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2.有10个形状、大小、质地完全相同的小球，把其中两个写上“1”号，其余写上“2,3,…,9”，随机地取出一个小球后，不放回，再随机取出一个小球，求第二次取出小球的标号大于第一次取出小球的标号的概率.
答案
解：
不放回地先后取出两个小球，所有等可能出现的结果共有$10 × 9 = 90$种。
按第一次取出小球的标号分类统计第二次标号大于第一次的符合条件的结果数：
1. 第一次取标号为1的球，共2种取法，剩余球中标号大于1的有8个，对应符合条件的结果数为$2 × 8 = 16$；
2. 第一次取标号为2的球，共1种取法，剩余球中标号大于2的有7个，对应符合条件的结果数为7；
3. 第一次取标号为3的球，剩余球中标号大于3的有6个，对应符合条件的结果数为6；
4. 第一次取标号为4的球，对应符合条件的结果数为5；
5. 第一次取标号为5的球，对应符合条件的结果数为4；
6. 第一次取标号为6的球，对应符合条件的结果数为3；
7. 第一次取标号为7的球，对应符合条件的结果数为2；
8. 第一次取标号为8的球，对应符合条件的结果数为1；
9. 第一次取标号为9的球，没有标号大于9的球，对应符合条件的结果数为0。
符合条件的结果总数为$16+7+6+5+4+3+2+1=44$，
因此所求概率$P=\frac{44}{90}=\frac{22}{45}$。
不放回地先后取出两个小球，所有等可能出现的结果共有$10 × 9 = 90$种。
按第一次取出小球的标号分类统计第二次标号大于第一次的符合条件的结果数：
1. 第一次取标号为1的球，共2种取法，剩余球中标号大于1的有8个，对应符合条件的结果数为$2 × 8 = 16$；
2. 第一次取标号为2的球，共1种取法，剩余球中标号大于2的有7个，对应符合条件的结果数为7；
3. 第一次取标号为3的球，剩余球中标号大于3的有6个，对应符合条件的结果数为6；
4. 第一次取标号为4的球，对应符合条件的结果数为5；
5. 第一次取标号为5的球，对应符合条件的结果数为4；
6. 第一次取标号为6的球，对应符合条件的结果数为3；
7. 第一次取标号为7的球，对应符合条件的结果数为2；
8. 第一次取标号为8的球，对应符合条件的结果数为1；
9. 第一次取标号为9的球，没有标号大于9的球，对应符合条件的结果数为0。
符合条件的结果总数为$16+7+6+5+4+3+2+1=44$，
因此所求概率$P=\frac{44}{90}=\frac{22}{45}$。
解析
【分析】
这是一道不放回抽样的概率计算问题，解题思路可分为三步：第一步先计算所有等可能的总结果数，因为是不放回先后取球，第一次有10种选择，第二次有9种选择，用乘法原理即可算出总结果数；第二步按第一次取出的小球标号分类统计符合“第二次标号大于第一次”的结果数，注意标号为1的球有2个，2到9的球各1个，分别计算每类的符合条件的数量即可；第三步用符合条件的结果数除以总结果数，就能得到所求概率。
【解析】
不放回地先后取出两个小球，所有等可能出现的结果共有$10 × 9 = 90$种。
按第一次取出小球的标号分类统计第二次标号大于第一次的符合条件的结果数：
1. 第一次取标号为1的球，共2种取法，剩余球中标号大于1的有8个，对应符合条件的结果数为$2 × 8 = 16$；
2. 第一次取标号为2的球，共1种取法，剩余球中标号大于2的有7个，对应符合条件的结果数为7；
3. 第一次取标号为3的球，剩余球中标号大于3的有6个，对应符合条件的结果数为6；
4. 第一次取标号为4的球，对应符合条件的结果数为5；
5. 第一次取标号为5的球，对应符合条件的结果数为4；
6. 第一次取标号为6的球，对应符合条件的结果数为3；
7. 第一次取标号为7的球，对应符合条件的结果数为2；
8. 第一次取标号为8的球，对应符合条件的结果数为1；
9. 第一次取标号为9的球，没有标号大于9的球，对应符合条件的结果数为0。
符合条件的结果总数为$16+7+6+5+4+3+2+1=44$，
因此所求概率$P=\frac{44}{90}=\frac{22}{45}$。
【答案】
$\frac{22}{45}$
【知识点】
列举法求概率，分类加法计数原理，不放回抽样概率计算
【点评】
本题解题的关键是合理选择分类标准，按第一次取出的小球标号分类计算符合条件的结果，要特别注意标号为1的球有2个这一特殊条件，避免漏算或错算，计算时注意有序事件的总结果数不要和无序的组合数混淆。
【难度系数】
0.6
这是一道不放回抽样的概率计算问题，解题思路可分为三步：第一步先计算所有等可能的总结果数，因为是不放回先后取球，第一次有10种选择，第二次有9种选择，用乘法原理即可算出总结果数；第二步按第一次取出的小球标号分类统计符合“第二次标号大于第一次”的结果数，注意标号为1的球有2个，2到9的球各1个，分别计算每类的符合条件的数量即可；第三步用符合条件的结果数除以总结果数，就能得到所求概率。
【解析】
不放回地先后取出两个小球，所有等可能出现的结果共有$10 × 9 = 90$种。
按第一次取出小球的标号分类统计第二次标号大于第一次的符合条件的结果数：
1. 第一次取标号为1的球，共2种取法，剩余球中标号大于1的有8个，对应符合条件的结果数为$2 × 8 = 16$；
2. 第一次取标号为2的球，共1种取法，剩余球中标号大于2的有7个，对应符合条件的结果数为7；
3. 第一次取标号为3的球，剩余球中标号大于3的有6个，对应符合条件的结果数为6；
4. 第一次取标号为4的球，对应符合条件的结果数为5；
5. 第一次取标号为5的球，对应符合条件的结果数为4；
6. 第一次取标号为6的球，对应符合条件的结果数为3；
7. 第一次取标号为7的球，对应符合条件的结果数为2；
8. 第一次取标号为8的球，对应符合条件的结果数为1；
9. 第一次取标号为9的球，没有标号大于9的球，对应符合条件的结果数为0。
符合条件的结果总数为$16+7+6+5+4+3+2+1=44$，
因此所求概率$P=\frac{44}{90}=\frac{22}{45}$。
【答案】
$\frac{22}{45}$
【知识点】
列举法求概率，分类加法计数原理，不放回抽样概率计算
【点评】
本题解题的关键是合理选择分类标准，按第一次取出的小球标号分类计算符合条件的结果，要特别注意标号为1的球有2个这一特殊条件，避免漏算或错算，计算时注意有序事件的总结果数不要和无序的组合数混淆。
【难度系数】
0.6
1.有三张大小、形状完全相同的卡片，卡片上分别写上数字1,2,3,从这三张卡片中随机抽取两张，将得到的数组成一个两位数，这个两位数是偶数的概率为。
答案
$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$
解析
【分析】
要计算组成的两位数是偶数的概率，首先需要用列举法有序列出所有抽取两张卡片组成两位数的等可能结果，再从中筛选出个位为偶数的符合条件的结果，最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算即可，列举时要注意做到不重复、不遗漏。
【解析】
首先列举所有从三张卡片中任取两张组成的两位数：
可组成的两位数有12、13、21、23、31、32，共6种等可能的结果。
偶数的个位需为偶数，本题中只有个位为2时满足要求，符合条件的两位数为12、32，共2种结果。
根据概率公式，可得所求概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$
【知识点】
列举法求概率；偶数的判定；概率计算公式
【点评】
本题是概率基础题型，解题核心是有序列举所有可能的结果，再结合偶数的特征筛选出符合要求的结果代入公式计算，解题时注意不要出现列举重复或遗漏的问题。
【难度系数】
0.7
要计算组成的两位数是偶数的概率，首先需要用列举法有序列出所有抽取两张卡片组成两位数的等可能结果，再从中筛选出个位为偶数的符合条件的结果，最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算即可，列举时要注意做到不重复、不遗漏。
【解析】
首先列举所有从三张卡片中任取两张组成的两位数：
可组成的两位数有12、13、21、23、31、32，共6种等可能的结果。
偶数的个位需为偶数，本题中只有个位为2时满足要求，符合条件的两位数为12、32，共2种结果。
根据概率公式，可得所求概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$
【知识点】
列举法求概率；偶数的判定；概率计算公式
【点评】
本题是概率基础题型，解题核心是有序列举所有可能的结果，再结合偶数的特征筛选出符合要求的结果代入公式计算，解题时注意不要出现列举重复或遗漏的问题。
【难度系数】
0.7
2.小明上学要连续经过三个十字路口，每个十字路口遇到红、绿灯的概率都相同，小明希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的概率为。
答案
解：
画树状图列举所有等可能的结果：
第一个路口有红、绿2种等可能结果，从每个结果延伸，第二个路口也各有红、绿2种等可能结果，再从第二个路口的每个结果延伸，第三个路口也各有红、绿2种等可能结果。
所有出现的等可能结果共8种，分别为：(红,红,红)、(红,红,绿)、(红,绿,红)、(红,绿,绿)、(绿,红,红)、(绿,红,绿)、(绿,绿,红)、(绿,绿,绿)。
其中三个路口全是绿灯的结果只有1种。
因此，P(经过每个路口都是绿灯) = $\frac{1}{8}$。
画树状图列举所有等可能的结果：
第一个路口有红、绿2种等可能结果，从每个结果延伸，第二个路口也各有红、绿2种等可能结果，再从第二个路口的每个结果延伸，第三个路口也各有红、绿2种等可能结果。
所有出现的等可能结果共8种，分别为：(红,红,红)、(红,红,绿)、(红,绿,红)、(红,绿,绿)、(绿,红,红)、(绿,红,绿)、(绿,绿,红)、(绿,绿,绿)。
其中三个路口全是绿灯的结果只有1种。
因此，P(经过每个路口都是绿灯) = $\frac{1}{8}$。
解析
【分析】
本题为等可能事件的概率求解问题，解题思路如下：首先明确每个十字路口均有红、绿2种等可能的结果，三个路口的结果是分步出现的，我们可以通过树状图列举出所有等可能的总结果数，再从中找出“每个路口都是绿灯”的符合条件的结果数，最后根据“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”的公式计算即可。
【解析】
通过画树状图的方法列举所有等可能的结果：
1. 第一个路口有红、绿2种等可能结果；
2. 从第一个路口的每种结果延伸，第二个路口也各有红、绿2种等可能结果，此时共有2×2=4种结果；
3. 再从第二个路口的每种结果延伸，第三个路口也各有红、绿2种等可能结果，此时总共有2×2×2=8种等可能结果，分别为：(红,红,红)、(红,红,绿)、(红,绿,红)、(红,绿,绿)、(绿,红,红)、(绿,红,绿)、(绿,绿,红)、(绿,绿,绿)。
其中三个路口全是绿灯的结果只有(绿,绿,绿)1种。
根据概率公式可得：$P(\mathrm{经过每个路口都是绿灯}) = \frac{1}{8}$。
【答案】
$\frac{1}{8}$
【知识点】
等可能事件概率；树状图列举法
【点评】
本题是概率计算的基础题型，核心考查对分步事件结果的梳理能力，只要能正确枚举所有等可能的情况，准确匹配符合要求的结果，即可快速得出答案，属于概率部分的常考基础题。
【难度系数】
0.8
本题为等可能事件的概率求解问题，解题思路如下：首先明确每个十字路口均有红、绿2种等可能的结果，三个路口的结果是分步出现的，我们可以通过树状图列举出所有等可能的总结果数，再从中找出“每个路口都是绿灯”的符合条件的结果数，最后根据“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”的公式计算即可。
【解析】
通过画树状图的方法列举所有等可能的结果：
1. 第一个路口有红、绿2种等可能结果；
2. 从第一个路口的每种结果延伸，第二个路口也各有红、绿2种等可能结果，此时共有2×2=4种结果；
3. 再从第二个路口的每种结果延伸，第三个路口也各有红、绿2种等可能结果，此时总共有2×2×2=8种等可能结果，分别为：(红,红,红)、(红,红,绿)、(红,绿,红)、(红,绿,绿)、(绿,红,红)、(绿,红,绿)、(绿,绿,红)、(绿,绿,绿)。
其中三个路口全是绿灯的结果只有(绿,绿,绿)1种。
根据概率公式可得：$P(\mathrm{经过每个路口都是绿灯}) = \frac{1}{8}$。
【答案】
$\frac{1}{8}$
【知识点】
等可能事件概率；树状图列举法
【点评】
本题是概率计算的基础题型，核心考查对分步事件结果的梳理能力，只要能正确枚举所有等可能的情况，准确匹配符合要求的结果，即可快速得出答案，属于概率部分的常考基础题。
【难度系数】
0.8
3.一个盒子中有红、白、黑三个球，它们除颜色外其余完全相同，从中随机摸出两个球，其中一个是红球，另一个是白球的概率为()
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{1}{2}$
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
A
解析
【分析】
这是一道用列举法求概率的基础题，解题思路如下：首先明确该试验的所有结果是等可能的，第一步先列出从3个球中随机摸出2个球的所有等可能结果，第二步找出符合“一个红球、一个白球”的结果数量，最后代入概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算即可。
【解析】
从红、白、黑三个球中随机摸出两个，不考虑摸球顺序时，所有等可能的结果为：（红，白）、（红，黑）、（白，黑），共3种。
其中满足“一个是红球，另一个是白球”的结果有1种。
根据等可能事件的概率公式，所求概率为$\frac{1}{3}$。
（也可通过树状图考虑摸球顺序，共6种等可能结果，符合条件的有2种，概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$，结果一致）
【答案】
A
【知识点】
列举法求概率；概率公式
【点评】
本题属于概率常考基础题，解题的关键是不重复、不遗漏地列举出所有等可能的试验结果，熟练掌握等可能事件的概率计算方法即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
这是一道用列举法求概率的基础题，解题思路如下：首先明确该试验的所有结果是等可能的，第一步先列出从3个球中随机摸出2个球的所有等可能结果，第二步找出符合“一个红球、一个白球”的结果数量，最后代入概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算即可。
【解析】
从红、白、黑三个球中随机摸出两个，不考虑摸球顺序时，所有等可能的结果为：（红，白）、（红，黑）、（白，黑），共3种。
其中满足“一个是红球，另一个是白球”的结果有1种。
根据等可能事件的概率公式，所求概率为$\frac{1}{3}$。
（也可通过树状图考虑摸球顺序，共6种等可能结果，符合条件的有2种，概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$，结果一致）
【答案】
A
【知识点】
列举法求概率；概率公式
【点评】
本题属于概率常考基础题，解题的关键是不重复、不遗漏地列举出所有等可能的试验结果，熟练掌握等可能事件的概率计算方法即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
4.如图,用两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏:分别旋转两个转盘,若其中一个转
第4题图
出红色,另一个转出蓝色即可配成紫色.那么可配成紫色的概率是()
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$
第4题图出红色,另一个转出蓝色即可配成紫色.那么可配成紫色的概率是()
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
D
解析
【分析】
要计算配成紫色的概率，首先明确配紫色的条件是两个转盘分别转出一红一蓝。由于第二个转盘红、蓝区域面积不等，我们可以将它的蓝色区域平均分成2份（每份圆心角120°，和红色区域面积相等），将两个转盘的结果转化为等可能结果，再通过列表列举所有可能情况，统计符合配紫色条件的结果数，最后用符合条件的结果数除以总结果数即可得到概率。
【解析】
我们将第二个转盘的蓝色区域等分为2个圆心角为120°的区域，记为蓝₁、蓝₂，此时第二个转盘共有3种等可能的结果：红、蓝₁、蓝₂；第一个转盘共有2种等可能的结果：红、蓝。
列表分析所有可能的组合：
| 第一个转盘\第二个转盘 | 红 | 蓝₁ | 蓝₂ |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 红 | （红，红） | （红，蓝₁） | （红，蓝₂） |
| 蓝 | （蓝，红） | （蓝，蓝₁） | （蓝，蓝₂） |
一共有6种等可能的结果，其中满足“一个转出红色、另一个转出蓝色”可配成紫色的结果有3种：（红，蓝₁）、（红，蓝₂）、（蓝，红）。
因此可配成紫色的概率 $P=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
列举法求概率，几何概率，概率计算
【点评】
本题是典型的配紫色概率问题，解题关键是将面积不等的区域拆分为等可能的小区域，转化为等可能事件的概率问题，再通过列举法统计结果计算概率，注意不要漏算任意一种符合配紫色要求的情况。
【难度系数】
0.7
要计算配成紫色的概率，首先明确配紫色的条件是两个转盘分别转出一红一蓝。由于第二个转盘红、蓝区域面积不等，我们可以将它的蓝色区域平均分成2份（每份圆心角120°，和红色区域面积相等），将两个转盘的结果转化为等可能结果，再通过列表列举所有可能情况，统计符合配紫色条件的结果数，最后用符合条件的结果数除以总结果数即可得到概率。
【解析】
我们将第二个转盘的蓝色区域等分为2个圆心角为120°的区域，记为蓝₁、蓝₂，此时第二个转盘共有3种等可能的结果：红、蓝₁、蓝₂；第一个转盘共有2种等可能的结果：红、蓝。
列表分析所有可能的组合：
| 第一个转盘\第二个转盘 | 红 | 蓝₁ | 蓝₂ |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 红 | （红，红） | （红，蓝₁） | （红，蓝₂） |
| 蓝 | （蓝，红） | （蓝，蓝₁） | （蓝，蓝₂） |
一共有6种等可能的结果，其中满足“一个转出红色、另一个转出蓝色”可配成紫色的结果有3种：（红，蓝₁）、（红，蓝₂）、（蓝，红）。
因此可配成紫色的概率 $P=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
列举法求概率，几何概率，概率计算
【点评】
本题是典型的配紫色概率问题，解题关键是将面积不等的区域拆分为等可能的小区域，转化为等可能事件的概率问题，再通过列举法统计结果计算概率，注意不要漏算任意一种符合配紫色要求的情况。
【难度系数】
0.7
5.从$-2$，$-1$，$2$这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限的概率是（）
A.$\dfrac{2}{3}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$\dfrac{1}{4}$
A.$\dfrac{2}{3}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$\dfrac{1}{4}$
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，分三步思考：1. 先明确第四象限内点的坐标特征：横坐标为正，纵坐标为负；2. 从三个数中任取两个不同的数作为坐标，坐标是有序的，需列举出所有等可能的点的坐标；3. 找出其中落在第四象限的点的数量，再根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能结果数}}$计算概率即可。
【解析】
首先列举从$-2$，$-1$，$2$中任取两个不同的数作为坐标得到的所有等可能结果：
横坐标取$-2$时，纵坐标可取$-1$、$2$，对应点为$(-2,-1)$、$(-2,2)$；
横坐标取$-1$时，纵坐标可取$-2$、$2$，对应点为$(-1,-2)$、$(-1,2)$；
横坐标取$2$时，纵坐标可取$-2$、$-1$，对应点为$(2,-2)$、$(2,-1)$。
总共有6种等可能的结果。
根据第四象限坐标特征（横坐标$＞0$，纵坐标$＜0$），符合要求的点为$(2,-2)$、$(2,-1)$，共2种结果。
因此该点在第四象限的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
用列举法求概率；平面直角坐标系象限坐标特征
【点评】
本题将坐标系知识与概率计算相结合，解题的关键是准确把握第四象限的坐标特点，同时注意点的坐标是有序的，列举结果时不要漏算或重复计算，属于概率部分的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，分三步思考：1. 先明确第四象限内点的坐标特征：横坐标为正，纵坐标为负；2. 从三个数中任取两个不同的数作为坐标，坐标是有序的，需列举出所有等可能的点的坐标；3. 找出其中落在第四象限的点的数量，再根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能结果数}}$计算概率即可。
【解析】
首先列举从$-2$，$-1$，$2$中任取两个不同的数作为坐标得到的所有等可能结果：
横坐标取$-2$时，纵坐标可取$-1$、$2$，对应点为$(-2,-1)$、$(-2,2)$；
横坐标取$-1$时，纵坐标可取$-2$、$2$，对应点为$(-1,-2)$、$(-1,2)$；
横坐标取$2$时，纵坐标可取$-2$、$-1$，对应点为$(2,-2)$、$(2,-1)$。
总共有6种等可能的结果。
根据第四象限坐标特征（横坐标$＞0$，纵坐标$＜0$），符合要求的点为$(2,-2)$、$(2,-1)$，共2种结果。
因此该点在第四象限的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
用列举法求概率；平面直角坐标系象限坐标特征
【点评】
本题将坐标系知识与概率计算相结合，解题的关键是准确把握第四象限的坐标特点，同时注意点的坐标是有序的，列举结果时不要漏算或重复计算，属于概率部分的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
6.随着信息化的发展,二维码已经走进我们的日常生活,其图案主要由黑白两种小正方形组成.现对由三个小正方形组成的“
”进行涂色,每个小正方形随机涂成黑色或白色,恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为()
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{3}{8}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
”进行涂色,每个小正方形随机涂成黑色或白色,恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为()A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{3}{8}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
B
解析
【分析】
本题属于古典概型的概率计算问题，解题思路可分为三步：首先，明确每个小正方形有黑色、白色2种涂色选择，三个位置不同的小正方形涂色相互独立，可先求出所有等可能的涂色结果总数；其次，列举出所有“恰好两个黑色小正方形和一个白色小正方形”的情况，统计对应的结果数；最后代入概率公式：概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数，即可求出答案。
【解析】
将三个小正方形从左到右依次标记为①、②、③，每个正方形可选择涂黑色或白色，所有等可能的涂色结果如下：
1. ①白、②白、③白
2. ①白、②白、③黑
3. ①白、②黑、③白
4. ①白、②黑、③黑
5. ①黑、②白、③白
6. ①黑、②白、③黑
7. ①黑、②黑、③白
8. ①黑、②黑、③黑
共8种等可能的结果，其中满足“恰好两个黑色小正方形和一个白色小正方形”的结果有第4、6、7种，共3种。
根据概率计算公式可得：$P=\frac{3}{8}$。
【答案】
B
【知识点】
列举法求概率；概率计算公式
【点评】
本题是概率计算的基础题，核心考查对列举法的运用，解题时要注意三个小正方形位置不同，对应的涂色结果要按位置区分，避免漏数、多数结果，掌握列举法和概率公式即可快速解题。
【难度系数】
0.7
本题属于古典概型的概率计算问题，解题思路可分为三步：首先，明确每个小正方形有黑色、白色2种涂色选择，三个位置不同的小正方形涂色相互独立，可先求出所有等可能的涂色结果总数；其次，列举出所有“恰好两个黑色小正方形和一个白色小正方形”的情况，统计对应的结果数；最后代入概率公式：概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数，即可求出答案。
【解析】
将三个小正方形从左到右依次标记为①、②、③，每个正方形可选择涂黑色或白色，所有等可能的涂色结果如下：
1. ①白、②白、③白
2. ①白、②白、③黑
3. ①白、②黑、③白
4. ①白、②黑、③黑
5. ①黑、②白、③白
6. ①黑、②白、③黑
7. ①黑、②黑、③白
8. ①黑、②黑、③黑
共8种等可能的结果，其中满足“恰好两个黑色小正方形和一个白色小正方形”的结果有第4、6、7种，共3种。
根据概率计算公式可得：$P=\frac{3}{8}$。
【答案】
B
【知识点】
列举法求概率；概率计算公式
【点评】
本题是概率计算的基础题，核心考查对列举法的运用，解题时要注意三个小正方形位置不同，对应的涂色结果要按位置区分，避免漏数、多数结果，掌握列举法和概率公式即可快速解题。
【难度系数】
0.7
7.甲、乙、丙三位同学把自己的数学课本放在一起，前一人从中随机抽出一本放回后，下一人再抽，三位同学抽到的课本都是自己课本的概率是（）
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{5}$
D.$\frac{1}{27}$
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{5}$
D.$\frac{1}{27}$
答案
D
解析
【分析】
要计算三位同学都抽到自己课本的概率，首先明确抽取规则为有放回抽取，即每次抽取时都有3本课本可选，三人的抽取结果互不影响。解题时先计算所有等可能的抽取结果总数，再找到“都抽到自己课本”的符合条件的结果数，最后用符合条件的结果数除以总结果数就能得到所求概率。
【解析】
由于每次抽取后都放回，因此每次抽取的总情况数不变：
甲抽课本时，共有3种等可能的结果；
乙抽课本时，仍有3种等可能的结果；
丙抽课本时，同样有3种等可能的结果。
因此三人抽取课本的所有等可能结果总数为 $3×3×3=27$ 种。
其中三位同学都抽到自己课本的情况只有1种，即甲抽到甲的课本、乙抽到乙的课本、丙抽到丙的课本。
根据概率公式 $P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得所求概率为 $\frac{1}{27}$。
【答案】
D
【知识点】
列举法求概率；有放回抽样；概率公式
【点评】
本题属于概率计算的基础题，解题的核心是准确理解“有放回抽取”的规则，不要和不放回抽取混淆，正确计数总事件数和符合条件的事件数即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要计算三位同学都抽到自己课本的概率，首先明确抽取规则为有放回抽取，即每次抽取时都有3本课本可选，三人的抽取结果互不影响。解题时先计算所有等可能的抽取结果总数，再找到“都抽到自己课本”的符合条件的结果数，最后用符合条件的结果数除以总结果数就能得到所求概率。
【解析】
由于每次抽取后都放回，因此每次抽取的总情况数不变：
甲抽课本时，共有3种等可能的结果；
乙抽课本时，仍有3种等可能的结果；
丙抽课本时，同样有3种等可能的结果。
因此三人抽取课本的所有等可能结果总数为 $3×3×3=27$ 种。
其中三位同学都抽到自己课本的情况只有1种，即甲抽到甲的课本、乙抽到乙的课本、丙抽到丙的课本。
根据概率公式 $P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得所求概率为 $\frac{1}{27}$。
【答案】
D
【知识点】
列举法求概率；有放回抽样；概率公式
【点评】
本题属于概率计算的基础题，解题的核心是准确理解“有放回抽取”的规则，不要和不放回抽取混淆，正确计数总事件数和符合条件的事件数即可快速求解。
【难度系数】
0.7
