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10.如图,求中心点为原点,顶点A,D在x轴上,半径为2 cm的正六边形ABCDEF的各顶点的坐标.
答案
解：
连接OB, OC, OE, OF，
∵ 正六边形的中心角为 $\frac{360°}{6}=60°$，外接圆半径为2 cm，
∴ $OA=OB=OC=OD=OE=OF=2\ \mathrm{cm}$。
∵ 顶点A,D在x轴上，
∴ $A(-2,\ 0)$，$D(2,\ 0)$。
过点F作$FG⊥ x$轴于点G，
在$\mathrm{Rt}△ OFG$中，$∠ FOG=60°$，$OF=2\ \mathrm{cm}$，
∴ $OG = OF·\cos60° = 2×\frac{1}{2} = 1\ \mathrm{cm}$，
$FG = OF·\sin60° = 2×\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
∵ 点F在第二象限，
∴ $F(-1,\ \sqrt{3})$。
由正六边形的对称性可知：
点E与点F关于y轴对称，得$E(1,\ \sqrt{3})$；
点B与点F关于x轴对称，得$B(-1,\ -\sqrt{3})$；
点C与点E关于x轴对称，得$C(1,\ -\sqrt{3})$。
综上，正六边形各顶点坐标为：
$A(-2,\ 0)$，$B(-1,\ -\sqrt{3})$，$C(1,\ -\sqrt{3})$，$D(2,\ 0)$，$E(1,\ \sqrt{3})$，$F(-1,\ \sqrt{3})$。
连接OB, OC, OE, OF，
∵ 正六边形的中心角为 $\frac{360°}{6}=60°$，外接圆半径为2 cm，
∴ $OA=OB=OC=OD=OE=OF=2\ \mathrm{cm}$。
∵ 顶点A,D在x轴上，
∴ $A(-2,\ 0)$，$D(2,\ 0)$。
过点F作$FG⊥ x$轴于点G，
在$\mathrm{Rt}△ OFG$中，$∠ FOG=60°$，$OF=2\ \mathrm{cm}$，
∴ $OG = OF·\cos60° = 2×\frac{1}{2} = 1\ \mathrm{cm}$，
$FG = OF·\sin60° = 2×\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
∵ 点F在第二象限，
∴ $F(-1,\ \sqrt{3})$。
由正六边形的对称性可知：
点E与点F关于y轴对称，得$E(1,\ \sqrt{3})$；
点B与点F关于x轴对称，得$B(-1,\ -\sqrt{3})$；
点C与点E关于x轴对称，得$C(1,\ -\sqrt{3})$。
综上，正六边形各顶点坐标为：
$A(-2,\ 0)$，$B(-1,\ -\sqrt{3})$，$C(1,\ -\sqrt{3})$，$D(2,\ 0)$，$E(1,\ \sqrt{3})$，$F(-1,\ \sqrt{3})$。
解析
【分析】
要解决本题，首先利用正六边形的基本性质：正六边形的中心角为60°，外接圆半径与边长相等。首先可直接确定位于x轴上的A、D两点坐标；再选取其中一个非坐标轴上的点（如点F），通过作x轴的垂线构造直角三角形，借助锐角三角函数计算出该点的横纵坐标；最后结合正六边形关于x轴、y轴对称的性质，推导得出其余顶点的坐标即可。
【解析】
连接OB, OC, OE, OF，
∵ 正六边形的中心角为 $\frac{360°}{6}=60°$，外接圆半径为2 cm，
∴ $OA=OB=OC=OD=OE=OF=2\ \mathrm{cm}$。
∵ 顶点A,D在x轴上，
∴ $A(-2,\ 0)$，$D(2,\ 0)$。
过点F作$FG⊥ x$轴于点G，
在$\mathrm{Rt}△ OFG$中，$∠ FOG=60°$，$OF=2\ \mathrm{cm}$，
∴ $OG = OF·\cos60° = 2×\frac{1}{2} = 1\ \mathrm{cm}$，
$FG = OF·\sin60° = 2×\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
∵ 点F在第二象限，
∴ $F(-1,\ \sqrt{3})$。
由正六边形的对称性可知：
点E与点F关于y轴对称，得$E(1,\ \sqrt{3})$；
点B与点F关于x轴对称，得$B(-1,\ -\sqrt{3})$；
点C与点E关于x轴对称，得$C(1,\ -\sqrt{3})$。
【答案】
$A(-2,0)$，$B(-1,-\sqrt{3})$，$C(1,-\sqrt{3})$，$D(2,0)$，$E(1,\sqrt{3})$，$F(-1,\sqrt{3})$
【知识点】
正六边形的性质，解直角三角形，坐标的对称性
【点评】
本题结合了正多边形性质、解直角三角形与平面直角坐标系的知识，利用图形对称性可大幅简化计算过程，解题时需注意不同象限内点的坐标符号特征，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先利用正六边形的基本性质：正六边形的中心角为60°，外接圆半径与边长相等。首先可直接确定位于x轴上的A、D两点坐标；再选取其中一个非坐标轴上的点（如点F），通过作x轴的垂线构造直角三角形，借助锐角三角函数计算出该点的横纵坐标；最后结合正六边形关于x轴、y轴对称的性质，推导得出其余顶点的坐标即可。
【解析】
连接OB, OC, OE, OF，
∵ 正六边形的中心角为 $\frac{360°}{6}=60°$，外接圆半径为2 cm，
∴ $OA=OB=OC=OD=OE=OF=2\ \mathrm{cm}$。
∵ 顶点A,D在x轴上，
∴ $A(-2,\ 0)$，$D(2,\ 0)$。
过点F作$FG⊥ x$轴于点G，
在$\mathrm{Rt}△ OFG$中，$∠ FOG=60°$，$OF=2\ \mathrm{cm}$，
∴ $OG = OF·\cos60° = 2×\frac{1}{2} = 1\ \mathrm{cm}$，
$FG = OF·\sin60° = 2×\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
∵ 点F在第二象限，
∴ $F(-1,\ \sqrt{3})$。
由正六边形的对称性可知：
点E与点F关于y轴对称，得$E(1,\ \sqrt{3})$；
点B与点F关于x轴对称，得$B(-1,\ -\sqrt{3})$；
点C与点E关于x轴对称，得$C(1,\ -\sqrt{3})$。
【答案】
$A(-2,0)$，$B(-1,-\sqrt{3})$，$C(1,-\sqrt{3})$，$D(2,0)$，$E(1,\sqrt{3})$，$F(-1,\sqrt{3})$
【知识点】
正六边形的性质，解直角三角形，坐标的对称性
【点评】
本题结合了正多边形性质、解直角三角形与平面直角坐标系的知识，利用图形对称性可大幅简化计算过程，解题时需注意不同象限内点的坐标符号特征，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
11.如图，正方形ABCD的外接圆为$\odot O$，点P在劣弧$\overset{\frown}{CD}$上（不与点C重合）。
(1)求$∠ BPC$的度数；
(2)若$\odot O$的半径为8，求正方形ABCD的边长。
(1)求$∠ BPC$的度数；
(2)若$\odot O$的半径为8，求正方形ABCD的边长。
答案
解：
(1) 连接OB，OC。
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接正方形，
∴ 正四边形的中心角∠BOC = $\frac{360°}{4}$ = 90°，
由圆周角定理得：$∠ BPC = \frac{1}{2}∠ BOC = 45°$。
(2) 在△BOC中，OB=OC=8，∠BOC=90°，
由勾股定理得：
$BC = \sqrt{OB^2 + OC^2} = \sqrt{8^2 + 8^2} = 8\sqrt{2}$，
即正方形ABCD的边长为$8\sqrt{2}$。
(1) 连接OB，OC。
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接正方形，
∴ 正四边形的中心角∠BOC = $\frac{360°}{4}$ = 90°，
由圆周角定理得：$∠ BPC = \frac{1}{2}∠ BOC = 45°$。
(2) 在△BOC中，OB=OC=8，∠BOC=90°，
由勾股定理得：
$BC = \sqrt{OB^2 + OC^2} = \sqrt{8^2 + 8^2} = 8\sqrt{2}$，
即正方形ABCD的边长为$8\sqrt{2}$。
解析
【分析】
(1) 要求∠BPC的度数，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，因此先连接OB、OC，先求出弧BC对应的圆心角∠BOC的度数。由于ABCD是圆内接正方形，正多边形的中心角等于360°除以边数，算出∠BOC后除以2即可得到∠BPC的度数。
(2) 求正方形的边长时，△BOC中OB、OC均为外接圆半径，长度已知，且∠BOC=90°，△BOC是等腰直角三角形，直接用勾股定理计算斜边BC的长度，即为正方形的边长。
【解析】
(1) 连接OB，OC。
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接正方形，
∴ 正四边形的中心角$∠ BOC=\frac{360°}{4}=90°$，
由圆周角定理得：$∠ BPC=\frac{1}{2}∠ BOC=45°$。
(2) 在$△ BOC$中，$OB=OC=8$，$∠ BOC=90°$，
由勾股定理得：
$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{8^2+8^2}=8\sqrt{2}$，
即正方形ABCD的边长为$8\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{45°}$；(2) $\boldsymbol{8\sqrt{2}}$
【知识点】
圆周角定理，正多边形与圆，勾股定理
【点评】
本题是正多边形与圆结合的基础题型，解题核心是掌握正多边形中心角的计算方法，结合圆周角定理和勾股定理即可快速求解，属于常规基础练习题。
【难度系数】
0.8
(1) 要求∠BPC的度数，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，因此先连接OB、OC，先求出弧BC对应的圆心角∠BOC的度数。由于ABCD是圆内接正方形，正多边形的中心角等于360°除以边数，算出∠BOC后除以2即可得到∠BPC的度数。
(2) 求正方形的边长时，△BOC中OB、OC均为外接圆半径，长度已知，且∠BOC=90°，△BOC是等腰直角三角形，直接用勾股定理计算斜边BC的长度，即为正方形的边长。
【解析】
(1) 连接OB，OC。
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接正方形，
∴ 正四边形的中心角$∠ BOC=\frac{360°}{4}=90°$，
由圆周角定理得：$∠ BPC=\frac{1}{2}∠ BOC=45°$。
(2) 在$△ BOC$中，$OB=OC=8$，$∠ BOC=90°$，
由勾股定理得：
$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{8^2+8^2}=8\sqrt{2}$，
即正方形ABCD的边长为$8\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{45°}$；(2) $\boldsymbol{8\sqrt{2}}$
【知识点】
圆周角定理，正多边形与圆，勾股定理
【点评】
本题是正多边形与圆结合的基础题型，解题核心是掌握正多边形中心角的计算方法，结合圆周角定理和勾股定理即可快速求解，属于常规基础练习题。
【难度系数】
0.8
12.如图,外接圆半径相等的正三角形和正六边形的边长之比为多少? 
第12题图
第12题图答案
解：设正三角形和正六边形的外接圆半径为$R$。
正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，外接圆的两条相邻半径与正六边形的对应边构成等边三角形，因此正六边形的边长等于外接圆半径，即正六边形边长$a_6=R$。
正三角形的中心角为$\frac{360°}{3}=120°$，过圆心作正三角形任意一边的垂线，由垂径定理和等腰三角形性质，将该边分为相等的两段，在所得直角三角形中，外接圆半径$R$为斜边，半边长为$R·\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}R$，因此正三角形的边长$a_3=2×\frac{\sqrt{3}}{2}R=\sqrt{3}R$。
则正三角形和正六边形的边长之比为$a_3:a_6=\sqrt{3}R:R=\sqrt{3}:1$。
答：外接圆半径相等的正三角形和正六边形的边长之比为$\sqrt{3}:1$。
正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，外接圆的两条相邻半径与正六边形的对应边构成等边三角形，因此正六边形的边长等于外接圆半径，即正六边形边长$a_6=R$。
正三角形的中心角为$\frac{360°}{3}=120°$，过圆心作正三角形任意一边的垂线，由垂径定理和等腰三角形性质，将该边分为相等的两段，在所得直角三角形中，外接圆半径$R$为斜边，半边长为$R·\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}R$，因此正三角形的边长$a_3=2×\frac{\sqrt{3}}{2}R=\sqrt{3}R$。
则正三角形和正六边形的边长之比为$a_3:a_6=\sqrt{3}R:R=\sqrt{3}:1$。
答：外接圆半径相等的正三角形和正六边形的边长之比为$\sqrt{3}:1$。
解析
【分析】
题目要求外接圆半径相等的正三角形与正六边形的边长比，解题思路如下：首先设两者公共的外接圆半径为R，分别推导两种正多边形的边长和R的关系，再作比得到结果。第一步先回忆正n边形中心角计算公式为$\frac{360°}{n}$，正六边形中心角为60°，相邻两条外接圆半径和对应边可构成等边三角形，因此边长等于半径；第二步正三角形中心角为120°，过圆心作边的垂线，结合垂径定理，在直角三角形中用三角函数求出半边长，再得到完整边长；最后计算两者的比值即可。
【解析】
设正三角形和正六边形的外接圆半径均为$R$。
1. 求正六边形的边长：正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，外接圆的两条相邻半径与正六边形的对应边构成等边三角形，因此正六边形的边长等于外接圆半径，即$a_6=R$。
2. 求正三角形的边长：正三角形的中心角为$\frac{360°}{3}=120°$，过圆心作正三角形任意一边的垂线，由垂径定理和等腰三角形性质，可将该边分为相等的两段，在得到的直角三角形中，外接圆半径$R$为斜边，半边长为$R·\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}R$，因此正三角形的边长$a_3=2×\frac{\sqrt{3}}{2}R=\sqrt{3}R$。
3. 计算边长比：$a_3:a_6=\sqrt{3}R:R=\sqrt{3}:1$。
【答案】
$\sqrt{3}:1$
【知识点】
正多边形与圆，垂径定理，锐角三角函数
【点评】
本题考察正多边形外接圆半径与边长的关系，解题关键是利用正多边形的中心角特征，结合垂径定理和三角函数将边长用外接圆半径表示，是正多边形相关的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
题目要求外接圆半径相等的正三角形与正六边形的边长比，解题思路如下：首先设两者公共的外接圆半径为R，分别推导两种正多边形的边长和R的关系，再作比得到结果。第一步先回忆正n边形中心角计算公式为$\frac{360°}{n}$，正六边形中心角为60°，相邻两条外接圆半径和对应边可构成等边三角形，因此边长等于半径；第二步正三角形中心角为120°，过圆心作边的垂线，结合垂径定理，在直角三角形中用三角函数求出半边长，再得到完整边长；最后计算两者的比值即可。
【解析】
设正三角形和正六边形的外接圆半径均为$R$。
1. 求正六边形的边长：正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，外接圆的两条相邻半径与正六边形的对应边构成等边三角形，因此正六边形的边长等于外接圆半径，即$a_6=R$。
2. 求正三角形的边长：正三角形的中心角为$\frac{360°}{3}=120°$，过圆心作正三角形任意一边的垂线，由垂径定理和等腰三角形性质，可将该边分为相等的两段，在得到的直角三角形中，外接圆半径$R$为斜边，半边长为$R·\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}R$，因此正三角形的边长$a_3=2×\frac{\sqrt{3}}{2}R=\sqrt{3}R$。
3. 计算边长比：$a_3:a_6=\sqrt{3}R:R=\sqrt{3}:1$。
【答案】
$\sqrt{3}:1$
【知识点】
正多边形与圆，垂径定理，锐角三角函数
【点评】
本题考察正多边形外接圆半径与边长的关系，解题关键是利用正多边形的中心角特征，结合垂径定理和三角函数将边长用外接圆半径表示，是正多边形相关的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
13. 如图,在$△ AFG$中,$AF=AG$,$∠ FAG=108°$,点$C$,$D$在$FG$上,且$CF=CA$,$DG=DA$,过点$A$,$C$,$D$的圆分别交$AF$,$AG$于点$B$,$E$.求证:五边形$ABCDE$是正五边形.
答案
证明：
∵ $AF=AG$，$∠ FAG=108°$，
∴ $∠ F=∠ G=\frac{1}{2}×(180°-108°)=36°$。
∵ $CF=CA$，$DG=DA$，
∴ $∠ CAF=∠ F=36°$，$∠ DAG=∠ G=36°$。
∴ $∠ ACD=∠ F+∠ CAF=72°$，$∠ ADC=∠ G+∠ DAG=72°$，
$∠ CAD=∠ FAG-∠ CAF-∠ DAG=108°-36°-36°=36°$。
∵ 点$A,B,C,D,E$在同一个圆上，
$∠ BAC=∠ CAF=36°$是圆周角，其所对的弧为$\overset{\frown}{BC}$，
∴ $\overset{\frown}{BC}$的度数为$2×36°=72°$。
同理，$∠ DAE=∠ DAG=36°$，其所对的弧为$\overset{\frown}{DE}$，可得$\overset{\frown}{DE}$的度数为$72°$；
$∠ CAD=36°$，其所对的弧为$\overset{\frown}{CD}$，可得$\overset{\frown}{CD}$的度数为$72°$。
∵ $∠ ADC=72°$，其所对的弧为$\overset{\frown}{AC}$，
∴ $\overset{\frown}{AC}$的度数为$2×72°=144°$，
又∵ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BC}$，
∴ $\overset{\frown}{AB}=144°-72°=72°$。
同理，$∠ ACD=72°$，其所对的弧为$\overset{\frown}{AD}$，可得$\overset{\frown}{AD}$的度数为$144°$，
又∵ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AE}+\overset{\frown}{DE}$，
∴ $\overset{\frown}{AE}=144°-72°=72°$。
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{EA}$，
即点$A,B,C,D,E$是该圆的五等分点，
∴ 五边形$ABCDE$是正五边形。
∵ $AF=AG$，$∠ FAG=108°$，
∴ $∠ F=∠ G=\frac{1}{2}×(180°-108°)=36°$。
∵ $CF=CA$，$DG=DA$，
∴ $∠ CAF=∠ F=36°$，$∠ DAG=∠ G=36°$。
∴ $∠ ACD=∠ F+∠ CAF=72°$，$∠ ADC=∠ G+∠ DAG=72°$，
$∠ CAD=∠ FAG-∠ CAF-∠ DAG=108°-36°-36°=36°$。
∵ 点$A,B,C,D,E$在同一个圆上，
$∠ BAC=∠ CAF=36°$是圆周角，其所对的弧为$\overset{\frown}{BC}$，
∴ $\overset{\frown}{BC}$的度数为$2×36°=72°$。
同理，$∠ DAE=∠ DAG=36°$，其所对的弧为$\overset{\frown}{DE}$，可得$\overset{\frown}{DE}$的度数为$72°$；
$∠ CAD=36°$，其所对的弧为$\overset{\frown}{CD}$，可得$\overset{\frown}{CD}$的度数为$72°$。
∵ $∠ ADC=72°$，其所对的弧为$\overset{\frown}{AC}$，
∴ $\overset{\frown}{AC}$的度数为$2×72°=144°$，
又∵ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BC}$，
∴ $\overset{\frown}{AB}=144°-72°=72°$。
同理，$∠ ACD=72°$，其所对的弧为$\overset{\frown}{AD}$，可得$\overset{\frown}{AD}$的度数为$144°$，
又∵ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AE}+\overset{\frown}{DE}$，
∴ $\overset{\frown}{AE}=144°-72°=72°$。
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{EA}$，
即点$A,B,C,D,E$是该圆的五等分点，
∴ 五边形$ABCDE$是正五边形。
解析
【分析】
要证明五边形$ABCDE$是正五边形，根据正多边形与圆的关系，只需证明$A,B,C,D,E$是外接圆的五等分点，即五段对应弧的度数相等。解题时先从等腰$△ AFG$的已知条件入手计算底角度数，再结合等腰$△ ACF$、$△ ADG$的性质推导出各相关圆周角的度数，最后利用圆周角定理计算各段弧的度数，验证五段弧度数相等即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ $AF=AG$，$∠ FAG=108°$，
∴ $∠ F=∠ G=\frac{1}{2}×(180°-108°)=36°$。
∵ $CF=CA$，$DG=DA$，
∴ $∠ CAF=∠ F=36°$，$∠ DAG=∠ G=36°$。
∴ $∠ ACD=∠ F+∠ CAF=72°$，$∠ ADC=∠ G+∠ DAG=72°$，
$∠ CAD=∠ FAG-∠ CAF-∠ DAG=108°-36°-36°=36°$。
∵ 点$A,B,C,D,E$在同一个圆上，
$∠ BAC=∠ CAF=36°$是圆周角，其所对的弧为$\overset{\frown}{BC}$，
∴ $\overset{\frown}{BC}$的度数为$2×36°=72°$。
同理，$∠ DAE=∠ DAG=36°$，其所对的弧为$\overset{\frown}{DE}$，可得$\overset{\frown}{DE}$的度数为$72°$；
$∠ CAD=36°$，其所对的弧为$\overset{\frown}{CD}$，可得$\overset{\frown}{CD}$的度数为$72°$。
∵ $∠ ADC=72°$，其所对的弧为$\overset{\frown}{AC}$，
∴ $\overset{\frown}{AC}$的度数为$2×72°=144°$，
又
∵ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BC}$，
∴ $\overset{\frown}{AB}=144°-72°=72°$。
同理，$∠ ACD=72°$，其所对的弧为$\overset{\frown}{AD}$，可得$\overset{\frown}{AD}$的度数为$144°$，
又
∵ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AE}+\overset{\frown}{DE}$，
∴ $\overset{\frown}{AE}=144°-72°=72°$。
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{EA}$，
即点$A,B,C,D,E$是该圆的五等分点，
∴ 五边形$ABCDE$是正五边形。
【答案】
五边形$ABCDE$是正五边形
【知识点】
等腰三角形的性质、圆周角定理、正多边形的判定
【点评】
本题综合了三角形角度计算和圆的相关性质，解题核心是通过推导弧相等证明正多边形，需要熟练掌握圆周角和弧的对应关系，对逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
要证明五边形$ABCDE$是正五边形，根据正多边形与圆的关系，只需证明$A,B,C,D,E$是外接圆的五等分点，即五段对应弧的度数相等。解题时先从等腰$△ AFG$的已知条件入手计算底角度数，再结合等腰$△ ACF$、$△ ADG$的性质推导出各相关圆周角的度数，最后利用圆周角定理计算各段弧的度数，验证五段弧度数相等即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ $AF=AG$，$∠ FAG=108°$，
∴ $∠ F=∠ G=\frac{1}{2}×(180°-108°)=36°$。
∵ $CF=CA$，$DG=DA$，
∴ $∠ CAF=∠ F=36°$，$∠ DAG=∠ G=36°$。
∴ $∠ ACD=∠ F+∠ CAF=72°$，$∠ ADC=∠ G+∠ DAG=72°$，
$∠ CAD=∠ FAG-∠ CAF-∠ DAG=108°-36°-36°=36°$。
∵ 点$A,B,C,D,E$在同一个圆上，
$∠ BAC=∠ CAF=36°$是圆周角，其所对的弧为$\overset{\frown}{BC}$，
∴ $\overset{\frown}{BC}$的度数为$2×36°=72°$。
同理，$∠ DAE=∠ DAG=36°$，其所对的弧为$\overset{\frown}{DE}$，可得$\overset{\frown}{DE}$的度数为$72°$；
$∠ CAD=36°$，其所对的弧为$\overset{\frown}{CD}$，可得$\overset{\frown}{CD}$的度数为$72°$。
∵ $∠ ADC=72°$，其所对的弧为$\overset{\frown}{AC}$，
∴ $\overset{\frown}{AC}$的度数为$2×72°=144°$，
又
∵ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BC}$，
∴ $\overset{\frown}{AB}=144°-72°=72°$。
同理，$∠ ACD=72°$，其所对的弧为$\overset{\frown}{AD}$，可得$\overset{\frown}{AD}$的度数为$144°$，
又
∵ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AE}+\overset{\frown}{DE}$，
∴ $\overset{\frown}{AE}=144°-72°=72°$。
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{EA}$，
即点$A,B,C,D,E$是该圆的五等分点，
∴ 五边形$ABCDE$是正五边形。
【答案】
五边形$ABCDE$是正五边形
【知识点】
等腰三角形的性质、圆周角定理、正多边形的判定
【点评】
本题综合了三角形角度计算和圆的相关性质，解题核心是通过推导弧相等证明正多边形，需要熟练掌握圆周角和弧的对应关系，对逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
