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7.一个口袋中有24个红球和若干个绿球,从口袋中随机摸出一个球记下其颜色,再把它放回口袋中摇匀,重复上述过程,实验200次,其中有125次摸到绿球,由此估计口袋中共有多少个绿球.
答案
解：设口袋中共有$x$个绿球。
由实验可得摸到绿球的频率为$\frac{125}{200}$，用该频率估计摸到绿球的概率，列方程得：
$\frac{x}{24+x}=\frac{125}{200}$
化简得：
$\frac{x}{24+x}=\frac{5}{8}$
交叉相乘得：
$8x=5(24+x)$
展开计算：
$8x=120+5x$
$3x=120$
解得：$x=40$
经检验，$x=40$是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：估计口袋中共有40个绿球。
由实验可得摸到绿球的频率为$\frac{125}{200}$，用该频率估计摸到绿球的概率，列方程得：
$\frac{x}{24+x}=\frac{125}{200}$
化简得：
$\frac{x}{24+x}=\frac{5}{8}$
交叉相乘得：
$8x=5(24+x)$
展开计算：
$8x=120+5x$
$3x=120$
解得：$x=40$
经检验，$x=40$是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：估计口袋中共有40个绿球。
解析
【分析】
本题属于用频率估计概率的实际应用问题，解题思路如下：1. 明确大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在对应概率附近，因此可将200次试验中摸到绿球的频率作为摸到绿球概率的估计值；2. 摸出绿球的概率计算公式为“绿球个数÷球的总个数”，总个数为红球数加绿球数；3. 设绿球个数为未知数，根据概率相等列分式方程求解，最后要检验解是否符合方程和实际意义。
【解析】
设口袋中共有$x$个绿球。
由实验可得摸到绿球的频率为$\frac{125}{200}$，用该频率估计摸到绿球的概率，列方程得：
$\frac{x}{24+x}=\frac{125}{200}$
化简得：
$\frac{x}{24+x}=\frac{5}{8}$
交叉相乘得：
$8x=5(24+x)$
展开计算：
$8x=120+5x$
$3x=120$
解得：$x=40$
经检验，$x=40$是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：估计口袋中共有40个绿球。
【答案】
估计口袋中共有40个绿球。
【知识点】
用频率估计概率；概率公式；分式方程的应用
【点评】
本题是概率与方程结合的基础应用题，解题关键是掌握大量重复试验中频率可近似代替概率的规律，结合概率公式建立方程求解，注意分式方程求出解后要检验是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
本题属于用频率估计概率的实际应用问题，解题思路如下：1. 明确大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在对应概率附近，因此可将200次试验中摸到绿球的频率作为摸到绿球概率的估计值；2. 摸出绿球的概率计算公式为“绿球个数÷球的总个数”，总个数为红球数加绿球数；3. 设绿球个数为未知数，根据概率相等列分式方程求解，最后要检验解是否符合方程和实际意义。
【解析】
设口袋中共有$x$个绿球。
由实验可得摸到绿球的频率为$\frac{125}{200}$，用该频率估计摸到绿球的概率，列方程得：
$\frac{x}{24+x}=\frac{125}{200}$
化简得：
$\frac{x}{24+x}=\frac{5}{8}$
交叉相乘得：
$8x=5(24+x)$
展开计算：
$8x=120+5x$
$3x=120$
解得：$x=40$
经检验，$x=40$是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：估计口袋中共有40个绿球。
【答案】
估计口袋中共有40个绿球。
【知识点】
用频率估计概率；概率公式；分式方程的应用
【点评】
本题是概率与方程结合的基础应用题，解题关键是掌握大量重复试验中频率可近似代替概率的规律，结合概率公式建立方程求解，注意分式方程求出解后要检验是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
8.4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品.
(1)从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；
(2)从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；
(3)在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽到1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x的值大约是多少？
(1)从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；
(2)从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；
(3)在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽到1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x的值大约是多少？
答案
解：
(1) 总共有4件产品，其中不合格品共1件，
因此抽到不合格品的概率 $P=\frac{1}{4}$。
(2) 设不合格品为A，3件合格品分别为B、C、D，
随机抽取2件的所有等可能结果为：AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6种，
其中抽到的都是合格品的结果有BC、BD、CD，共3种，
因此抽到的都是合格品的概率 $P=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
(3) 由大量重复试验后频率稳定在概率附近，可知抽到合格品的概率为0.95。
加入$x$件合格品后，总产品数为$4+x$，合格品总数为$3+x$，
列方程得：
$\frac{3+x}{4+x}=0.95$
解得：$x=16$，
经检验，$x=16$是原方程的解，且符合题意。
答：$x$的值大约是16。
(1) 总共有4件产品，其中不合格品共1件，
因此抽到不合格品的概率 $P=\frac{1}{4}$。
(2) 设不合格品为A，3件合格品分别为B、C、D，
随机抽取2件的所有等可能结果为：AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6种，
其中抽到的都是合格品的结果有BC、BD、CD，共3种，
因此抽到的都是合格品的概率 $P=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
(3) 由大量重复试验后频率稳定在概率附近，可知抽到合格品的概率为0.95。
加入$x$件合格品后，总产品数为$4+x$，合格品总数为$3+x$，
列方程得：
$\frac{3+x}{4+x}=0.95$
解得：$x=16$，
经检验，$x=16$是原方程的解，且符合题意。
答：$x$的值大约是16。
解析
【分析】
(1) 第一问考查简单古典概型计算，根据概率公式：随机事件概率=事件对应的等可能结果数÷所有等可能结果总数，只需找到总产品数和不合格品数量，代入公式即可求解。
(2) 第二问为两步抽取的概率计算，由于产品总数较少，可通过枚举法列出抽取2件产品的所有等可能结果，再筛选出两件均为合格品的结果数，代入概率公式即可，也可通过树状图、列表法辅助列举，避免漏数或重复计数。
(3) 第三问考查用频率估计概率的知识，大量重复试验中，事件发生的频率稳定值可作为该事件概率的估计值，据此可得加入x件合格品后抽到合格品的概率为0.95，结合概率公式列分式方程求解，最后需检验解是否符合实际意义。
【解析】
(1) 4件产品中，随机抽取1件的等可能结果共4种，其中抽到不合格品的结果有1种，
因此抽到不合格品的概率 $P=\frac{1}{4}$。
(2) 设不合格品为A，3件合格品分别为B、C、D，
随机抽取2件的所有等可能结果为：AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6种，
其中抽到的都是合格品的结果有BC、BD、CD，共3种，
因此抽到的都是合格品的概率 $P=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
(3) 由大量重复试验后频率稳定在概率附近，可知抽到合格品的概率为0.95。
加入$x$件合格品后，总产品数为$4+x$，合格品总数为$3+x$，
列方程得：
$\frac{3+x}{4+x}=0.95$
解得：$x=16$，
经检验，$x=16$是原方程的解，且符合题意。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$；(2) $\frac{1}{2}$；(3) 16
【知识点】
古典概型概率计算，列举法求概率，用频率估计概率
【点评】
本题是概率基础综合题，由浅入深考查概率核心知识，既涉及基础概率公式的应用，也结合试验场景考查频率与概率的关系，同时融入分式方程的求解，兼顾了知识的基础性和应用性。
【难度系数】
0.85
(1) 第一问考查简单古典概型计算，根据概率公式：随机事件概率=事件对应的等可能结果数÷所有等可能结果总数，只需找到总产品数和不合格品数量，代入公式即可求解。
(2) 第二问为两步抽取的概率计算，由于产品总数较少，可通过枚举法列出抽取2件产品的所有等可能结果，再筛选出两件均为合格品的结果数，代入概率公式即可，也可通过树状图、列表法辅助列举，避免漏数或重复计数。
(3) 第三问考查用频率估计概率的知识，大量重复试验中，事件发生的频率稳定值可作为该事件概率的估计值，据此可得加入x件合格品后抽到合格品的概率为0.95，结合概率公式列分式方程求解，最后需检验解是否符合实际意义。
【解析】
(1) 4件产品中，随机抽取1件的等可能结果共4种，其中抽到不合格品的结果有1种，
因此抽到不合格品的概率 $P=\frac{1}{4}$。
(2) 设不合格品为A，3件合格品分别为B、C、D，
随机抽取2件的所有等可能结果为：AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6种，
其中抽到的都是合格品的结果有BC、BD、CD，共3种，
因此抽到的都是合格品的概率 $P=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
(3) 由大量重复试验后频率稳定在概率附近，可知抽到合格品的概率为0.95。
加入$x$件合格品后，总产品数为$4+x$，合格品总数为$3+x$，
列方程得：
$\frac{3+x}{4+x}=0.95$
解得：$x=16$，
经检验，$x=16$是原方程的解，且符合题意。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$；(2) $\frac{1}{2}$；(3) 16
【知识点】
古典概型概率计算，列举法求概率，用频率估计概率
【点评】
本题是概率基础综合题，由浅入深考查概率核心知识，既涉及基础概率公式的应用，也结合试验场景考查频率与概率的关系，同时融入分式方程的求解，兼顾了知识的基础性和应用性。
【难度系数】
0.85
