外接圆的半径为________,边心距为________;
(2)正三角形的中心角为________,正方形的中心角为________,正六边形的中心角为________.
(2)正三角形的中心角为________,正方形的中心角为________,正六边形的中心角为________.
答案
(1) $\boldsymbol{\frac{\sqrt{3}}{3}a}$，$\boldsymbol{\frac{\sqrt{3}}{6}a}$；
(2) $\boldsymbol{120°}$，$\boldsymbol{90°}$，$\boldsymbol{60°}$。
(2) $\boldsymbol{120°}$，$\boldsymbol{90°}$，$\boldsymbol{60°}$。
解析
【分析】
本题考查正多边形与圆的相关计算，解题思路如下：
(1) 计算正三角形的外接圆半径和边心距时，首先明确正三角形的重心、外心、内心重合，外接圆半径是外心到顶点的距离，边心距是外心到边的距离，可利用正三角形的高与外接圆半径、边心距的数量关系（外接圆半径为高的$\frac{2}{3}$，边心距为高的$\frac{1}{3}$）计算，也可通过外接圆半径、边心距、边长的一半构成的直角三角形解三角形求解。
(2) 计算正多边形中心角时，牢记正$n$边形的中心角公式为$\frac{360°}{n}$，代入对应正多边形的边数即可求出结果。
【解析】
(1) 先求边长为$a$的正三角形的高：$h=\frac{\sqrt{3}}{2}a$。
因为正三角形的外心与重心重合，重心分高的比为$2:1$，
所以外接圆半径$R=\frac{2}{3}h=\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{3}a$，
边心距$r=\frac{1}{3}h=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{6}a$。
(2) 根据正$n$边形的中心角公式$α=\frac{360°}{n}$：
正三角形边数$n=3$，中心角为$\frac{360°}{3}=120°$；
正方形边数$n=4$，中心角为$\frac{360°}{4}=90°$；
正六边形边数$n=6$，中心角为$\frac{360°}{6}=60°$。
【答案】
(1) $\frac{\sqrt{3}}{3}a$，$\frac{\sqrt{3}}{6}a$；(2) $120°$，$90°$，$60°$
【知识点】
正多边形的性质，中心角计算，解直角三角形
【点评】
本题属于基础概念应用题，重点考查正多边形与圆核心基础量的计算，熟练掌握正多边形的中心角公式，以及外接圆半径、边心距、边长构成的直角三角形的边角关系，是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.8
本题考查正多边形与圆的相关计算，解题思路如下：
(1) 计算正三角形的外接圆半径和边心距时，首先明确正三角形的重心、外心、内心重合，外接圆半径是外心到顶点的距离，边心距是外心到边的距离，可利用正三角形的高与外接圆半径、边心距的数量关系（外接圆半径为高的$\frac{2}{3}$，边心距为高的$\frac{1}{3}$）计算，也可通过外接圆半径、边心距、边长的一半构成的直角三角形解三角形求解。
(2) 计算正多边形中心角时，牢记正$n$边形的中心角公式为$\frac{360°}{n}$，代入对应正多边形的边数即可求出结果。
【解析】
(1) 先求边长为$a$的正三角形的高：$h=\frac{\sqrt{3}}{2}a$。
因为正三角形的外心与重心重合，重心分高的比为$2:1$，
所以外接圆半径$R=\frac{2}{3}h=\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{3}a$，
边心距$r=\frac{1}{3}h=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{6}a$。
(2) 根据正$n$边形的中心角公式$α=\frac{360°}{n}$：
正三角形边数$n=3$，中心角为$\frac{360°}{3}=120°$；
正方形边数$n=4$，中心角为$\frac{360°}{4}=90°$；
正六边形边数$n=6$，中心角为$\frac{360°}{6}=60°$。
【答案】
(1) $\frac{\sqrt{3}}{3}a$，$\frac{\sqrt{3}}{6}a$；(2) $120°$，$90°$，$60°$
【知识点】
正多边形的性质，中心角计算，解直角三角形
【点评】
本题属于基础概念应用题，重点考查正多边形与圆核心基础量的计算，熟练掌握正多边形的中心角公式，以及外接圆半径、边心距、边长构成的直角三角形的边角关系，是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.8
2.正六边形的边心距为2，则其边长为，周长为。
答案
边长为$\boldsymbol{\frac{4\sqrt{3}}{3}}$，周长为$\boldsymbol{8\sqrt{3}}$。
解析
【分析】
解决本题的核心是利用正六边形的性质转化问题：正六边形的中心角为60°，因此其中心与相邻两个顶点构成的三角形是等边三角形，边心距就是这个等边三角形底边上的高。我们可以通过构造直角三角形，用勾股定理或三角函数求出等边三角形的边长（即正六边形的边长），再进一步计算周长。
【解析】
1. 计算正六边形的中心角：正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，因此正六边形的半径（中心到顶点的距离）与边长相等，即由中心、相邻两个顶点组成的三角形为等边三角形。
2. 求边长：设正六边形的边长为$a$，边心距是等边三角形的高，长度为2。将等边三角形沿高拆分为两个全等的直角三角形，直角三角形的两条直角边分别为边心距2、$\frac{a}{2}$，斜边为$a$。
根据勾股定理可得：$(\frac{a}{2})^2 + 2^2 = a^2$
整理得：$\frac{a^2}{4} + 4 = a^2$，即$\frac{3a^2}{4}=4$
解得：$a=\frac{4\sqrt{3}}{3}$（边长为正数，舍去负根）
3. 求周长：正六边形周长为$6a=6×\frac{4\sqrt{3}}{3}=8\sqrt{3}$
【答案】
$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；$8\sqrt{3}$
【知识点】
正六边形性质，勾股定理，周长计算
【点评】
本题是正多边形与圆的基础应用题型，解题关键是将正多边形问题转化为特殊三角形问题求解，是正多边形相关计算的常考题型。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是利用正六边形的性质转化问题：正六边形的中心角为60°，因此其中心与相邻两个顶点构成的三角形是等边三角形，边心距就是这个等边三角形底边上的高。我们可以通过构造直角三角形，用勾股定理或三角函数求出等边三角形的边长（即正六边形的边长），再进一步计算周长。
【解析】
1. 计算正六边形的中心角：正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，因此正六边形的半径（中心到顶点的距离）与边长相等，即由中心、相邻两个顶点组成的三角形为等边三角形。
2. 求边长：设正六边形的边长为$a$，边心距是等边三角形的高，长度为2。将等边三角形沿高拆分为两个全等的直角三角形，直角三角形的两条直角边分别为边心距2、$\frac{a}{2}$，斜边为$a$。
根据勾股定理可得：$(\frac{a}{2})^2 + 2^2 = a^2$
整理得：$\frac{a^2}{4} + 4 = a^2$，即$\frac{3a^2}{4}=4$
解得：$a=\frac{4\sqrt{3}}{3}$（边长为正数，舍去负根）
3. 求周长：正六边形周长为$6a=6×\frac{4\sqrt{3}}{3}=8\sqrt{3}$
【答案】
$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；$8\sqrt{3}$
【知识点】
正六边形性质，勾股定理，周长计算
【点评】
本题是正多边形与圆的基础应用题型，解题关键是将正多边形问题转化为特殊三角形问题求解，是正多边形相关计算的常考题型。
【难度系数】
0.7
3.如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度$b＝3\ \mathrm{cm}$，则螺帽边长$a＝\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}$.
答案
$\sqrt{3}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆正六边形的性质：正六边形的内角均为120°，可看作由6个边长等于其边长的等边三角形拼接而成，对边之间的距离等于2倍的边心距（即等边三角形的高）。我们可以先推导扳手开口宽度b（也就是正六边形对边距离）和螺帽边长a的数量关系，再代入b的数值求解a即可。
【解析】
解：正六边形的边心距是边长为a的等边三角形的高，
由特殊角的三角函数值可得，边心距$h = a · \sin60° = \frac{\sqrt{3}}{2}a$。
扳手开口宽度b是正六边形两组对边的距离，等于2倍的边心距，即：
$b = 2h = 2×\frac{\sqrt{3}}{2}a = \sqrt{3}a$
已知$b=3\ \mathrm{cm}$，代入得：
$3 = \sqrt{3}a$
解得$a = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
正多边形的性质、特殊角的三角函数值
【点评】
本题是正多边形性质的实际应用问题，解题的核心是建立正六边形对边距离与边长的关系，结合特殊角的三角函数即可快速求解，是正多边形相关知识的常见考查题型。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先回忆正六边形的性质：正六边形的内角均为120°，可看作由6个边长等于其边长的等边三角形拼接而成，对边之间的距离等于2倍的边心距（即等边三角形的高）。我们可以先推导扳手开口宽度b（也就是正六边形对边距离）和螺帽边长a的数量关系，再代入b的数值求解a即可。
【解析】
解：正六边形的边心距是边长为a的等边三角形的高，
由特殊角的三角函数值可得，边心距$h = a · \sin60° = \frac{\sqrt{3}}{2}a$。
扳手开口宽度b是正六边形两组对边的距离，等于2倍的边心距，即：
$b = 2h = 2×\frac{\sqrt{3}}{2}a = \sqrt{3}a$
已知$b=3\ \mathrm{cm}$，代入得：
$3 = \sqrt{3}a$
解得$a = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
正多边形的性质、特殊角的三角函数值
【点评】
本题是正多边形性质的实际应用问题，解题的核心是建立正六边形对边距离与边长的关系，结合特殊角的三角函数即可快速求解，是正多边形相关知识的常见考查题型。
【难度系数】
0.7
4. 如图，正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于$\odot O$，且有公共顶点A，则$∠ BOH$的度数为度.
答案
$\boldsymbol{12}$
解析
【分析】
解题的关键是掌握正多边形中心角的计算方法：正n边形的中心角等于$\frac{360°}{n}$。观察图形可知，$∠ BOH = ∠ AOH - ∠ AOB$，其中$∠ AOB$是正六边形的中心角，$∠ AOH$是正五边形的中心角，我们只需要分别算出这两个中心角，再作差即可得到结果。
【解析】
解：
∵正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，
∴正六边形的中心角$∠ AOB = \frac{360°}{6} = 60°$，
∵正五边形AHIJK内接于$\odot O$，
∴正五边形的中心角$∠ AOH = \frac{360°}{5} = 72°$，
∴$∠ BOH = ∠ AOH - ∠ AOB = 72° - 60° = 12°$。
【答案】
12
【知识点】
正多边形中心角计算；正多边形与圆
【点评】
本题属于基础题，主要考查正多边形和圆的相关性质，解题核心是牢记正n边形的中心角公式，结合图形的角的和差关系计算即可。
【难度系数】
0.8
解题的关键是掌握正多边形中心角的计算方法：正n边形的中心角等于$\frac{360°}{n}$。观察图形可知，$∠ BOH = ∠ AOH - ∠ AOB$，其中$∠ AOB$是正六边形的中心角，$∠ AOH$是正五边形的中心角，我们只需要分别算出这两个中心角，再作差即可得到结果。
【解析】
解：
∵正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，
∴正六边形的中心角$∠ AOB = \frac{360°}{6} = 60°$，
∵正五边形AHIJK内接于$\odot O$，
∴正五边形的中心角$∠ AOH = \frac{360°}{5} = 72°$，
∴$∠ BOH = ∠ AOH - ∠ AOB = 72° - 60° = 12°$。
【答案】
12
【知识点】
正多边形中心角计算；正多边形与圆
【点评】
本题属于基础题，主要考查正多边形和圆的相关性质，解题核心是牢记正n边形的中心角公式，结合图形的角的和差关系计算即可。
【难度系数】
0.8
5. 下列说法中,不正确的是()
A.正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$
B.各内角相等的多边形是正多边形
C.各边相等、各角相等的多边形是正多边形
D.各边相等的圆内接多边形是正多边形
A.正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$
B.各内角相等的多边形是正多边形
C.各边相等、各角相等的多边形是正多边形
D.各边相等的圆内接多边形是正多边形
答案
B
解析
【分析】
本题考查正多边形的相关概念与判定，解题思路为：先回忆正多边形的定义、中心角计算公式以及圆内接多边形的性质，再逐个分析每个选项的说法是否正确，通过举反例或结合性质验证的方法排除正确选项，最终选出不正确的答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
1. 选项A：正n边形的中心角是指以正多边形中心为顶点，过相邻两个顶点的射线组成的角，绕中心一周为$360°$，且正n边形的n个中心角完全相等，因此中心角为$\frac{360°}{n}$，该说法正确，不符合题意。
2. 选项B：仅各内角相等的多边形不一定是正多边形，例如矩形，四个内角都是$90°$相等，但它的邻边不一定相等，不是正四边形（正方形），因此该说法错误，符合题意。
3. 选项C：各边相等、各角相等是正多边形的定义，该说法正确，不符合题意。
4. 选项D：各边相等的圆内接多边形，相等的边对应的弧长相等，进而对应的内角也相等，满足正多边形“各边等、各角等”的条件，因此是正多边形，该说法正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
正多边形的判定；正多边形的中心角；圆内接多边形性质
【点评】
本题属于基础概念类题目，易错点在于容易忽略正多边形需要同时满足各边相等、各角相等两个判定条件，判断时可通过举常见反例快速排除错误选项，涉及圆内接多边形的判定可结合同圆中弦、弧、圆周角的对应关系分析。
【难度系数】
0.7
本题考查正多边形的相关概念与判定，解题思路为：先回忆正多边形的定义、中心角计算公式以及圆内接多边形的性质，再逐个分析每个选项的说法是否正确，通过举反例或结合性质验证的方法排除正确选项，最终选出不正确的答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
1. 选项A：正n边形的中心角是指以正多边形中心为顶点，过相邻两个顶点的射线组成的角，绕中心一周为$360°$，且正n边形的n个中心角完全相等，因此中心角为$\frac{360°}{n}$，该说法正确，不符合题意。
2. 选项B：仅各内角相等的多边形不一定是正多边形，例如矩形，四个内角都是$90°$相等，但它的邻边不一定相等，不是正四边形（正方形），因此该说法错误，符合题意。
3. 选项C：各边相等、各角相等是正多边形的定义，该说法正确，不符合题意。
4. 选项D：各边相等的圆内接多边形，相等的边对应的弧长相等，进而对应的内角也相等，满足正多边形“各边等、各角等”的条件，因此是正多边形，该说法正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
正多边形的判定；正多边形的中心角；圆内接多边形性质
【点评】
本题属于基础概念类题目，易错点在于容易忽略正多边形需要同时满足各边相等、各角相等两个判定条件，判断时可通过举常见反例快速排除错误选项，涉及圆内接多边形的判定可结合同圆中弦、弧、圆周角的对应关系分析。
【难度系数】
0.7
6.如图,正五边形ABCDE内接于$\odot O$,P为$\overset{\frown}{DE}$上的一点(点P不与点D重合),则$∠ CPD$的度数为()
A.$30°$
B.$36°$
C.$60°$
D.$72°$
A.$30°$
B.$36°$
C.$60°$
D.$72°$
答案
B
解析
【分析】
要求$∠ CPD$的度数，可结合正多边形内接于圆的性质和圆周角定理求解：第一步先计算正五边形的边CD所对的圆心角，正$n$边形各边对应的中心角相等，大小为$\frac{360°}{n}$；第二步根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是对应圆心角的一半，即可求出$∠ CPD$的度数。
【解析】
连接$OC$、$OD$。
$\because$正五边形$ABCDE$内接于$\odot O$，
$\therefore$边$CD$对应的中心角$∠ COD=\frac{360°}{5}=72°$。
$\because ∠ CPD$是$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
$\therefore ∠ CPD=\frac{1}{2}∠ COD=\frac{1}{2}×72°=36°$。
【答案】
B
【知识点】
正多边形和圆，圆周角定理
【点评】
本题是基础题，解题的核心是掌握正多边形中心角的计算方法，以及圆周角和圆心角的数量关系，熟练运用相关性质即可快速得到结果。
【难度系数】
0.8
要求$∠ CPD$的度数，可结合正多边形内接于圆的性质和圆周角定理求解：第一步先计算正五边形的边CD所对的圆心角，正$n$边形各边对应的中心角相等，大小为$\frac{360°}{n}$；第二步根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是对应圆心角的一半，即可求出$∠ CPD$的度数。
【解析】
连接$OC$、$OD$。
$\because$正五边形$ABCDE$内接于$\odot O$，
$\therefore$边$CD$对应的中心角$∠ COD=\frac{360°}{5}=72°$。
$\because ∠ CPD$是$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
$\therefore ∠ CPD=\frac{1}{2}∠ COD=\frac{1}{2}×72°=36°$。
【答案】
B
【知识点】
正多边形和圆，圆周角定理
【点评】
本题是基础题，解题的核心是掌握正多边形中心角的计算方法，以及圆周角和圆心角的数量关系，熟练运用相关性质即可快速得到结果。
【难度系数】
0.8
7.如图,五边形ABCDE是$\odot O$的内接正五边形,AF是$\odot O$的直径,则$∠ BDF$的度数是（）
A.$18°$
B.$36°$
C.$54°$
D.$72°$
A.$18°$
B.$36°$
C.$54°$
D.$72°$
答案
C
解析
【分析】
要求∠BDF的度数，可利用圆周角定理求解：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半，因此只需先确定∠BDF所对弧的度数即可。首先根据正五边形的性质算出每条边对应的圆心角度数，再结合AF是直径的条件推出F为弧CD的中点，进而求出目标弧的度数，最终计算出所求角的度数。
【解析】
1. 计算正五边形各边对应圆心角：
∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，正五边形各边所对圆心角相等，
∴每段边对应的圆心角为$360°÷5=72°$，即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{EA}=72°$。
2. 确定弧CF、弧FD的度数：
∵AF是⊙O的直径，正五边形为轴对称图形，AF所在直线是对称轴，
∴AF平分$\overset{\frown}{CD}$，即$\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{FD}=72°÷2=36°$。
3. 计算∠BDF的度数：
∠BDF是圆周角，它所对的弧为$\overset{\frown}{BF}$，$\overset{\frown}{BF}$的度数为$\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{CF}=72°+36°=108°$，
根据圆周角定理，$∠ BDF=\frac{1}{2}×108°=54°$。
【答案】
C
【知识点】
正多边形与圆，圆周角定理
【点评】
本题是正多边形与圆结合的基础题，解题核心是熟练掌握正多边形的圆心角计算方法，以及圆周角和所对弧的度数关系，准确找到圆周角对应的弧是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要求∠BDF的度数，可利用圆周角定理求解：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半，因此只需先确定∠BDF所对弧的度数即可。首先根据正五边形的性质算出每条边对应的圆心角度数，再结合AF是直径的条件推出F为弧CD的中点，进而求出目标弧的度数，最终计算出所求角的度数。
【解析】
1. 计算正五边形各边对应圆心角：
∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，正五边形各边所对圆心角相等，
∴每段边对应的圆心角为$360°÷5=72°$，即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{EA}=72°$。
2. 确定弧CF、弧FD的度数：
∵AF是⊙O的直径，正五边形为轴对称图形，AF所在直线是对称轴，
∴AF平分$\overset{\frown}{CD}$，即$\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{FD}=72°÷2=36°$。
3. 计算∠BDF的度数：
∠BDF是圆周角，它所对的弧为$\overset{\frown}{BF}$，$\overset{\frown}{BF}$的度数为$\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{CF}=72°+36°=108°$，
根据圆周角定理，$∠ BDF=\frac{1}{2}×108°=54°$。
【答案】
C
【知识点】
正多边形与圆，圆周角定理
【点评】
本题是正多边形与圆结合的基础题，解题核心是熟练掌握正多边形的圆心角计算方法，以及圆周角和所对弧的度数关系，准确找到圆周角对应的弧是解题的关键。
【难度系数】
0.7
8.如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，若AC=4，则点O到AC的距离为。
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
【分析】
解题时首先结合正八边形内接于圆的特征，先计算正八边形的中心角，再确定∠AOC的度数，判断△AOC的形状；接下来过O作AC的垂线，利用等腰三角形三线合一得到AC一半的长度，最后结合等腰直角三角形的性质即可求出点O到AC的距离。
【解析】
解：
∵正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，
∴正八边形的中心角为$\frac{360°}{8}=45°$，
∴$∠ AOC=2×45°=90°$，
又
∵OA=OC（都是⊙O的半径），
∴△AOC是等腰直角三角形。
过点O作$OM⊥ AC$于点M，
根据等腰三角形三线合一，可得$AM=CM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2$，
在Rt△AOM中，$∠ OAM=\frac{180°-90°}{2}=45°$，
∴△AOM为等腰直角三角形，
∴$OM=AM=2$，即点O到AC的距离为2。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
正多边形与圆，等腰直角三角形的性质，垂径定理
【点评】
本题解题的核心是先根据正八边形的特征求出中心角∠AOC的度数，判断出△AOC是等腰直角三角形，再结合等腰三角形和直角三角形的性质求解，整体计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合正八边形内接于圆的特征，先计算正八边形的中心角，再确定∠AOC的度数，判断△AOC的形状；接下来过O作AC的垂线，利用等腰三角形三线合一得到AC一半的长度，最后结合等腰直角三角形的性质即可求出点O到AC的距离。
【解析】
解：
∵正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，
∴正八边形的中心角为$\frac{360°}{8}=45°$，
∴$∠ AOC=2×45°=90°$，
又
∵OA=OC（都是⊙O的半径），
∴△AOC是等腰直角三角形。
过点O作$OM⊥ AC$于点M，
根据等腰三角形三线合一，可得$AM=CM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2$，
在Rt△AOM中，$∠ OAM=\frac{180°-90°}{2}=45°$，
∴△AOM为等腰直角三角形，
∴$OM=AM=2$，即点O到AC的距离为2。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
正多边形与圆，等腰直角三角形的性质，垂径定理
【点评】
本题解题的核心是先根据正八边形的特征求出中心角∠AOC的度数，判断出△AOC是等腰直角三角形，再结合等腰三角形和直角三角形的性质求解，整体计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.7
9.如图，M，N分别是$\odot O$的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCD…的边AB，BC上的点，且$BM=CN$，
连接OM，ON.
(1)图①中$∠ MON=$°；
(2)图②中$∠ MON=$°；
(3)图③中$∠ MON=$°；
(4)正n边形中$∠ MON=$°(用含n的式子表示).
连接OM，ON.
(1)图①中$∠ MON=$°；
(2)图②中$∠ MON=$°；
(3)图③中$∠ MON=$°；
(4)正n边形中$∠ MON=$°(用含n的式子表示).
答案
(1) $\boldsymbol{120}$；(2) $\boldsymbol{90}$；(3) $\boldsymbol{72}$；(4) $\boldsymbol{\frac{360}{n}}$
解析
【分析】
解题时可先连接正多边形的中心O与顶点B、C，利用正多边形的性质得到OB=OC、∠OBM=∠OCN，结合已知BM=CN证明△OBM≌△OCN，进而推出∠MON等于正多边形的中心角∠BOC，最后根据正n边形中心角为$\frac{360°}{n}$代入计算即可得到各问结果。
【解析】
连接OB、OC：
正多边形的顶点均在$\odot O$上，因此OB、OC都是$\odot O$的半径，即OB=OC，且正多边形的中心角$∠ BOC=\frac{360°}{n}$；同时正多边形的半径平分内角，可得$∠ OBM=∠ OCN$。
已知BM=CN，根据SAS判定可得$△ OBM≌△ OCN$，因此$∠ BOM=∠ CON$。
由此推导：$∠ MON=∠ BOM+∠ BON=∠ CON+∠ BON=∠ BOC$，即$∠ MON$与正多边形的中心角相等。
(1) 正三角形中n=3，$∠ MON=\frac{360°}{3}=120°$；
(2) 正方形中n=4，$∠ MON=\frac{360°}{4}=90°$；
(3) 正五边形中n=5，$∠ MON=\frac{360°}{5}=72°$；
(4) 正n边形中，$∠ MON=\frac{360°}{n}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{120}$；(2) $\boldsymbol{90}$；(3) $\boldsymbol{72}$；(4) $\boldsymbol{\frac{360}{n}}$
【知识点】
正多边形与圆，全等三角形的判定与性质，正多边形中心角
【点评】
本题属于规律探究类题目，将全等三角形判定与正多边形和圆的知识结合，解题核心是通过构造全等三角形推导得出$∠ MON$与正多边形中心角相等，进而归纳出通用结论，能够锻炼学生的逻辑推理和归纳总结能力。
【难度系数】
0.7
解题时可先连接正多边形的中心O与顶点B、C，利用正多边形的性质得到OB=OC、∠OBM=∠OCN，结合已知BM=CN证明△OBM≌△OCN，进而推出∠MON等于正多边形的中心角∠BOC，最后根据正n边形中心角为$\frac{360°}{n}$代入计算即可得到各问结果。
【解析】
连接OB、OC：
正多边形的顶点均在$\odot O$上，因此OB、OC都是$\odot O$的半径，即OB=OC，且正多边形的中心角$∠ BOC=\frac{360°}{n}$；同时正多边形的半径平分内角，可得$∠ OBM=∠ OCN$。
已知BM=CN，根据SAS判定可得$△ OBM≌△ OCN$，因此$∠ BOM=∠ CON$。
由此推导：$∠ MON=∠ BOM+∠ BON=∠ CON+∠ BON=∠ BOC$，即$∠ MON$与正多边形的中心角相等。
(1) 正三角形中n=3，$∠ MON=\frac{360°}{3}=120°$；
(2) 正方形中n=4，$∠ MON=\frac{360°}{4}=90°$；
(3) 正五边形中n=5，$∠ MON=\frac{360°}{5}=72°$；
(4) 正n边形中，$∠ MON=\frac{360°}{n}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{120}$；(2) $\boldsymbol{90}$；(3) $\boldsymbol{72}$；(4) $\boldsymbol{\frac{360}{n}}$
【知识点】
正多边形与圆，全等三角形的判定与性质，正多边形中心角
【点评】
本题属于规律探究类题目，将全等三角形判定与正多边形和圆的知识结合，解题核心是通过构造全等三角形推导得出$∠ MON$与正多边形中心角相等，进而归纳出通用结论，能够锻炼学生的逻辑推理和归纳总结能力。
【难度系数】
0.7
