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8.某博物馆展厅的俯视示意图如图①所示，嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同。
(1)嘉淇走到十字道口A，向北走的概率是；
(2)补全图②的树状图；
(3)借助图②的树状图分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大。
(1)嘉淇走到十字道口A，向北走的概率是；
(2)补全图②的树状图；
(3)借助图②的树状图分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大。
答案
解：
(1) $\boldsymbol{\frac{1}{3}}$
(2) 补全树状图如下：
道口A的分支除已有的“直”外，剩余两个分支依次标注为“左”、“右”：
道口A选“直”的下一道口，补充分出“左”、“右”，对应结果分别为向南、向北；
道口A选“左”的下一道口，分出“直”、“左”、“右”，对应结果分别为向南、向东、向西；
道口A选“右”的下一道口，分出“直”、“左”、“右”，对应结果分别为向北、向西、向东。
(3) 由补全的树状图可知，共有9种等可能的结果：
最终朝向向西的结果有3种，朝向向南的结果有2种，朝向向北的结果有2种，朝向向东的结果有2种。
计算得：
$P(向西)=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，$P(向南)=\frac{2}{9}$，$P(向北)=\frac{2}{9}$，$P(向东)=\frac{2}{9}$。
因为$\frac{1}{3}＞\frac{2}{9}$，所以嘉淇经过两个十字道口后向西参观的概率较大。
(1) $\boldsymbol{\frac{1}{3}}$
(2) 补全树状图如下：
道口A的分支除已有的“直”外，剩余两个分支依次标注为“左”、“右”：
道口A选“直”的下一道口，补充分出“左”、“右”，对应结果分别为向南、向北；
道口A选“左”的下一道口，分出“直”、“左”、“右”，对应结果分别为向南、向东、向西；
道口A选“右”的下一道口，分出“直”、“左”、“右”，对应结果分别为向北、向西、向东。
(3) 由补全的树状图可知，共有9种等可能的结果：
最终朝向向西的结果有3种，朝向向南的结果有2种，朝向向北的结果有2种，朝向向东的结果有2种。
计算得：
$P(向西)=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，$P(向南)=\frac{2}{9}$，$P(向北)=\frac{2}{9}$，$P(向东)=\frac{2}{9}$。
因为$\frac{1}{3}＞\frac{2}{9}$，所以嘉淇经过两个十字道口后向西参观的概率较大。
解析
【分析】
(1) 第一问先明确十字道口共有直行、左转、右转3种等可能的选择，向北走是其中1种符合要求的情况，直接利用等可能事件的概率公式计算即可。
(2) 补全树状图时，先确定嘉淇初始朝向为西，依次分析在道口A选择“左”“右”时，下一道口的三种选择对应的最终朝向，按层级补全所有分支即可。
(3) 第三问先统计补全的树状图中所有等可能的结果总数，再分别统计朝西、南、北、东的结果数，分别计算对应概率后比较大小即可得出结论。
【解析】
(1) 嘉淇走到十字道口A时，有直行、左转、右转3种等可能的选择，向北走是其中1种情况，因此向北走的概率为$\frac{1}{3}$。
(2) 补全树状图：
① 道口A的分支在已有“直”的基础上，补充“左”“右”两个分支；
② 道口A选“直”的下一道口，除已有“直”（对应结果朝向西）外，补充分支“左”“右”，对应结果分别为向南、向北；
③ 道口A选“左”的下一道口，分出“直”“左”“右”三个分支，对应结果分别为向南、向东、向西；
④ 道口A选“右”的下一道口，分出“直”“左”“右”三个分支，对应结果分别为向北、向西、向东。
(3) 由补全的树状图可知，共有9种等可能的结果，其中最终朝向向西的结果有3种，朝向向南的结果有2种，朝向向北的结果有2种，朝向向东的结果有2种。
分别计算概率：
$P(向西)=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，$P(向南)=\frac{2}{9}$，$P(向北)=\frac{2}{9}$，$P(向东)=\frac{2}{9}$
因为$\frac{1}{3}＞\frac{2}{9}$，因此向西参观的概率更大。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{1}{3}}$
(2) 补全结果如下：
道口A的分支除已有的“直”外，剩余两个分支依次标注为“左”、“右”；
道口A选“直”的下一道口，补充分出“左”、“右”，对应结果分别为向南、向北；
道口A选“左”的下一道口，分出“直”、“左”、“右”，对应结果分别为向南、向东、向西；
道口A选“右”的下一道口，分出“直”、“左”、“右”，对应结果分别为向北、向西、向东。
(3) 嘉淇经过两个十字道口后向西参观的概率较大。
【知识点】
概率公式，树状图法求概率，等可能事件
【点评】
本题结合生活场景考查概率的相关计算，解题关键是准确判断不同转向对应的最终朝向，正确用树状图列举出所有等可能的结果，再利用概率公式计算比较即可，解题时需注意不要混淆左转、右转对应的方位。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问先明确十字道口共有直行、左转、右转3种等可能的选择，向北走是其中1种符合要求的情况，直接利用等可能事件的概率公式计算即可。
(2) 补全树状图时，先确定嘉淇初始朝向为西，依次分析在道口A选择“左”“右”时，下一道口的三种选择对应的最终朝向，按层级补全所有分支即可。
(3) 第三问先统计补全的树状图中所有等可能的结果总数，再分别统计朝西、南、北、东的结果数，分别计算对应概率后比较大小即可得出结论。
【解析】
(1) 嘉淇走到十字道口A时，有直行、左转、右转3种等可能的选择，向北走是其中1种情况，因此向北走的概率为$\frac{1}{3}$。
(2) 补全树状图：
① 道口A的分支在已有“直”的基础上，补充“左”“右”两个分支；
② 道口A选“直”的下一道口，除已有“直”（对应结果朝向西）外，补充分支“左”“右”，对应结果分别为向南、向北；
③ 道口A选“左”的下一道口，分出“直”“左”“右”三个分支，对应结果分别为向南、向东、向西；
④ 道口A选“右”的下一道口，分出“直”“左”“右”三个分支，对应结果分别为向北、向西、向东。
(3) 由补全的树状图可知，共有9种等可能的结果，其中最终朝向向西的结果有3种，朝向向南的结果有2种，朝向向北的结果有2种，朝向向东的结果有2种。
分别计算概率：
$P(向西)=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，$P(向南)=\frac{2}{9}$，$P(向北)=\frac{2}{9}$，$P(向东)=\frac{2}{9}$
因为$\frac{1}{3}＞\frac{2}{9}$，因此向西参观的概率更大。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{1}{3}}$
(2) 补全结果如下：
道口A的分支除已有的“直”外，剩余两个分支依次标注为“左”、“右”；
道口A选“直”的下一道口，补充分出“左”、“右”，对应结果分别为向南、向北；
道口A选“左”的下一道口，分出“直”、“左”、“右”，对应结果分别为向南、向东、向西；
道口A选“右”的下一道口，分出“直”、“左”、“右”，对应结果分别为向北、向西、向东。
(3) 嘉淇经过两个十字道口后向西参观的概率较大。
【知识点】
概率公式，树状图法求概率，等可能事件
【点评】
本题结合生活场景考查概率的相关计算，解题关键是准确判断不同转向对应的最终朝向，正确用树状图列举出所有等可能的结果，再利用概率公式计算比较即可，解题时需注意不要混淆左转、右转对应的方位。
【难度系数】
0.7
9.某男子羽毛球团体赛小组赛比赛规则:两队之间进行五局比赛,其中三局单打,两局双打,五局比赛必须全部打完,赢得三局及以上的队获胜.假设甲、乙两队每局获胜的机会相同.
(1)如果前四局双方战成2:2,求甲队最终获胜的概率;
(2)现甲队在前两局比赛中已取得2:0的领先,那么甲队最终获胜的概率是多少?
(1)如果前四局双方战成2:2,求甲队最终获胜的概率;
(2)现甲队在前两局比赛中已取得2:0的领先,那么甲队最终获胜的概率是多少?
答案
解：
(1) 前四局双方战成2:2，仅剩第5局比赛，该局比赛共有2种等可能的结果：甲获胜、乙获胜，其中甲队最终获胜的结果只有1种。
因此甲队最终获胜的概率$P=\frac{1}{2}$。
(2) 甲队前两局以2:0领先，剩余3局比赛，列举这3局所有等可能的胜负结果（依次表示第3、4、5局的胜者）：
(甲胜,甲胜,甲胜)、(甲胜,甲胜,乙胜)、(甲胜,乙胜,甲胜)、(甲胜,乙胜,乙胜)、(乙胜,甲胜,甲胜)、(乙胜,甲胜,乙胜)、(乙胜,乙胜,甲胜)、(乙胜,乙胜,乙胜)，
共8种等可能的结果。
其中甲队最终获胜的结果共7种，仅剩余3局全为乙胜时乙队才能总胜局数达到3获胜，其余情况甲队总胜局数均≥3，甲队获胜。
因此甲队最终获胜的概率$P=\frac{7}{8}$。
(1) 前四局双方战成2:2，仅剩第5局比赛，该局比赛共有2种等可能的结果：甲获胜、乙获胜，其中甲队最终获胜的结果只有1种。
因此甲队最终获胜的概率$P=\frac{1}{2}$。
(2) 甲队前两局以2:0领先，剩余3局比赛，列举这3局所有等可能的胜负结果（依次表示第3、4、5局的胜者）：
(甲胜,甲胜,甲胜)、(甲胜,甲胜,乙胜)、(甲胜,乙胜,甲胜)、(甲胜,乙胜,乙胜)、(乙胜,甲胜,甲胜)、(乙胜,甲胜,乙胜)、(乙胜,乙胜,甲胜)、(乙胜,乙胜,乙胜)，
共8种等可能的结果。
其中甲队最终获胜的结果共7种，仅剩余3局全为乙胜时乙队才能总胜局数达到3获胜，其余情况甲队总胜局数均≥3，甲队获胜。
因此甲队最终获胜的概率$P=\frac{7}{8}$。
解析
【分析】
（1）前四局双方战成2:2后，最终胜负由第五局决定，已知每局两队获胜机会均等，直接分析第五局甲获胜的概率即可得到甲最终获胜的概率。
（2）甲已经取得2局胜利，只要再赢至少1局就能使总胜局≥3从而获胜。剩余3局每局都有2种等可能结果，可通过列举法列出剩余3局的所有等可能结果，再统计甲获胜的结果数，结合概率公式计算即可，也可通过分析甲失败的对立事件简化运算。
【解析】
(1) 前四局双方战成2:2时，仅剩余第五局比赛，该局共有2种等可能的结果：甲获胜、乙获胜，其中甲队最终获胜的结果只有甲获胜这1种。
因此甲队最终获胜的概率$P=\frac{1}{2}$。
(2) 甲队前两局以2:0领先，还剩3局比赛，依次列举第3、4、5局的所有等可能胜负结果：
(甲胜,甲胜,甲胜)、(甲胜,甲胜,乙胜)、(甲胜,乙胜,甲胜)、(甲胜,乙胜,乙胜)、(乙胜,甲胜,甲胜)、(乙胜,甲胜,乙胜)、(乙胜,乙胜,甲胜)、(乙胜,乙胜,乙胜)，共8种等可能的结果。
其中仅剩余3局全为乙胜时，乙总胜局数达到3局获胜，其余7种结果甲的总胜局数均≥3，甲获胜。
因此甲队最终获胜的概率$P=\frac{7}{8}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$；(2) $\frac{7}{8}$
【知识点】
列举法求概率，等可能事件概率，概率计算公式
【点评】
本题结合体育比赛场景考查概率的求解，第一问较为基础，直接根据单次等可能事件的概率即可求解；第二问需要准确列举所有可能的比赛结果，注意做到不重不漏，也可通过分析对立事件简化计算，能够锻炼学生的逻辑分析能力和应用知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
（1）前四局双方战成2:2后，最终胜负由第五局决定，已知每局两队获胜机会均等，直接分析第五局甲获胜的概率即可得到甲最终获胜的概率。
（2）甲已经取得2局胜利，只要再赢至少1局就能使总胜局≥3从而获胜。剩余3局每局都有2种等可能结果，可通过列举法列出剩余3局的所有等可能结果，再统计甲获胜的结果数，结合概率公式计算即可，也可通过分析甲失败的对立事件简化运算。
【解析】
(1) 前四局双方战成2:2时，仅剩余第五局比赛，该局共有2种等可能的结果：甲获胜、乙获胜，其中甲队最终获胜的结果只有甲获胜这1种。
因此甲队最终获胜的概率$P=\frac{1}{2}$。
(2) 甲队前两局以2:0领先，还剩3局比赛，依次列举第3、4、5局的所有等可能胜负结果：
(甲胜,甲胜,甲胜)、(甲胜,甲胜,乙胜)、(甲胜,乙胜,甲胜)、(甲胜,乙胜,乙胜)、(乙胜,甲胜,甲胜)、(乙胜,甲胜,乙胜)、(乙胜,乙胜,甲胜)、(乙胜,乙胜,乙胜)，共8种等可能的结果。
其中仅剩余3局全为乙胜时，乙总胜局数达到3局获胜，其余7种结果甲的总胜局数均≥3，甲获胜。
因此甲队最终获胜的概率$P=\frac{7}{8}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$；(2) $\frac{7}{8}$
【知识点】
列举法求概率，等可能事件概率，概率计算公式
【点评】
本题结合体育比赛场景考查概率的求解，第一问较为基础，直接根据单次等可能事件的概率即可求解；第二问需要准确列举所有可能的比赛结果，注意做到不重不漏，也可通过分析对立事件简化计算，能够锻炼学生的逻辑分析能力和应用知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
10. A,B,C三人玩篮球传球游戏,游戏规则:第一次传球由A将球随机地传给B,C两人中的某一人,以后的每一次传球都是由上一次的传球者随机地传给其他两人中的某一人.
(1)求两次传球后,球恰好在B手中的概率;
(2)求三次传球后,球恰好在A手中的概率.
(1)求两次传球后,球恰好在B手中的概率;
(2)求三次传球后,球恰好在A手中的概率.
答案
解：
(1) 列举两次传球的所有等可能结果：
第一次传球A可传给B或C；
若第一次传给B，第二次B可传给A或C；若第一次传给C，第二次C可传给A或B。
所有等可能的结果共4种：A→B→A、A→B→C、A→C→A、A→C→B，
其中两次传球后球恰好在B手中的结果只有1种：A→C→B，
所以$P(\mathrm{两次传球后球恰好在B手中})=\frac{1}{4}$。
(2) 列举三次传球的所有等可能结果：
在两次传球的结果基础上，第三次传球：
若第二次球在A，A可传给B或C；若第二次球在B，B可传给A或C；若第二次球在C，C可传给A或B。
所有等可能的结果共8种：A→B→A→B、A→B→A→C、A→B→C→A、A→B→C→B、A→C→A→B、A→C→A→C、A→C→B→A、A→C→B→C，
其中三次传球后球恰好在A手中的结果共2种：A→B→C→A、A→C→B→A，
所以$P(\mathrm{三次传球后球恰好在A手中})=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$。
答：(1) 两次传球后球恰好在B手中的概率为$\frac{1}{4}$；(2) 三次传球后球恰好在A手中的概率为$\frac{1}{4}$。
(1) 列举两次传球的所有等可能结果：
第一次传球A可传给B或C；
若第一次传给B，第二次B可传给A或C；若第一次传给C，第二次C可传给A或B。
所有等可能的结果共4种：A→B→A、A→B→C、A→C→A、A→C→B，
其中两次传球后球恰好在B手中的结果只有1种：A→C→B，
所以$P(\mathrm{两次传球后球恰好在B手中})=\frac{1}{4}$。
(2) 列举三次传球的所有等可能结果：
在两次传球的结果基础上，第三次传球：
若第二次球在A，A可传给B或C；若第二次球在B，B可传给A或C；若第二次球在C，C可传给A或B。
所有等可能的结果共8种：A→B→A→B、A→B→A→C、A→B→C→A、A→B→C→B、A→C→A→B、A→C→A→C、A→C→B→A、A→C→B→C，
其中三次传球后球恰好在A手中的结果共2种：A→B→C→A、A→C→B→A，
所以$P(\mathrm{三次传球后球恰好在A手中})=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$。
答：(1) 两次传球后球恰好在B手中的概率为$\frac{1}{4}$；(2) 三次传球后球恰好在A手中的概率为$\frac{1}{4}$。
解析
【分析】
这是典型的等可能事件概率求解问题，由于传球次数较少，适合用列举法梳理所有传球路径。解题时先按传球顺序逐步列举所有等可能的结果，再找出符合题目要求的结果数，最后根据“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算即可。第一问求解两次传球的概率，先列第一次的2种传球方向，再对应每种方向列第二次的2种传球方向，统计总数和符合“最后在B手中”的数量；第二问求解三次传球的概率，在两次传球的基础上再列第三次的传球方向，同理统计计算。
【解析】
(1) 列举两次传球的所有等可能结果：
第一次传球A可传给B或C；
若第一次传给B，第二次B可传给A或C；若第一次传给C，第二次C可传给A或B。
所有等可能的结果共4种：A→B→A、A→B→C、A→C→A、A→C→B，
其中两次传球后球恰好在B手中的结果只有1种：A→C→B，
所以$P(\mathrm{两次传球后球恰好在B手中})=\frac{1}{4}$。
(2) 列举三次传球的所有等可能结果：
在两次传球的结果基础上，第三次传球：
若第二次球在A，A可传给B或C；若第二次球在B，B可传给A或C；若第二次球在C，C可传给A或B。
所有等可能的结果共8种：A→B→A→B、A→B→A→C、A→B→C→A、A→B→C→B、A→C→A→B、A→C→A→C、A→C→B→A、A→C→B→C，
其中三次传球后球恰好在A手中的结果共2种：A→B→C→A、A→C→B→A，
所以$P(\mathrm{三次传球后球恰好在A手中})=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$；(2) $\frac{1}{4}$
【知识点】
列举法求概率，等可能事件，概率计算
【点评】
本题属于概率基础应用类题目，解题的核心是按照传球顺序有序列举所有等可能的路径，避免出现漏项或重复计数的问题，只要理清每次传球的可选对象，即可快速求出对应概率。
【难度系数】
0.7
这是典型的等可能事件概率求解问题，由于传球次数较少，适合用列举法梳理所有传球路径。解题时先按传球顺序逐步列举所有等可能的结果，再找出符合题目要求的结果数，最后根据“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算即可。第一问求解两次传球的概率，先列第一次的2种传球方向，再对应每种方向列第二次的2种传球方向，统计总数和符合“最后在B手中”的数量；第二问求解三次传球的概率，在两次传球的基础上再列第三次的传球方向，同理统计计算。
【解析】
(1) 列举两次传球的所有等可能结果：
第一次传球A可传给B或C；
若第一次传给B，第二次B可传给A或C；若第一次传给C，第二次C可传给A或B。
所有等可能的结果共4种：A→B→A、A→B→C、A→C→A、A→C→B，
其中两次传球后球恰好在B手中的结果只有1种：A→C→B，
所以$P(\mathrm{两次传球后球恰好在B手中})=\frac{1}{4}$。
(2) 列举三次传球的所有等可能结果：
在两次传球的结果基础上，第三次传球：
若第二次球在A，A可传给B或C；若第二次球在B，B可传给A或C；若第二次球在C，C可传给A或B。
所有等可能的结果共8种：A→B→A→B、A→B→A→C、A→B→C→A、A→B→C→B、A→C→A→B、A→C→A→C、A→C→B→A、A→C→B→C，
其中三次传球后球恰好在A手中的结果共2种：A→B→C→A、A→C→B→A，
所以$P(\mathrm{三次传球后球恰好在A手中})=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$；(2) $\frac{1}{4}$
【知识点】
列举法求概率，等可能事件，概率计算
【点评】
本题属于概率基础应用类题目，解题的核心是按照传球顺序有序列举所有等可能的路径，避免出现漏项或重复计数的问题，只要理清每次传球的可选对象，即可快速求出对应概率。
【难度系数】
0.7
