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例1 在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑白两种颜色的球共100只，某学习小组做摸球试验，每摸一球，即把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据。
(1)请估计:当$n$很大时,摸到白球的频率将会接近多少?
(2)试估算口袋中黑白两种颜色的球各有多少只.
【思路导析】用频率去估计概率，$P(\mathrm{白})=0.6$，$P(\mathrm{黑})=0.4$.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
(1)请估计:当$n$很大时,摸到白球的频率将会接近多少?
(2)试估算口袋中黑白两种颜色的球各有多少只.
【思路导析】用频率去估计概率，$P(\mathrm{白})=0.6$，$P(\mathrm{黑})=0.4$.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
答案
解：
(1) 观察表格中的频率数据，随着摸球次数不断增大，摸到白球的频率逐渐稳定在0.6附近，因此当$n$很大时，摸到白球的频率将会接近0.6。
(2) 由频率估计概率，可得摸到白球的概率约为0.6，摸到黑球的概率约为$1-0.6=0.4$。
口袋中白球的数量约为：$100×0.6=60$（只）
口袋中黑球的数量约为：$100×0.4=40$（只）
答：估算口袋中白球有60只，黑球有40只。
(1) 观察表格中的频率数据，随着摸球次数不断增大，摸到白球的频率逐渐稳定在0.6附近，因此当$n$很大时，摸到白球的频率将会接近0.6。
(2) 由频率估计概率，可得摸到白球的概率约为0.6，摸到黑球的概率约为$1-0.6=0.4$。
口袋中白球的数量约为：$100×0.6=60$（只）
口袋中黑球的数量约为：$100×0.4=40$（只）
答：估算口袋中白球有60只，黑球有40只。
解析
【分析】
（1）解决第一问需用到频率的稳定性规律：当大量重复试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是事件的概率。因此只需观察表格中摸到白球的频率随摸球次数增大的变化趋势，找到其稳定趋近的数值即可。
（2）解决第二问要先通过第一问的结论，用稳定的频率估计摸到白球、黑球的概率，再根据“对应类别数量=总数量×该类别发生的概率”，分别计算白球和黑球的数量。
【解析】
(1) 观察表格中的频率数据：随着摸球次数$n$不断增大，摸到白球的频率依次为0.58、0.64、0.58、0.59、0.605、0.601，逐渐稳定在0.6附近，因此当$n$很大时，摸到白球的频率将会接近0.6。
(2) 由频率估计概率可得，摸到白球的概率约为0.6，因此摸到黑球的概率约为$1-0.6=0.4$。
已知口袋中球的总数量为100只：
白球数量约为：$100×0.6=60$（只）
黑球数量约为：$100×0.4=40$（只）
【答案】
(1) 0.6；(2) 白球60只，黑球40只
【知识点】
用频率估计概率，概率的实际应用
【点评】
本题是概率应用的基础题型，解题的核心是掌握频率的稳定性特征：试验次数足够多时，事件发生的频率可近似代替其概率，再结合概率的基础计算即可求解。
【难度系数】
0.85
（1）解决第一问需用到频率的稳定性规律：当大量重复试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是事件的概率。因此只需观察表格中摸到白球的频率随摸球次数增大的变化趋势，找到其稳定趋近的数值即可。
（2）解决第二问要先通过第一问的结论，用稳定的频率估计摸到白球、黑球的概率，再根据“对应类别数量=总数量×该类别发生的概率”，分别计算白球和黑球的数量。
【解析】
(1) 观察表格中的频率数据：随着摸球次数$n$不断增大，摸到白球的频率依次为0.58、0.64、0.58、0.59、0.605、0.601，逐渐稳定在0.6附近，因此当$n$很大时，摸到白球的频率将会接近0.6。
(2) 由频率估计概率可得，摸到白球的概率约为0.6，因此摸到黑球的概率约为$1-0.6=0.4$。
已知口袋中球的总数量为100只：
白球数量约为：$100×0.6=60$（只）
黑球数量约为：$100×0.4=40$（只）
【答案】
(1) 0.6；(2) 白球60只，黑球40只
【知识点】
用频率估计概率，概率的实际应用
【点评】
本题是概率应用的基础题型，解题的核心是掌握频率的稳定性特征：试验次数足够多时，事件发生的频率可近似代替其概率，再结合概率的基础计算即可求解。
【难度系数】
0.85
例2 某水果公司以1.5元/千克的成本新进了20 000千克雪梨，销售人员首先从所有的雪梨中随机地抽取若干雪梨，进行了“雪梨损坏率”统计，并把获得的数据记录在表中。
(1)请你完成此表；
(2)如果公司希望这些雪梨能获得税前利润10 000元.那么在出售雪梨(已去掉损坏的雪梨)时,每千克大约定价为多少元比较合适?
【探究点拨】(1)运用$\frac{m}{n}$计算;(2)运用频率估计概率,利润=(售价-进价)×完好雪梨的质量.
【规范解答】(1)结果为(从上至下):0.101,0.097,0.097,0.103,0.101,0.098,0.099,0.103.
(2)从表中可以看出,雪梨损坏的频率在常数0.1左右摆动,并且随统计量的增加这种规律逐渐明显,那么可以把雪梨损坏的概率估计为这个常数,即雪梨损坏的概率为0.1,则相应完好的雪梨的概率为0.9.
在20 000千克雪梨中完好雪梨的质量为$20000×0.9=18000$(千克),
完好雪梨的实际成本为
$\frac{1.5×20000}{18000}=\frac{5}{3}\approx1.67$(元/千克).
设每千克雪梨的售价为$x$元,则有
$(x-1.67)×18000=10000$,
解得$x≈2.23$.
因此,出售雪梨时每千克大约定价为2.23元,可获税前利润10 000元.
(1)请你完成此表；
(2)如果公司希望这些雪梨能获得税前利润10 000元.那么在出售雪梨(已去掉损坏的雪梨)时,每千克大约定价为多少元比较合适?
【探究点拨】(1)运用$\frac{m}{n}$计算;(2)运用频率估计概率,利润=(售价-进价)×完好雪梨的质量.
【规范解答】(1)结果为(从上至下):0.101,0.097,0.097,0.103,0.101,0.098,0.099,0.103.
(2)从表中可以看出,雪梨损坏的频率在常数0.1左右摆动,并且随统计量的增加这种规律逐渐明显,那么可以把雪梨损坏的概率估计为这个常数,即雪梨损坏的概率为0.1,则相应完好的雪梨的概率为0.9.
在20 000千克雪梨中完好雪梨的质量为$20000×0.9=18000$(千克),
完好雪梨的实际成本为
$\frac{1.5×20000}{18000}=\frac{5}{3}\approx1.67$(元/千克).
设每千克雪梨的售价为$x$元,则有
$(x-1.67)×18000=10000$,
解得$x≈2.23$.
因此,出售雪梨时每千克大约定价为2.23元,可获税前利润10 000元.
答案
解：
(1) 依次计算各组雪梨损坏的频率：
$\frac{30.30}{300}=0.101$，
$\frac{38.84}{400}=0.097$，
$\frac{48.50}{500}=0.097$，
$\frac{61.86}{600}=0.103$，
$\frac{70.64}{700}=0.101$，
$\frac{78.48}{800}=0.098$，
$\frac{89.14}{900}=0.099$，
$\frac{103.08}{1000}=0.103$，
所以表格从上至下依次填入的频率为：0.101，0.097，0.097，0.103，0.101，0.098，0.099，0.103。
(2) 从表中数据可以看出，雪梨损坏的频率在常数0.1附近摆动，且随着统计总量增加规律逐渐明显，因此估计雪梨损坏的概率为0.1，完好雪梨的概率为$1-0.1=0.9$。
20000千克雪梨中完好雪梨的质量为：
$20000×0.9=18000$（千克）
完好雪梨的实际总成本为$1.5×20000=30000$元，因此完好雪梨每千克的实际成本为：
$\frac{30000}{18000}=\frac{5}{3}\approx1.67$（元/千克）
设每千克雪梨的售价为$x$元，根据题意列方程：
$(x-1.67)×18000=10000$
解得$x\approx2.23$。
答：出售去掉损坏的雪梨时，每千克大约定价为2.23元比较合适。
(1) 依次计算各组雪梨损坏的频率：
$\frac{30.30}{300}=0.101$，
$\frac{38.84}{400}=0.097$，
$\frac{48.50}{500}=0.097$，
$\frac{61.86}{600}=0.103$，
$\frac{70.64}{700}=0.101$，
$\frac{78.48}{800}=0.098$，
$\frac{89.14}{900}=0.099$，
$\frac{103.08}{1000}=0.103$，
所以表格从上至下依次填入的频率为：0.101，0.097，0.097，0.103，0.101，0.098，0.099，0.103。
(2) 从表中数据可以看出，雪梨损坏的频率在常数0.1附近摆动，且随着统计总量增加规律逐渐明显，因此估计雪梨损坏的概率为0.1，完好雪梨的概率为$1-0.1=0.9$。
20000千克雪梨中完好雪梨的质量为：
$20000×0.9=18000$（千克）
完好雪梨的实际总成本为$1.5×20000=30000$元，因此完好雪梨每千克的实际成本为：
$\frac{30000}{18000}=\frac{5}{3}\approx1.67$（元/千克）
设每千克雪梨的售价为$x$元，根据题意列方程：
$(x-1.67)×18000=10000$
解得$x\approx2.23$。
答：出售去掉损坏的雪梨时，每千克大约定价为2.23元比较合适。
解析
【分析】
(1) 第一问求雪梨损坏的频率，根据频率的定义，频率等于损坏雪梨质量m除以雪梨总质量n，将表格中每组对应的m、n代入公式计算即可补全表格。
(2) 第二问求解合适的售价，首先根据频率估计概率的知识：当试验次数足够多时，频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是事件发生的概率，由此可估计雪梨损坏的概率，进而得到完好雪梨的概率，算出20000千克雪梨中完好雪梨的质量；再计算所有雪梨的总成本，将总成本分摊到完好雪梨上得到每千克完好雪梨的实际成本；最后根据“总利润=（每千克售价-每千克成本）×完好雪梨质量”的等量关系列方程，求解即可得到定价。
【解析】
(1) 根据频率公式$\frac{m}{n}$依次计算各组频率：
$\frac{30.30}{300}=0.101$，
$\frac{38.84}{400}=0.097$，
$\frac{48.50}{500}=0.097$，
$\frac{61.86}{600}=0.103$，
$\frac{70.64}{700}=0.101$，
$\frac{78.48}{800}=0.098$，
$\frac{89.14}{900}=0.099$，
$\frac{103.08}{1000}=0.103$。
(2) 观察表格中的频率数据，可发现雪梨损坏的频率在0.1附近摆动，且随统计的总质量增加，频率逐渐稳定，因此估计雪梨损坏的概率为0.1，则完好雪梨的概率为$1-0.1=0.9$。
20000千克雪梨中完好雪梨的质量为：$20000×0.9=18000$（千克）。
购进所有雪梨的总成本为：$1.5×20000=30000$（元），因此每千克完好雪梨的实际成本为：$\frac{30000}{18000}\approx1.67$（元/千克）。
设每千克雪梨的售价为$x$元，根据总利润为10000元列方程：
$(x-1.67)×18000=10000$
解得：$x\approx2.23$。
【答案】
(1) 表格从上至下依次填入：0.101，0.097，0.097，0.103，0.101，0.098，0.099，0.103；
(2) 出售雪梨时每千克大约定价为2.23元比较合适。
【知识点】
频率的计算，用频率估计概率，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合水果销售的实际生活场景，既考查了频率的基础计算，又考查了用频率估计概率的核心方法，同时融合了利润类实际问题的求解，能够有效提升学生将数学知识应用到实际生活中的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问求雪梨损坏的频率，根据频率的定义，频率等于损坏雪梨质量m除以雪梨总质量n，将表格中每组对应的m、n代入公式计算即可补全表格。
(2) 第二问求解合适的售价，首先根据频率估计概率的知识：当试验次数足够多时，频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是事件发生的概率，由此可估计雪梨损坏的概率，进而得到完好雪梨的概率，算出20000千克雪梨中完好雪梨的质量；再计算所有雪梨的总成本，将总成本分摊到完好雪梨上得到每千克完好雪梨的实际成本；最后根据“总利润=（每千克售价-每千克成本）×完好雪梨质量”的等量关系列方程，求解即可得到定价。
【解析】
(1) 根据频率公式$\frac{m}{n}$依次计算各组频率：
$\frac{30.30}{300}=0.101$，
$\frac{38.84}{400}=0.097$，
$\frac{48.50}{500}=0.097$，
$\frac{61.86}{600}=0.103$，
$\frac{70.64}{700}=0.101$，
$\frac{78.48}{800}=0.098$，
$\frac{89.14}{900}=0.099$，
$\frac{103.08}{1000}=0.103$。
(2) 观察表格中的频率数据，可发现雪梨损坏的频率在0.1附近摆动，且随统计的总质量增加，频率逐渐稳定，因此估计雪梨损坏的概率为0.1，则完好雪梨的概率为$1-0.1=0.9$。
20000千克雪梨中完好雪梨的质量为：$20000×0.9=18000$（千克）。
购进所有雪梨的总成本为：$1.5×20000=30000$（元），因此每千克完好雪梨的实际成本为：$\frac{30000}{18000}\approx1.67$（元/千克）。
设每千克雪梨的售价为$x$元，根据总利润为10000元列方程：
$(x-1.67)×18000=10000$
解得：$x\approx2.23$。
【答案】
(1) 表格从上至下依次填入：0.101，0.097，0.097，0.103，0.101，0.098，0.099，0.103；
(2) 出售雪梨时每千克大约定价为2.23元比较合适。
【知识点】
频率的计算，用频率估计概率，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合水果销售的实际生活场景，既考查了频率的基础计算，又考查了用频率估计概率的核心方法，同时融合了利润类实际问题的求解，能够有效提升学生将数学知识应用到实际生活中的能力。
【难度系数】
0.7
