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例1 (1)正多边形的外接圆或内切圆的叫作正多边形的中心，正多边形的圆的半径叫作正多边形的半径。
(2)下列说法中，不正确的是()
A.正多边形一定有一个外接圆和一个内切圆
B.各边相等、各角相等的多边形是正多边形
C.正多边形的内切圆与外接圆是同心圆
D.正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
【思路导析】运用正多边形的有关定义、性质解答。
【请你解答】(1)；(2)。
(2)下列说法中，不正确的是()
A.正多边形一定有一个外接圆和一个内切圆
B.各边相等、各角相等的多边形是正多边形
C.正多边形的内切圆与外接圆是同心圆
D.正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
【思路导析】运用正多边形的有关定义、性质解答。
【请你解答】(1)；(2)。
答案
解：
(1) 圆心；外接
(2) D
(1) 圆心；外接
(2) D
解析
【分析】
(1) 本题考查正多边形的基础定义，解题时回忆正多边形与圆的相关概念即可：正多边形的外接圆和内切圆拥有公共的圆心，这个圆心就是正多边形的中心；正多边形的半径指的是其外接圆的半径。
(2) 本题考查正多边形的性质判断，解题时需逐一分析每个选项，结合正多边形的定义、与圆的关系、对称性特点判断正误，遇到表述绝对的选项可举反例验证。
【解析】
(1) 根据正多边形的相关定义：正多边形的外接圆或内切圆的圆心叫作正多边形的中心，正多边形的外接圆的半径叫作正多边形的半径，因此两个空依次填圆心、外接。
(2) 逐一分析选项：
A选项：任意正多边形都有且只有一个外接圆和一个内切圆，该说法正确；
B选项：各边相等、各角相等是正多边形的定义，该说法正确；
C选项：正多边形的内切圆和外接圆的圆心均为正多边形的中心，因此二者是同心圆，该说法正确；
D选项：所有正多边形都是轴对称图形，但只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形，例如正三角形是正多边形，但它不是中心对称图形，因此该说法错误。
本题要求选不正确的，故选D。
【答案】
(1) 圆心；外接 (2) D
【知识点】
正多边形的定义；正多边形与圆的关系；正多边形的对称性
【点评】
本题侧重考查正多边形的基础概念和性质，整体偏基础，要求学生准确记忆相关定义，特别注意区分正多边形的对称性规律，避免因忽略奇数边正多边形的特点失分。
【难度系数】
0.8
(1) 本题考查正多边形的基础定义，解题时回忆正多边形与圆的相关概念即可：正多边形的外接圆和内切圆拥有公共的圆心，这个圆心就是正多边形的中心；正多边形的半径指的是其外接圆的半径。
(2) 本题考查正多边形的性质判断，解题时需逐一分析每个选项，结合正多边形的定义、与圆的关系、对称性特点判断正误，遇到表述绝对的选项可举反例验证。
【解析】
(1) 根据正多边形的相关定义：正多边形的外接圆或内切圆的圆心叫作正多边形的中心，正多边形的外接圆的半径叫作正多边形的半径，因此两个空依次填圆心、外接。
(2) 逐一分析选项：
A选项：任意正多边形都有且只有一个外接圆和一个内切圆，该说法正确；
B选项：各边相等、各角相等是正多边形的定义，该说法正确；
C选项：正多边形的内切圆和外接圆的圆心均为正多边形的中心，因此二者是同心圆，该说法正确；
D选项：所有正多边形都是轴对称图形，但只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形，例如正三角形是正多边形，但它不是中心对称图形，因此该说法错误。
本题要求选不正确的，故选D。
【答案】
(1) 圆心；外接 (2) D
【知识点】
正多边形的定义；正多边形与圆的关系；正多边形的对称性
【点评】
本题侧重考查正多边形的基础概念和性质，整体偏基础，要求学生准确记忆相关定义，特别注意区分正多边形的对称性规律，避免因忽略奇数边正多边形的特点失分。
【难度系数】
0.8
例2 如图，$\odot O$的半径为2，正八边形ABCDEFGH内接于$\odot O$，对角线CE，DF相交于点M，求$△ MEF$的面积。
【思路导析】设OE交DF于点N，由正八边形的性质得出$DE=FE$，$∠ EOF=\frac{360°}{8}=45°$，$\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{FE}$，由垂径定理得$∠ OEF=∠ OFE=∠ OED$，$OE⊥ DF$，得出$△ ONF$是等腰直角三角形，因此$ON=FN=\frac{\sqrt{2}}{2}OF=\sqrt{2}$，$∠ OFM=45°$，得出$EN=OE-ON=2-\sqrt{2}$。易证$△ EMN$是等腰直角
角形，得$MN=EN$，则$MF=OE=2$，由三角形面积公式即可得出结果。
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 正三角形和圆
【思路导析】设OE交DF于点N，由正八边形的性质得出$DE=FE$，$∠ EOF=\frac{360°}{8}=45°$，$\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{FE}$，由垂径定理得$∠ OEF=∠ OFE=∠ OED$，$OE⊥ DF$，得出$△ ONF$是等腰直角三角形，因此$ON=FN=\frac{\sqrt{2}}{2}OF=\sqrt{2}$，$∠ OFM=45°$，得出$EN=OE-ON=2-\sqrt{2}$。易证$△ EMN$是等腰直角
角形，得$MN=EN$，则$MF=OE=2$，由三角形面积公式即可得出结果。
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 正三角形和圆
答案
解：
连接OE，设OE交DF于点N。
∵ 正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，⊙O的半径为2，
∴ 正八边形每条边对应的中心角为$\frac{360°}{8}=45°$，
即$∠ EOF=∠ DOE=45°$，$\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{FE}$，
∴ $DE=FE$，OE平分$∠ DEF$。
∵ $OE=OF$，$∠ EOF=45°$，
∴ $∠ OEF=∠ OFE=\frac{180°-45°}{2}=67.5°$，同理$∠ OED=67.5°$。
由垂径定理得：$OE⊥ DF$，即$∠ ONF=∠ ENF=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ONF$中，$∠ NOF=45°$，$OF=2$，
∴ $△ ONF$是等腰直角三角形，
$ON=FN=\frac{\sqrt{2}}{2}OF=\sqrt{2}$，
∴ $EN=OE-ON=2-\sqrt{2}$。
∵ $∠ OFN=45°$，
∴ $∠ EFN=∠ OFE-∠ OFN=67.5°-45°=22.5°$，
在$△ EMN$中，$∠ MEN=∠ OEF-∠ OED$？不对，$∠ MEN=67.5°-45°=22.5°$？不对，$∠ EMN=90°-∠ FEN=90°-45°=45°$，
∴ $△ EMN$是等腰直角三角形，$MN=EN=2-\sqrt{2}$，
∴ $MF=MN+FN=(2-\sqrt{2})+\sqrt{2}=2$。
∵ $OE⊥ DF$，∴ EN是$△ MEF$中边MF上的高，
∴ $S_{△ MEF}=\frac{1}{2}× MF× EN=\frac{1}{2}×2×(2-\sqrt{2})=2-\sqrt{2}$。
答：$△ MEF$的面积为$2-\sqrt{2}$。
连接OE，设OE交DF于点N。
∵ 正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，⊙O的半径为2，
∴ 正八边形每条边对应的中心角为$\frac{360°}{8}=45°$，
即$∠ EOF=∠ DOE=45°$，$\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{FE}$，
∴ $DE=FE$，OE平分$∠ DEF$。
∵ $OE=OF$，$∠ EOF=45°$，
∴ $∠ OEF=∠ OFE=\frac{180°-45°}{2}=67.5°$，同理$∠ OED=67.5°$。
由垂径定理得：$OE⊥ DF$，即$∠ ONF=∠ ENF=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ONF$中，$∠ NOF=45°$，$OF=2$，
∴ $△ ONF$是等腰直角三角形，
$ON=FN=\frac{\sqrt{2}}{2}OF=\sqrt{2}$，
∴ $EN=OE-ON=2-\sqrt{2}$。
∵ $∠ OFN=45°$，
∴ $∠ EFN=∠ OFE-∠ OFN=67.5°-45°=22.5°$，
在$△ EMN$中，$∠ MEN=∠ OEF-∠ OED$？不对，$∠ MEN=67.5°-45°=22.5°$？不对，$∠ EMN=90°-∠ FEN=90°-45°=45°$，
∴ $△ EMN$是等腰直角三角形，$MN=EN=2-\sqrt{2}$，
∴ $MF=MN+FN=(2-\sqrt{2})+\sqrt{2}=2$。
∵ $OE⊥ DF$，∴ EN是$△ MEF$中边MF上的高，
∴ $S_{△ MEF}=\frac{1}{2}× MF× EN=\frac{1}{2}×2×(2-\sqrt{2})=2-\sqrt{2}$。
答：$△ MEF$的面积为$2-\sqrt{2}$。
解析
【分析】
要求$△ MEF$的面积，需先确定它的底和对应的高。首先结合正八边形内接于圆的性质，计算出每条边对应的中心角为$45°$，由$\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{FE}$可得$DE=FE$，结合垂径定理可推出$OE⊥ DF$，即$EN$是$△ MEF$边$MF$上的高；接下来先求解等腰直角$△ ONF$的边长，得到$ON$和$FN$的长度，进而求出$EN$的长度，再通过角度推导得出$△ EMN$为等腰直角三角形，得到$MN$的长度后即可求出底$MF$的长度，最后代入三角形面积公式即可得到结果。
【解析】
连接$OE$，设$OE$交$DF$于点$N$。
$\because$ 正八边形$ABCDEFGH$内接于$\odot O$，$\odot O$的半径为2，
$\therefore$ 正八边形每条边对应的中心角为$\frac{360°}{8}=45°$，即$∠ EOF=∠ DOE=45°$，$\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{FE}$，
$\therefore DE=FE$，$OE$平分$∠ DEF$。
$\because OE=OF$，$∠ EOF=45°$，
$\therefore ∠ OEF=∠ OFE=\frac{180°-45°}{2}=67.5°$，同理$∠ OED=67.5°$。
由垂径定理得：$OE⊥ DF$，即$∠ ONF=∠ ENF=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ONF$中，$∠ NOF=45°$，$OF=2$，
$\therefore △ ONF$是等腰直角三角形，$ON=FN=\frac{\sqrt{2}}{2}OF=\sqrt{2}$，
$\therefore EN=OE-ON=2-\sqrt{2}$。
$\because ∠ OFN=45°$，
$\therefore ∠ EFN=∠ OFE-∠ OFN=67.5°-45°=22.5°$，
$\therefore ∠ EMN=90°-∠ MEN=90°-45°=45°$，
$\therefore △ EMN$是等腰直角三角形，$MN=EN=2-\sqrt{2}$，
$\therefore MF=MN+FN=(2-\sqrt{2})+\sqrt{2}=2$。
$\because OE⊥ DF$，$\therefore EN$是$△ MEF$中边$MF$上的高，
$\therefore S_{△ MEF}=\frac{1}{2}× MF× EN=\frac{1}{2}×2×(2-\sqrt{2})=2-\sqrt{2}$。
【答案】
$2-\sqrt{2}$
【知识点】
正多边形与圆，垂径定理，等腰直角三角形性质
【点评】
本题是正多边形与圆结合的典型题型，解题核心是利用正八边形的中心角特征，结合垂径定理构造特殊直角三角形求解线段长度，再代入面积公式计算，要求学生熟练掌握正多边形和圆的相关性质及特殊三角形的边角关系。
【难度系数】
0.6
要求$△ MEF$的面积，需先确定它的底和对应的高。首先结合正八边形内接于圆的性质，计算出每条边对应的中心角为$45°$，由$\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{FE}$可得$DE=FE$，结合垂径定理可推出$OE⊥ DF$，即$EN$是$△ MEF$边$MF$上的高；接下来先求解等腰直角$△ ONF$的边长，得到$ON$和$FN$的长度，进而求出$EN$的长度，再通过角度推导得出$△ EMN$为等腰直角三角形，得到$MN$的长度后即可求出底$MF$的长度，最后代入三角形面积公式即可得到结果。
【解析】
连接$OE$，设$OE$交$DF$于点$N$。
$\because$ 正八边形$ABCDEFGH$内接于$\odot O$，$\odot O$的半径为2，
$\therefore$ 正八边形每条边对应的中心角为$\frac{360°}{8}=45°$，即$∠ EOF=∠ DOE=45°$，$\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{FE}$，
$\therefore DE=FE$，$OE$平分$∠ DEF$。
$\because OE=OF$，$∠ EOF=45°$，
$\therefore ∠ OEF=∠ OFE=\frac{180°-45°}{2}=67.5°$，同理$∠ OED=67.5°$。
由垂径定理得：$OE⊥ DF$，即$∠ ONF=∠ ENF=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ONF$中，$∠ NOF=45°$，$OF=2$，
$\therefore △ ONF$是等腰直角三角形，$ON=FN=\frac{\sqrt{2}}{2}OF=\sqrt{2}$，
$\therefore EN=OE-ON=2-\sqrt{2}$。
$\because ∠ OFN=45°$，
$\therefore ∠ EFN=∠ OFE-∠ OFN=67.5°-45°=22.5°$，
$\therefore ∠ EMN=90°-∠ MEN=90°-45°=45°$，
$\therefore △ EMN$是等腰直角三角形，$MN=EN=2-\sqrt{2}$，
$\therefore MF=MN+FN=(2-\sqrt{2})+\sqrt{2}=2$。
$\because OE⊥ DF$，$\therefore EN$是$△ MEF$中边$MF$上的高，
$\therefore S_{△ MEF}=\frac{1}{2}× MF× EN=\frac{1}{2}×2×(2-\sqrt{2})=2-\sqrt{2}$。
【答案】
$2-\sqrt{2}$
【知识点】
正多边形与圆，垂径定理，等腰直角三角形性质
【点评】
本题是正多边形与圆结合的典型题型，解题核心是利用正八边形的中心角特征，结合垂径定理构造特殊直角三角形求解线段长度，再代入面积公式计算，要求学生熟练掌握正多边形和圆的相关性质及特殊三角形的边角关系。
【难度系数】
0.6
例3 如图,点$A,B,C$把$\odot O$分成三等份,经过各点作圆的切线,以相邻的切线交点为顶点的三角形是这个圆的外切正三角形,若正三角形$ABC$的外接圆半径为$2$,求外切正三角形的边长.
【探究点拨】正三角形$ABC$的外接圆半径即为$\odot O$的半径,故$OA=2$,在$△ AB'O$中,$∠ OB'A = 30°$,$OA=2$,$OB'=2OA=4$.运用勾股定理求$AB'$.
【规范解答】连接$OA$,$OB'$,
$\because OA=2$,$OA ⊥ B'C'$,$∠ OB'A=30°$,
$\therefore OB'=2OA=2×2=4$.
在$\mathrm{Rt}△ OAB'$中,
$AB'=\sqrt{B'O^2 - OA^2}=\sqrt{4^2 - 2^2}$
$=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$.
即$B'C'=2AB'=4\sqrt{3}$.
【探究点拨】正三角形$ABC$的外接圆半径即为$\odot O$的半径,故$OA=2$,在$△ AB'O$中,$∠ OB'A = 30°$,$OA=2$,$OB'=2OA=4$.运用勾股定理求$AB'$.
【规范解答】连接$OA$,$OB'$,
$\because OA=2$,$OA ⊥ B'C'$,$∠ OB'A=30°$,
$\therefore OB'=2OA=2×2=4$.
在$\mathrm{Rt}△ OAB'$中,
$AB'=\sqrt{B'O^2 - OA^2}=\sqrt{4^2 - 2^2}$
$=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$.
即$B'C'=2AB'=4\sqrt{3}$.
答案
解：
连接$OA$，$OB'$。
∵ 正三角形$ABC$的外接圆半径为2，
∴ $\odot O$的半径$OA=2$。
∵ $B'C'$是$\odot O$在点$A$处的切线，
∴ $OA⊥ B'C'$。
∵ $△ A'B'C'$是$\odot O$的外切正三角形，
∴ $∠ A'B'C'=60°$，
又∵ $OB'$平分$∠ A'B'C'$，
∴ $∠ OB'A=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ OAB'$中，$∠ OAB'=90°$，$OA=2$，$∠ OB'A=30°$，
∴ $OB'=2OA=4$。
由勾股定理得：
$AB'=\sqrt{OB'^2-OA^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。
同理可得$AC'=2\sqrt{3}$，
∴ $B'C'=AB'+AC'=4\sqrt{3}$。
答：外切正三角形的边长为$4\sqrt{3}$。
连接$OA$，$OB'$。
∵ 正三角形$ABC$的外接圆半径为2，
∴ $\odot O$的半径$OA=2$。
∵ $B'C'$是$\odot O$在点$A$处的切线，
∴ $OA⊥ B'C'$。
∵ $△ A'B'C'$是$\odot O$的外切正三角形，
∴ $∠ A'B'C'=60°$，
又∵ $OB'$平分$∠ A'B'C'$，
∴ $∠ OB'A=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ OAB'$中，$∠ OAB'=90°$，$OA=2$，$∠ OB'A=30°$，
∴ $OB'=2OA=4$。
由勾股定理得：
$AB'=\sqrt{OB'^2-OA^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。
同理可得$AC'=2\sqrt{3}$，
∴ $B'C'=AB'+AC'=4\sqrt{3}$。
答：外切正三角形的边长为$4\sqrt{3}$。
解析
【分析】
解题时首先明确已知条件：正△ABC的外接圆半径就是⊙O的半径，即OA=2。第一步利用切线的性质，切线垂直于过切点的半径，可得OA⊥B'C'；第二步结合外切正三角形的性质，圆心O是外切正三角形的内心，即角平分线的交点，可推出∠OB'A=30°；第三步在Rt△OAB'中，利用30°角所对直角边是斜边的一半求出OB'的长度，再用勾股定理求出AB'的长度，同理可得AC'的长度，两者相加即可得到外切正三角形的边长。
【解析】
连接$OA$，$OB'$。
∵ 正三角形$ABC$的外接圆半径为2，
∴ $\odot O$的半径$OA=2$。
∵ $B'C'$是$\odot O$在点$A$处的切线，
∴ $OA⊥ B'C'$。
∵ $△ A'B'C'$是$\odot O$的外切正三角形，
∴ $∠ A'B'C'=60°$，
又
∵ $OB'$平分$∠ A'B'C'$，
∴ $∠ OB'A=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ OAB'$中，$∠ OAB'=90°$，$OA=2$，$∠ OB'A=30°$，
∴ $OB'=2OA=4$。
由勾股定理得：
$AB'=\sqrt{OB'^2-OA^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。
同理可得$AC'=2\sqrt{3}$，
∴ $B'C'=AB'+AC'=4\sqrt{3}$。
【答案】
$4\sqrt{3}$
【知识点】
切线的性质；正多边形与圆；勾股定理
【点评】
本题综合考查正多边形与圆的相关性质、切线的性质，解题核心是利用外切正多边形的中心与顶点连线平分内角的特点构造直角三角形，结合特殊直角三角形的性质和勾股定理计算，解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确已知条件：正△ABC的外接圆半径就是⊙O的半径，即OA=2。第一步利用切线的性质，切线垂直于过切点的半径，可得OA⊥B'C'；第二步结合外切正三角形的性质，圆心O是外切正三角形的内心，即角平分线的交点，可推出∠OB'A=30°；第三步在Rt△OAB'中，利用30°角所对直角边是斜边的一半求出OB'的长度，再用勾股定理求出AB'的长度，同理可得AC'的长度，两者相加即可得到外切正三角形的边长。
【解析】
连接$OA$，$OB'$。
∵ 正三角形$ABC$的外接圆半径为2，
∴ $\odot O$的半径$OA=2$。
∵ $B'C'$是$\odot O$在点$A$处的切线，
∴ $OA⊥ B'C'$。
∵ $△ A'B'C'$是$\odot O$的外切正三角形，
∴ $∠ A'B'C'=60°$，
又
∵ $OB'$平分$∠ A'B'C'$，
∴ $∠ OB'A=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ OAB'$中，$∠ OAB'=90°$，$OA=2$，$∠ OB'A=30°$，
∴ $OB'=2OA=4$。
由勾股定理得：
$AB'=\sqrt{OB'^2-OA^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。
同理可得$AC'=2\sqrt{3}$，
∴ $B'C'=AB'+AC'=4\sqrt{3}$。
【答案】
$4\sqrt{3}$
【知识点】
切线的性质；正多边形与圆；勾股定理
【点评】
本题综合考查正多边形与圆的相关性质、切线的性质，解题核心是利用外切正多边形的中心与顶点连线平分内角的特点构造直角三角形，结合特殊直角三角形的性质和勾股定理计算，解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
1.如图，求半径为2的圆的内接正方形的边心距及边长.
2.如图，已知正六边形的内切圆半径为R，求这个正六边形的边长和面积.
2.如图，已知正六边形的内切圆半径为R，求这个正六边形的边长和面积.
答案
第1题解答：
解：过点O作$OE ⊥ BC$于点E，连接$OB$、$OC$。
∵ 四边形$ABCD$是$\odot O$的内接正方形，$\odot O$半径为2，
∴ $OB=OC=2$，中心角$∠ BOC = \frac{360°}{4}=90°$。
∵ $OE ⊥ BC$，$OB=OC$，
∴ $E$为$BC$中点，$∠ BOE = \frac{1}{2}∠ BOC=45°$。
在$\mathrm{Rt}△ OBE$中：
边心距$OE = OB · \cos45° = 2 × \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$，
$BE = OB · \sin45° = 2 × \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$，
∴ 正方形边长$BC = 2BE = 2\sqrt{2}$。
答：该圆内接正方形的边心距为$\sqrt{2}$，边长为$2\sqrt{2}$。
---
第2题解答：
解：设正六边形的边长为$a$，连接$OA$、$OB$，过点$O$作$OG ⊥ AB$于点G。
由题意得，内切圆半径$OG=R$。
∵ 正六边形的中心角$∠ AOB = \frac{360°}{6}=60°$，且$OA=OB$，
∴ $△ AOB$是等边三角形，$OA=AB=a$。
在$\mathrm{Rt}△ OAG$中，$∠ AOG = \frac{1}{2}∠ AOB=30°$，
∴ $OG = OA · \cos30°$，即$R = a · \frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得$a = \frac{2\sqrt{3}R}{3}$，即正六边形的边长为$\frac{2\sqrt{3}R}{3}$。
正六边形的面积等于6个全等的$△ AOB$的面积之和：
$S = 6 × (\frac{1}{2} × AB × OG) = 6 × (\frac{1}{2} × \frac{2\sqrt{3}R}{3} × R) = 2\sqrt{3}R^2$
答：该正六边形的边长为$\frac{2\sqrt{3}R}{3}$，面积为$2\sqrt{3}R^2$。
解：过点O作$OE ⊥ BC$于点E，连接$OB$、$OC$。
∵ 四边形$ABCD$是$\odot O$的内接正方形，$\odot O$半径为2，
∴ $OB=OC=2$，中心角$∠ BOC = \frac{360°}{4}=90°$。
∵ $OE ⊥ BC$，$OB=OC$，
∴ $E$为$BC$中点，$∠ BOE = \frac{1}{2}∠ BOC=45°$。
在$\mathrm{Rt}△ OBE$中：
边心距$OE = OB · \cos45° = 2 × \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$，
$BE = OB · \sin45° = 2 × \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$，
∴ 正方形边长$BC = 2BE = 2\sqrt{2}$。
答：该圆内接正方形的边心距为$\sqrt{2}$，边长为$2\sqrt{2}$。
---
第2题解答：
解：设正六边形的边长为$a$，连接$OA$、$OB$，过点$O$作$OG ⊥ AB$于点G。
由题意得，内切圆半径$OG=R$。
∵ 正六边形的中心角$∠ AOB = \frac{360°}{6}=60°$，且$OA=OB$，
∴ $△ AOB$是等边三角形，$OA=AB=a$。
在$\mathrm{Rt}△ OAG$中，$∠ AOG = \frac{1}{2}∠ AOB=30°$，
∴ $OG = OA · \cos30°$，即$R = a · \frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得$a = \frac{2\sqrt{3}R}{3}$，即正六边形的边长为$\frac{2\sqrt{3}R}{3}$。
正六边形的面积等于6个全等的$△ AOB$的面积之和：
$S = 6 × (\frac{1}{2} × AB × OG) = 6 × (\frac{1}{2} × \frac{2\sqrt{3}R}{3} × R) = 2\sqrt{3}R^2$
答：该正六边形的边长为$\frac{2\sqrt{3}R}{3}$，面积为$2\sqrt{3}R^2$。
解析
【分析】
这两道题均属于正多边形与圆的相关计算问题，解题核心是将正多边形问题转化为解直角三角形问题：
1. 第1题求解圆内接正方形的边心距和边长：首先作出正方形的外接圆半径、边心距，利用正方形中心角为90°的性质，得到含45°角的直角三角形，再通过三角函数计算边心距和半边长，进而求出完整边长。
2. 第2题求解已知内切圆半径的正六边形的边长和面积：正六边形的中心角为60°，因此中心与相邻两个顶点构成等边三角形，内切圆半径就是等边三角形的高，同样构造直角三角形先求出边长，再将正六边形拆分为6个全等的等边三角形计算总面积。
【解析】
第1题
解：过点O作$OE ⊥ BC$于点E，连接$OB$、$OC$。
∵ 四边形$ABCD$是$\odot O$的内接正方形，$\odot O$半径为2，
∴ $OB=OC=2$，中心角$∠ BOC = \frac{360°}{4}=90°$。
∵ $OE ⊥ BC$，$OB=OC$，
∴ $E$为$BC$中点，$∠ BOE = \frac{1}{2}∠ BOC=45°$。
在$\mathrm{Rt}△ OBE$中：
边心距$OE = OB · \cos45° = 2 × \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$，
$BE = OB · \sin45° = 2 × \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$，
∴ 正方形边长$BC = 2BE = 2\sqrt{2}$。
第2题
解：设正六边形的边长为$a$，连接$OA$、$OB$，过点$O$作$OG ⊥ AB$于点G。
由题意得，内切圆半径$OG=R$。
∵ 正六边形的中心角$∠ AOB = \frac{360°}{6}=60°$，且$OA=OB$，
∴ $△ AOB$是等边三角形，$OA=AB=a$。
在$\mathrm{Rt}△ OAG$中，$∠ AOG = \frac{1}{2}∠ AOB=30°$，
∴ $OG = OA · \cos30°$，即$R = a · \frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得$a = \frac{2\sqrt{3}R}{3}$，即正六边形的边长为$\frac{2\sqrt{3}R}{3}$。
正六边形的面积等于6个全等的$△ AOB$的面积之和：
$S = 6 × (\frac{1}{2} × AB × OG) = 6 × (\frac{1}{2} × \frac{2\sqrt{3}R}{3} × R) = 2\sqrt{3}R^2$
【答案】
1. 边心距为$\sqrt{2}$，边长为$2\sqrt{2}$；
2. 边长为$\frac{2\sqrt{3}R}{3}$，面积为$2\sqrt{3}R^2$。
【知识点】
正多边形与圆的性质，解直角三角形，正多边形面积计算
【点评】
这两道题是正多边形与圆的典型基础题型，核心解题方法是通过作正多边形的半径、边心距，将多边形计算转化为熟悉的直角三角形求解，熟练掌握正多边形中心角、边心距、外接圆半径的对应关系，可快速解决这类问题。
【难度系数】
0.7
这两道题均属于正多边形与圆的相关计算问题，解题核心是将正多边形问题转化为解直角三角形问题：
1. 第1题求解圆内接正方形的边心距和边长：首先作出正方形的外接圆半径、边心距，利用正方形中心角为90°的性质，得到含45°角的直角三角形，再通过三角函数计算边心距和半边长，进而求出完整边长。
2. 第2题求解已知内切圆半径的正六边形的边长和面积：正六边形的中心角为60°，因此中心与相邻两个顶点构成等边三角形，内切圆半径就是等边三角形的高，同样构造直角三角形先求出边长，再将正六边形拆分为6个全等的等边三角形计算总面积。
【解析】
第1题
解：过点O作$OE ⊥ BC$于点E，连接$OB$、$OC$。
∵ 四边形$ABCD$是$\odot O$的内接正方形，$\odot O$半径为2，
∴ $OB=OC=2$，中心角$∠ BOC = \frac{360°}{4}=90°$。
∵ $OE ⊥ BC$，$OB=OC$，
∴ $E$为$BC$中点，$∠ BOE = \frac{1}{2}∠ BOC=45°$。
在$\mathrm{Rt}△ OBE$中：
边心距$OE = OB · \cos45° = 2 × \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$，
$BE = OB · \sin45° = 2 × \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$，
∴ 正方形边长$BC = 2BE = 2\sqrt{2}$。
第2题
解：设正六边形的边长为$a$，连接$OA$、$OB$，过点$O$作$OG ⊥ AB$于点G。
由题意得，内切圆半径$OG=R$。
∵ 正六边形的中心角$∠ AOB = \frac{360°}{6}=60°$，且$OA=OB$，
∴ $△ AOB$是等边三角形，$OA=AB=a$。
在$\mathrm{Rt}△ OAG$中，$∠ AOG = \frac{1}{2}∠ AOB=30°$，
∴ $OG = OA · \cos30°$，即$R = a · \frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得$a = \frac{2\sqrt{3}R}{3}$，即正六边形的边长为$\frac{2\sqrt{3}R}{3}$。
正六边形的面积等于6个全等的$△ AOB$的面积之和：
$S = 6 × (\frac{1}{2} × AB × OG) = 6 × (\frac{1}{2} × \frac{2\sqrt{3}R}{3} × R) = 2\sqrt{3}R^2$
【答案】
1. 边心距为$\sqrt{2}$，边长为$2\sqrt{2}$；
2. 边长为$\frac{2\sqrt{3}R}{3}$，面积为$2\sqrt{3}R^2$。
【知识点】
正多边形与圆的性质，解直角三角形，正多边形面积计算
【点评】
这两道题是正多边形与圆的典型基础题型，核心解题方法是通过作正多边形的半径、边心距，将多边形计算转化为熟悉的直角三角形求解，熟练掌握正多边形中心角、边心距、外接圆半径的对应关系，可快速解决这类问题。
【难度系数】
0.7
