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9.一枚图钉从一定的高度落下，落地后有可能图钉尖着地，也有可能图钉尖不着地，部分试验结果如表所示：
(1)补全表中图钉尖着地的频率(结果保留至小数点后三位)；
(2)用频率估计概率，任意选一枚图钉从相同的高度落下，则图钉尖着地的概率为(结果精确到0.01)；
(3)现在将2000枚图钉从相同的高度落下，求落地后“非图钉尖着地”的图钉个数。
(1)补全表中图钉尖着地的频率(结果保留至小数点后三位)；
(2)用频率估计概率，任意选一枚图钉从相同的高度落下，则图钉尖着地的概率为(结果精确到0.01)；
(3)现在将2000枚图钉从相同的高度落下，求落地后“非图钉尖着地”的图钉个数。
答案
解：
(1) 依次计算各次试验的频率：
$\frac{29}{100}=0.290$，
$\frac{134}{400}=0.335$，
$\frac{200}{600}\approx0.333$，
$\frac{265}{800}\approx0.331$，
$\frac{330}{1000}=0.330$，
表中频率栏从左到右依次填入：0.290，0.335，0.333，0.331，0.330。
(2) 随着试验次数增大，图钉尖着地的频率逐渐稳定在0.33附近，因此图钉尖着地的概率为$\boldsymbol{0.33}$。
(3) “非图钉尖着地”的概率约为$1-0.33=0.67$，
则2000枚图钉中“非图钉尖着地”的图钉个数约为$2000×0.67=1340$。
答：落地后“非图钉尖着地”的图钉个数约为1340。
(1) 依次计算各次试验的频率：
$\frac{29}{100}=0.290$，
$\frac{134}{400}=0.335$，
$\frac{200}{600}\approx0.333$，
$\frac{265}{800}\approx0.331$，
$\frac{330}{1000}=0.330$，
表中频率栏从左到右依次填入：0.290，0.335，0.333，0.331，0.330。
(2) 随着试验次数增大，图钉尖着地的频率逐渐稳定在0.33附近，因此图钉尖着地的概率为$\boldsymbol{0.33}$。
(3) “非图钉尖着地”的概率约为$1-0.33=0.67$，
则2000枚图钉中“非图钉尖着地”的图钉个数约为$2000×0.67=1340$。
答：落地后“非图钉尖着地”的图钉个数约为1340。
解析
【分析】
解题思路如下：(1) 频率的计算公式为“频率=频数÷试验总次数”，第一问只需将每组对应的图钉尖着地次数m和试验次数n代入公式计算，结果保留三位小数即可补全表格；(2) 根据用频率估计概率的原理，大量重复试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件的概率，观察计算得到的频率的稳定值，精确到0.01就是所求概率；(3) 先计算“非图钉尖着地”的概率，即1减去图钉尖着地的概率，再乘以图钉总数量2000，即可得到对应的图钉个数。
【解析】
(1) 分别计算每组试验的频率：
当$n=100,m=29$时，$\frac{m}{n}=\frac{29}{100}=0.290$；
当$n=400,m=134$时，$\frac{m}{n}=\frac{134}{400}=0.335$；
当$n=600,m=200$时，$\frac{m}{n}=\frac{200}{600}\approx0.333$；
当$n=800,m=265$时，$\frac{m}{n}=\frac{265}{800}\approx0.331$；
当$n=1000,m=330$时，$\frac{m}{n}=\frac{330}{1000}=0.330$。
(2) 观察上述计算结果，随着试验次数增大，图钉尖着地的频率逐渐稳定在0.33附近，因此图钉尖着地的概率为0.33。
(3) “非图钉尖着地”的概率约为$1-0.33=0.67$，
则2000枚图钉中“非图钉尖着地”的个数约为$2000×0.67=1340$。
【答案】
(1) 从左到右依次为：0.290，0.335，0.333，0.331，0.330；
(2) 0.33；
(3) 约1340个
【知识点】
频率计算，用频率估计概率，概率简单应用
【点评】
本题是概率部分的基础题型，围绕频率与概率的关系设置问题，重点考查对“大量重复试验下频率的稳定值即为概率”这一核心概念的理解，以及基础计算能力，解题时只需牢记相关概念和公式即可顺利完成。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：(1) 频率的计算公式为“频率=频数÷试验总次数”，第一问只需将每组对应的图钉尖着地次数m和试验次数n代入公式计算，结果保留三位小数即可补全表格；(2) 根据用频率估计概率的原理，大量重复试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件的概率，观察计算得到的频率的稳定值，精确到0.01就是所求概率；(3) 先计算“非图钉尖着地”的概率，即1减去图钉尖着地的概率，再乘以图钉总数量2000，即可得到对应的图钉个数。
【解析】
(1) 分别计算每组试验的频率：
当$n=100,m=29$时，$\frac{m}{n}=\frac{29}{100}=0.290$；
当$n=400,m=134$时，$\frac{m}{n}=\frac{134}{400}=0.335$；
当$n=600,m=200$时，$\frac{m}{n}=\frac{200}{600}\approx0.333$；
当$n=800,m=265$时，$\frac{m}{n}=\frac{265}{800}\approx0.331$；
当$n=1000,m=330$时，$\frac{m}{n}=\frac{330}{1000}=0.330$。
(2) 观察上述计算结果，随着试验次数增大，图钉尖着地的频率逐渐稳定在0.33附近，因此图钉尖着地的概率为0.33。
(3) “非图钉尖着地”的概率约为$1-0.33=0.67$，
则2000枚图钉中“非图钉尖着地”的个数约为$2000×0.67=1340$。
【答案】
(1) 从左到右依次为：0.290，0.335，0.333，0.331，0.330；
(2) 0.33；
(3) 约1340个
【知识点】
频率计算，用频率估计概率，概率简单应用
【点评】
本题是概率部分的基础题型，围绕频率与概率的关系设置问题，重点考查对“大量重复试验下频率的稳定值即为概率”这一核心概念的理解，以及基础计算能力，解题时只需牢记相关概念和公式即可顺利完成。
【难度系数】
0.8
10.如图,桌面上放置了红、黄、蓝三个不同颜色的杯子,杯口朝上.我们做蒙眼睛翻杯子(杯口朝上的翻为杯口朝下,杯口朝下的翻为杯口朝上)的游戏.
(1)随机翻一个杯子,求翻到黄色杯子的概率;
(2)随机翻一个杯子,接着从这三个杯子中再随机翻一个,请利用树状图求出此时恰好有一个杯口朝上的概率.
(1)随机翻一个杯子,求翻到黄色杯子的概率;
(2)随机翻一个杯子,接着从这三个杯子中再随机翻一个,请利用树状图求出此时恰好有一个杯口朝上的概率.
答案
解：
(1) 共有3个不同颜色的杯子，随机翻一个，所有等可能的结果共3种，其中翻到黄色杯子的结果有1种，
因此$P(\mathrm{翻到黄色杯子})=\frac{1}{3}$。
(2) 画树状图如下：
```
开始
├─第一次翻红
│ ├─第二次翻红
│ ├─第二次翻黄
│ └─第二次翻蓝
├─第一次翻黄
│ ├─第二次翻红
│ ├─第二次翻黄
│ └─第二次翻蓝
└─第一次翻蓝
├─第二次翻红
├─第二次翻黄
└─第二次翻蓝
```
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中恰好有一个杯口朝上的结果有6种，
因此$P(\mathrm{恰好有一个杯口朝上})=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$。
答：翻到黄色杯子的概率为$\frac{1}{3}$，恰好有一个杯口朝上的概率为$\frac{2}{3}$。
(1) 共有3个不同颜色的杯子，随机翻一个，所有等可能的结果共3种，其中翻到黄色杯子的结果有1种，
因此$P(\mathrm{翻到黄色杯子})=\frac{1}{3}$。
(2) 画树状图如下：
```
开始
├─第一次翻红
│ ├─第二次翻红
│ ├─第二次翻黄
│ └─第二次翻蓝
├─第一次翻黄
│ ├─第二次翻红
│ ├─第二次翻黄
│ └─第二次翻蓝
└─第一次翻蓝
├─第二次翻红
├─第二次翻黄
└─第二次翻蓝
```
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中恰好有一个杯口朝上的结果有6种，
因此$P(\mathrm{恰好有一个杯口朝上})=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$。
答：翻到黄色杯子的概率为$\frac{1}{3}$，恰好有一个杯口朝上的概率为$\frac{2}{3}$。
解析
【分析】
（1）第一问属于简单古典概型问题，首先确定总等可能结果数：共有3个不同杯子，随机翻1个总共有3种等可能结果；再确定符合“翻到黄色杯子”的结果数为1种，代入概率公式即可计算。
（2）第二问是两步随机试验的概率求解，可通过画树状图不重不漏地列出所有等可能结果；初始状态三个杯子全部杯口朝上，翻两次后恰好1个杯口朝上等价于有2个杯口朝下，即两次翻的是不同杯子（两次翻同一个杯子相当于状态还原，仍为3个杯口朝上，不符合要求），统计符合要求的结果数后代入概率公式计算即可。
【解析】
(1) 随机翻一个杯子时，所有等可能的结果共有3种，分别是翻到红杯子、翻到黄杯子、翻到蓝杯子，其中翻到黄色杯子的结果有1种，
根据概率公式可得：$P(\mathrm{翻到黄色杯子})=\frac{1}{3}$。
(2) 画出两次翻杯子的树状图如下：
```
开始
├─第一次翻红
│ ├─第二次翻红
│ ├─第二次翻黄
│ └─第二次翻蓝
├─第一次翻黄
│ ├─第二次翻红
│ ├─第二次翻黄
│ └─第二次翻蓝
└─第一次翻蓝
├─第二次翻红
├─第二次翻黄
└─第二次翻蓝
```
由树状图可知，共有9种等可能的结果。其中恰好有一个杯口朝上的结果为两次翻不同的杯子，共6种，
因此$P(\mathrm{恰好有一个杯口朝上})=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$；(2) $\frac{2}{3}$
【知识点】
古典概型，树状图法求概率，概率公式
【点评】
本题是概率基础应用题，第一问难度较低，直接套用概率公式即可求解；第二问需要结合翻杯子的实际规则判断符合条件的结果，通过树状图枚举所有情况可以有效避免漏算、错算，掌握两步试验的概率求解方法是解题核心。
【难度系数】
0.7
（1）第一问属于简单古典概型问题，首先确定总等可能结果数：共有3个不同杯子，随机翻1个总共有3种等可能结果；再确定符合“翻到黄色杯子”的结果数为1种，代入概率公式即可计算。
（2）第二问是两步随机试验的概率求解，可通过画树状图不重不漏地列出所有等可能结果；初始状态三个杯子全部杯口朝上，翻两次后恰好1个杯口朝上等价于有2个杯口朝下，即两次翻的是不同杯子（两次翻同一个杯子相当于状态还原，仍为3个杯口朝上，不符合要求），统计符合要求的结果数后代入概率公式计算即可。
【解析】
(1) 随机翻一个杯子时，所有等可能的结果共有3种，分别是翻到红杯子、翻到黄杯子、翻到蓝杯子，其中翻到黄色杯子的结果有1种，
根据概率公式可得：$P(\mathrm{翻到黄色杯子})=\frac{1}{3}$。
(2) 画出两次翻杯子的树状图如下：
```
开始
├─第一次翻红
│ ├─第二次翻红
│ ├─第二次翻黄
│ └─第二次翻蓝
├─第一次翻黄
│ ├─第二次翻红
│ ├─第二次翻黄
│ └─第二次翻蓝
└─第一次翻蓝
├─第二次翻红
├─第二次翻黄
└─第二次翻蓝
```
由树状图可知，共有9种等可能的结果。其中恰好有一个杯口朝上的结果为两次翻不同的杯子，共6种，
因此$P(\mathrm{恰好有一个杯口朝上})=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$；(2) $\frac{2}{3}$
【知识点】
古典概型，树状图法求概率，概率公式
【点评】
本题是概率基础应用题，第一问难度较低，直接套用概率公式即可求解；第二问需要结合翻杯子的实际规则判断符合条件的结果，通过树状图枚举所有情况可以有效避免漏算、错算，掌握两步试验的概率求解方法是解题核心。
【难度系数】
0.7
