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小明的一串钥匙共有 4 把，小明想找出哪把是防盗门的钥匙.你能说明他第一次试开就成功的概率有多大吗？用计算器或其他替代物
模拟试验的方法进行分析说明.
学后反思
用频率估计概率的前提是试验的次数非常大.
小明的一串钥匙共有 4 把，小明想找出哪把是防盗门的钥匙.你能说明他第一次试开就成功的概率有多大吗？用计算器或其他替代物
模拟试验的方法进行分析说明.
学后反思
用频率估计概率的前提是试验的次数非常大.
答案
解：
4把钥匙中仅有1把是防盗门钥匙，第一次随机选取钥匙试开，共有4种等可能的结果，其中试开成功的结果只有1种，理论上第一次试开成功的概率为$\frac{1}{4}$。
模拟试验方案：
取4张大小、质地完全相同的卡片，分别标注数字1、2、3、4，将卡片背面朝上充分搅匀，规定抽到标注1的卡片代表第一次试开成功，抽到其余卡片代表试开失败。
每次随机抽取1张卡片，记录结果后放回，重新搅匀再进行下一次试验。重复大量次试验，统计试验总次数$n$和抽到标注1的卡片的次数$m$，计算试开成功的频率$\frac{m}{n}$。
根据用频率估计概率的原理，当试验次数足够大时，试开成功的频率会逐渐稳定在$\frac{1}{4}$附近，由此可估计第一次试开就成功的概率为$\frac{1}{4}$。
答：小明第一次试开就成功的概率为$\frac{1}{4}$。
4把钥匙中仅有1把是防盗门钥匙，第一次随机选取钥匙试开，共有4种等可能的结果，其中试开成功的结果只有1种，理论上第一次试开成功的概率为$\frac{1}{4}$。
模拟试验方案：
取4张大小、质地完全相同的卡片，分别标注数字1、2、3、4，将卡片背面朝上充分搅匀，规定抽到标注1的卡片代表第一次试开成功，抽到其余卡片代表试开失败。
每次随机抽取1张卡片，记录结果后放回，重新搅匀再进行下一次试验。重复大量次试验，统计试验总次数$n$和抽到标注1的卡片的次数$m$，计算试开成功的频率$\frac{m}{n}$。
根据用频率估计概率的原理，当试验次数足够大时，试开成功的频率会逐渐稳定在$\frac{1}{4}$附近，由此可估计第一次试开就成功的概率为$\frac{1}{4}$。
答：小明第一次试开就成功的概率为$\frac{1}{4}$。
解析
【分析】
解题首先需明确该问题属于等可能事件的概率问题，4把钥匙每把被第一次选中的可能性相等，先依据古典概型的计算逻辑，用试开成功的结果数除以所有等可能的总结果数求出理论概率；再设计模拟试验，要选择能对应4种等可能结果的替代物，通过大量重复有放回的试验统计成功的频率，依据频率稳定性原理，当试验次数足够大时，频率会稳定在理论概率附近，以此验证所求概率的正确性。
【解析】
1. 理论概率计算：4把钥匙中仅有1把是防盗门钥匙，第一次随机选取钥匙试开，共有4种等可能的结果，其中试开成功的结果只有1种，因此理论上第一次试开成功的概率为$\frac{1}{4}$。
2. 模拟试验方案：
取4张大小、质地完全相同的卡片，分别标注数字1、2、3、4，将卡片背面朝上充分搅匀，规定抽到标注1的卡片代表第一次试开成功，抽到其余卡片代表试开失败。
每次随机抽取1张卡片，记录结果后放回，重新搅匀再进行下一次试验。重复大量次试验，统计试验总次数$n$和抽到标注1的卡片的次数$m$，计算试开成功的频率$\frac{m}{n}$。
根据用频率估计概率的原理，当试验次数足够大时，试开成功的频率会逐渐稳定在$\frac{1}{4}$附近，由此可验证第一次试开就成功的概率为$\frac{1}{4}$。
【答案】
小明第一次试开就成功的概率为$\frac{1}{4}$。
【知识点】
等可能事件概率计算，模拟试验设计，用频率估计概率
【点评】
本题结合生活中的开锁场景，既考查了古典概型的概率计算方法，又考查了模拟试验的设计思路及频率估计概率的原理，能够加深对理论概率与试验频率之间关系的理解。
【难度系数】
0.7
解题首先需明确该问题属于等可能事件的概率问题，4把钥匙每把被第一次选中的可能性相等，先依据古典概型的计算逻辑，用试开成功的结果数除以所有等可能的总结果数求出理论概率；再设计模拟试验，要选择能对应4种等可能结果的替代物，通过大量重复有放回的试验统计成功的频率，依据频率稳定性原理，当试验次数足够大时，频率会稳定在理论概率附近，以此验证所求概率的正确性。
【解析】
1. 理论概率计算：4把钥匙中仅有1把是防盗门钥匙，第一次随机选取钥匙试开，共有4种等可能的结果，其中试开成功的结果只有1种，因此理论上第一次试开成功的概率为$\frac{1}{4}$。
2. 模拟试验方案：
取4张大小、质地完全相同的卡片，分别标注数字1、2、3、4，将卡片背面朝上充分搅匀，规定抽到标注1的卡片代表第一次试开成功，抽到其余卡片代表试开失败。
每次随机抽取1张卡片，记录结果后放回，重新搅匀再进行下一次试验。重复大量次试验，统计试验总次数$n$和抽到标注1的卡片的次数$m$，计算试开成功的频率$\frac{m}{n}$。
根据用频率估计概率的原理，当试验次数足够大时，试开成功的频率会逐渐稳定在$\frac{1}{4}$附近，由此可验证第一次试开就成功的概率为$\frac{1}{4}$。
【答案】
小明第一次试开就成功的概率为$\frac{1}{4}$。
【知识点】
等可能事件概率计算，模拟试验设计，用频率估计概率
【点评】
本题结合生活中的开锁场景，既考查了古典概型的概率计算方法，又考查了模拟试验的设计思路及频率估计概率的原理，能够加深对理论概率与试验频率之间关系的理解。
【难度系数】
0.7
1.一只不透明的布袋中有三种珠子(除颜色以外没有任何区别),分别是3个红珠子,4个白珠子和5个黑珠子,每次只摸出一个珠子,观察后均放回搅匀,在连续9次摸出的都是红珠子的情况下,第10次摸出红珠子的概率是。
答案
解：
布袋中珠子的总个数为 $ 3 + 4 + 5 = 12 $，
由于每次摸出珠子后均放回搅匀，各次摸球的结果相互独立，不受之前摸球结果的影响，
因此第10次摸出红珠子的概率为 $ \frac{3}{12} = \frac{1}{4} $。
$\boxed{\dfrac{1}{4}}$
布袋中珠子的总个数为 $ 3 + 4 + 5 = 12 $，
由于每次摸出珠子后均放回搅匀，各次摸球的结果相互独立，不受之前摸球结果的影响，
因此第10次摸出红珠子的概率为 $ \frac{3}{12} = \frac{1}{4} $。
$\boxed{\dfrac{1}{4}}$
解析
【分析】
解题时首先要明确试验类型：本题是有放回的摸球试验，各次摸球的结果相互独立，之前的摸球结果不会影响后续摸球的概率，因此不需要考虑前9次摸出红珠子的干扰条件。接下来只需计算单次摸出红珠子的概率即可：先求出布袋中珠子的总数量，再用红珠子的数量除以总数量，就能得到第10次摸出红珠子的概率。
【解析】
首先计算布袋中珠子的总个数：$3+4+5=12$（个）
由于每次摸出珠子后均放回搅匀，各次摸球的结果相互独立，不受之前摸球结果的影响，因此第10次摸出红珠子的概率等于单次摸出红珠子的概率。
根据简单概率计算公式：$P(\mathrm{摸出红珠子})=\frac{\mathrm{红珠子的个数}}{\mathrm{珠子总个数}}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$
【答案】
$\boxed{\dfrac{1}{4}}$
【知识点】
简单概率计算，独立事件概率特征，放回试验性质
【点评】
本题易受“连续9次摸出红珠子”的干扰条件误导而错解，解题核心是理解放回摸球试验中每次事件相互独立，单次事件的概率固定不变，不受之前试验结果的影响。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确试验类型：本题是有放回的摸球试验，各次摸球的结果相互独立，之前的摸球结果不会影响后续摸球的概率，因此不需要考虑前9次摸出红珠子的干扰条件。接下来只需计算单次摸出红珠子的概率即可：先求出布袋中珠子的总数量，再用红珠子的数量除以总数量，就能得到第10次摸出红珠子的概率。
【解析】
首先计算布袋中珠子的总个数：$3+4+5=12$（个）
由于每次摸出珠子后均放回搅匀，各次摸球的结果相互独立，不受之前摸球结果的影响，因此第10次摸出红珠子的概率等于单次摸出红珠子的概率。
根据简单概率计算公式：$P(\mathrm{摸出红珠子})=\frac{\mathrm{红珠子的个数}}{\mathrm{珠子总个数}}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$
【答案】
$\boxed{\dfrac{1}{4}}$
【知识点】
简单概率计算，独立事件概率特征，放回试验性质
【点评】
本题易受“连续9次摸出红珠子”的干扰条件误导而错解，解题核心是理解放回摸球试验中每次事件相互独立，单次事件的概率固定不变，不受之前试验结果的影响。
【难度系数】
0.6
2.从某玉米种子中抽取6批,在同一条件下进行发芽试验,有关数据如下：
根据以上数据可以估计,该玉米种子发芽的概率约为(精确到0.1).
根据以上数据可以估计,该玉米种子发芽的概率约为(精确到0.1).
答案
$\boldsymbol{0.8}$
解析
【分析】
要估计玉米种子发芽的概率，依据是“大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值”。解题时先观察表格中的发芽频率，随着试验的种子粒数不断增加，发芽频率的波动会越来越小，找到频率稳定接近的数值，再按要求精确到0.1即可。
【解析】
根据用频率估计概率的原理，当试验次数足够大时，发芽频率会稳定在发芽概率附近。观察表格数据可知：随着试验种子粒数从100增加到5000，发芽频率逐渐稳定在0.8附近，因此该玉米种子发芽的概率约为0.8（精确到0.1）。
【答案】
$\boldsymbol{0.8}$
【知识点】
用频率估计概率；频率的稳定性
【点评】
本题考查利用频率估计概率的实际应用，解题关键是理解只有试验次数足够多时，频率才能较好地反映事件的概率，不要被少量试验的频率偏差误导。
【难度系数】
0.8
要估计玉米种子发芽的概率，依据是“大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值”。解题时先观察表格中的发芽频率，随着试验的种子粒数不断增加，发芽频率的波动会越来越小，找到频率稳定接近的数值，再按要求精确到0.1即可。
【解析】
根据用频率估计概率的原理，当试验次数足够大时，发芽频率会稳定在发芽概率附近。观察表格数据可知：随着试验种子粒数从100增加到5000，发芽频率逐渐稳定在0.8附近，因此该玉米种子发芽的概率约为0.8（精确到0.1）。
【答案】
$\boldsymbol{0.8}$
【知识点】
用频率估计概率；频率的稳定性
【点评】
本题考查利用频率估计概率的实际应用，解题关键是理解只有试验次数足够多时，频率才能较好地反映事件的概率，不要被少量试验的频率偏差误导。
【难度系数】
0.8
3.甲、乙两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则由统计图得该试验概率可能是（）
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{3}{4}$
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{3}{4}$
答案
A
解析
【分析】
解决本题首先要明确用频率估计概率的原理：在大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件发生的概率。因此我们首先观察统计图，找到随着试验次数增加时频率的稳定范围，再将选项中的分数换算为小数，和频率稳定范围对比，匹配的即为答案。
【解析】
根据用频率估计概率的规律：当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在概率附近。
观察统计图可知，随着试验次数逐渐增加，该结果的频率稳定在30%~35%区间内，即约0.3~0.35。
分别计算各选项的数值：
A.$\frac{1}{3}\approx0.33$，符合频率稳定范围；
B.$\frac{2}{3}\approx0.67$，不符合；
C.$\frac{1}{4}=0.25$，不符合；
D.$\frac{3}{4}=0.75$，不符合。
因此该试验的概率可能是$\frac{1}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
用频率估计概率；频率的稳定性
【点评】
本题核心是考查频率与概率的关系，解题关键是能从统计图中读取频率的稳定区间，结合用频率估计概率的原理进行判断，属于对基础概念应用的考查。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确用频率估计概率的原理：在大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件发生的概率。因此我们首先观察统计图，找到随着试验次数增加时频率的稳定范围，再将选项中的分数换算为小数，和频率稳定范围对比，匹配的即为答案。
【解析】
根据用频率估计概率的规律：当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在概率附近。
观察统计图可知，随着试验次数逐渐增加，该结果的频率稳定在30%~35%区间内，即约0.3~0.35。
分别计算各选项的数值：
A.$\frac{1}{3}\approx0.33$，符合频率稳定范围；
B.$\frac{2}{3}\approx0.67$，不符合；
C.$\frac{1}{4}=0.25$，不符合；
D.$\frac{3}{4}=0.75$，不符合。
因此该试验的概率可能是$\frac{1}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
用频率估计概率；频率的稳定性
【点评】
本题核心是考查频率与概率的关系，解题关键是能从统计图中读取频率的稳定区间，结合用频率估计概率的原理进行判断，属于对基础概念应用的考查。
【难度系数】
0.8
4.一个不透明的口袋中装有$ n $个白球，妙妙为了估计白球的个数，向口袋中加入4个红球，它们除颜色外其他完全相同.通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在10%附近，则$ n $的值为()
A.27
B.30
C.33
D.36
A.27
B.30
C.33
D.36
答案
D
解析
【分析】
本题考查用频率估计概率的实际应用，解题思路如下：首先明确大量重复试验中，事件发生的频率稳定在某个值附近时，这个值可以近似看作该事件发生的概率；其次结合概率计算公式，摸到红球的概率=红球个数÷球的总个数，其中球的总个数为白球个数n加加入的4个红球；最后根据摸到红球的概率为10%列方程求解n的值即可。
【解析】
∵多次摸球试验后，摸到红球的频率稳定在10%附近
∴摸到红球的概率约为10%=0.1
已知红球有4个，口袋中球的总个数为(n+4)个，根据概率公式可得：
$\frac{4}{n+4}=10\%$
解方程：
$4=0.1(n+4)$
$n+4=40$
$n=36$
经检验，n=36是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
D
【知识点】
用频率估计概率；概率公式
【点评】
本题是概率应用的基础常考题，解题核心是理解频率与概率的关系，结合概率公式列方程计算即可，掌握对应知识点就能快速求解。
【难度系数】
0.8
本题考查用频率估计概率的实际应用，解题思路如下：首先明确大量重复试验中，事件发生的频率稳定在某个值附近时，这个值可以近似看作该事件发生的概率；其次结合概率计算公式，摸到红球的概率=红球个数÷球的总个数，其中球的总个数为白球个数n加加入的4个红球；最后根据摸到红球的概率为10%列方程求解n的值即可。
【解析】
∵多次摸球试验后，摸到红球的频率稳定在10%附近
∴摸到红球的概率约为10%=0.1
已知红球有4个，口袋中球的总个数为(n+4)个，根据概率公式可得：
$\frac{4}{n+4}=10\%$
解方程：
$4=0.1(n+4)$
$n+4=40$
$n=36$
经检验，n=36是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
D
【知识点】
用频率估计概率；概率公式
【点评】
本题是概率应用的基础常考题，解题核心是理解频率与概率的关系，结合概率公式列方程计算即可，掌握对应知识点就能快速求解。
【难度系数】
0.8
5.近年来，沈阳环境保护效果显著，北迁的候鸟种群越来越多.为了解北迁到该区域某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉30只，戴上识别卡并放回.经过一段时间后观察发现，300只A种候鸟中有6只佩有识别卡，由此估计该湿地约有()只A种候鸟.
A.480
B.1 500
C.1 800
D.9 000
A.480
B.1 500
C.1 800
D.9 000
答案
B
解析
【分析】
本题是用频率估计概率的实际应用问题，采用标记重捕法估算种群数量。解题思路为：带识别卡的候鸟数量占湿地A种候鸟总数量的比例，与第二次观察到的带识别卡的候鸟数量占观察到的候鸟总数量的频率近似相等，我们可以根据这个等量关系设未知数列方程求解。
【解析】
设该湿地约有$ x $只A种候鸟。
根据用频率估计概率的原理，标记个体占总体的比例近似等于样本中标记个体占样本总量的比例，可列方程：
$\frac{30}{x}=\frac{6}{300}$
交叉相乘得：$6x = 30×300$
计算得：$6x=9000$
解得：$x=1500$
因此选B选项。
【答案】
B
【知识点】
1. 用频率估计概率
2. 样本估计总体
【点评】
本题结合生活中候鸟观测的实际场景考查统计知识的应用，解题核心是抓住标记个体在总体和样本中的占比近似相等的关系列等式，属于基础应用题，易掌握。
【难度系数】
0.8
本题是用频率估计概率的实际应用问题，采用标记重捕法估算种群数量。解题思路为：带识别卡的候鸟数量占湿地A种候鸟总数量的比例，与第二次观察到的带识别卡的候鸟数量占观察到的候鸟总数量的频率近似相等，我们可以根据这个等量关系设未知数列方程求解。
【解析】
设该湿地约有$ x $只A种候鸟。
根据用频率估计概率的原理，标记个体占总体的比例近似等于样本中标记个体占样本总量的比例，可列方程：
$\frac{30}{x}=\frac{6}{300}$
交叉相乘得：$6x = 30×300$
计算得：$6x=9000$
解得：$x=1500$
因此选B选项。
【答案】
B
【知识点】
1. 用频率估计概率
2. 样本估计总体
【点评】
本题结合生活中候鸟观测的实际场景考查统计知识的应用，解题核心是抓住标记个体在总体和样本中的占比近似相等的关系列等式，属于基础应用题，易掌握。
【难度系数】
0.8
6.做随机抛掷一枚硬币的试验，下面有三个推断:①当抛掷次数是100时，若“正面向上”的次数是47，则“正面向上”的概率一定是0.47；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5；③抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45.其中合理的是()
A.①
B.②
C.①②
D.①③
A.①
B.②
C.①②
D.①③
答案
B
解析
【分析】
解题首先要明确频率和概率的核心区别：概率是事件固有的固定属性，不会随试验次数改变；频率是某次试验中事件发生的次数与总试验次数的比值，具有随机性，只有当试验次数足够大时，频率才会稳定在概率附近，此时可以用频率来估计概率。接下来我们逐个判断三个推断是否符合这个原理即可得出答案。
【解析】
首先明确核心概念：抛掷一枚均匀硬币，“正面向上”的概率是固定的0.5；频率随每次试验的结果变化，仅当试验次数足够多时，频率稳定在概率附近。
① 当抛掷次数为100时，正面向上47次，得到的0.47是本次试验的频率，不是概率，概率不会因单次试验结果改变，故①不合理；
② 根据用频率估计概率的原理，随着试验次数增加，“正面向上”的频率会在0.5附近摆动，呈现稳定性，因此可以估计“正面向上”的概率是0.5，故②合理；
③ 抛掷次数为150时，“正面向上”的频率是随机的，没有固定值，不一定是0.45，故③不合理。
综上，只有②合理。
【答案】
B
【知识点】
1. 频率与概率的区别
2. 用频率估计概率
【点评】
本题考查对频率和概率概念的辨析，解题的关键是明确少量试验的频率不能等同于固定的概率，只有大量重复试验下的稳定频率才能用来估计概率，不要混淆二者的概念。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确频率和概率的核心区别：概率是事件固有的固定属性，不会随试验次数改变；频率是某次试验中事件发生的次数与总试验次数的比值，具有随机性，只有当试验次数足够大时，频率才会稳定在概率附近，此时可以用频率来估计概率。接下来我们逐个判断三个推断是否符合这个原理即可得出答案。
【解析】
首先明确核心概念：抛掷一枚均匀硬币，“正面向上”的概率是固定的0.5；频率随每次试验的结果变化，仅当试验次数足够多时，频率稳定在概率附近。
① 当抛掷次数为100时，正面向上47次，得到的0.47是本次试验的频率，不是概率，概率不会因单次试验结果改变，故①不合理；
② 根据用频率估计概率的原理，随着试验次数增加，“正面向上”的频率会在0.5附近摆动，呈现稳定性，因此可以估计“正面向上”的概率是0.5，故②合理；
③ 抛掷次数为150时，“正面向上”的频率是随机的，没有固定值，不一定是0.45，故③不合理。
综上，只有②合理。
【答案】
B
【知识点】
1. 频率与概率的区别
2. 用频率估计概率
【点评】
本题考查对频率和概率概念的辨析，解题的关键是明确少量试验的频率不能等同于固定的概率，只有大量重复试验下的稳定频率才能用来估计概率，不要混淆二者的概念。
【难度系数】
0.7
