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$a^2+2ab+b^2=$
$(a+b)^2$
，$a^2-2ab+b^2=$$(a-b)^2$
. 即两个数的平方和
加上（或减去）答案
$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，即两个数的平方和加上（或减去）
解析
【分析】
解题时可从完全平方公式的结构特征出发，结合因式分解是整式乘法的逆变形来思考：首先观察两个多项式的结构，均是三项式，包含两个数的平方项，以及这两个数乘积的2倍的中间项，根据中间项的符号对应逆用和的完全平方公式、差的完全平方公式即可得到因式分解的结果；最后总结两个公式的共性，即可填出第三个空。
【解析】
1. 由整式乘法的完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，逆用公式进行因式分解，可得$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$；
2. 由整式乘法的完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，逆用公式进行因式分解，可得$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$；
3. 观察上述两个等式的左边，均为两个数的平方和加上（或减去）这两个数乘积的2倍，因此第三个空填“平方和”。
【答案】
$(a+b)^2$；$(a-b)^2$；平方和
【知识点】
完全平方公式；公式法因式分解
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对完全平方公式结构的识记与逆用，熟练掌握完全平方公式的符号规律和项的特征是解题的关键，是因式分解模块的核心基础考点。
【难度系数】
0.9
解题时可从完全平方公式的结构特征出发，结合因式分解是整式乘法的逆变形来思考：首先观察两个多项式的结构，均是三项式，包含两个数的平方项，以及这两个数乘积的2倍的中间项，根据中间项的符号对应逆用和的完全平方公式、差的完全平方公式即可得到因式分解的结果；最后总结两个公式的共性，即可填出第三个空。
【解析】
1. 由整式乘法的完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，逆用公式进行因式分解，可得$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$；
2. 由整式乘法的完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，逆用公式进行因式分解，可得$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$；
3. 观察上述两个等式的左边，均为两个数的平方和加上（或减去）这两个数乘积的2倍，因此第三个空填“平方和”。
【答案】
$(a+b)^2$；$(a-b)^2$；平方和
【知识点】
完全平方公式；公式法因式分解
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对完全平方公式结构的识记与逆用，熟练掌握完全平方公式的符号规律和项的特征是解题的关键，是因式分解模块的核心基础考点。
【难度系数】
0.9
这两个数的
积的2倍
，等于这两个数的和（或差）的平方。答案
这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。
解析
【分析】
解题时先回忆完全平方公式的结构特征，完全平方公式分为两数和的平方、两数差的平方两种，我们可以通过对比公式左右两侧的组成部分，结合题干的描述推导空缺内容。完全平方公式的左侧是两数和（或差）的平方，右侧是两数的平方和加（或减）两数积的2倍，逆用公式就对应题干的表述，可直接得出答案。
【解析】
我们学过的完全平方公式如下：
1. 两数和的平方：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，逆写为$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$
2. 两数差的平方：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，逆写为$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$
观察公式可知，两数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方，因此横线处应填“积的2倍”。
【答案】
积的2倍
【知识点】
完全平方公式、因式分解
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对完全平方公式结构的记忆和理解，熟练掌握公式的各项组成，不仅能解答这类概念填空题，也能为后续整式运算、因式分解等复杂题型的求解打好基础。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆完全平方公式的结构特征，完全平方公式分为两数和的平方、两数差的平方两种，我们可以通过对比公式左右两侧的组成部分，结合题干的描述推导空缺内容。完全平方公式的左侧是两数和（或差）的平方，右侧是两数的平方和加（或减）两数积的2倍，逆用公式就对应题干的表述，可直接得出答案。
【解析】
我们学过的完全平方公式如下：
1. 两数和的平方：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，逆写为$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$
2. 两数差的平方：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，逆写为$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$
观察公式可知，两数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方，因此横线处应填“积的2倍”。
【答案】
积的2倍
【知识点】
完全平方公式、因式分解
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对完全平方公式结构的记忆和理解，熟练掌握公式的各项组成，不仅能解答这类概念填空题，也能为后续整式运算、因式分解等复杂题型的求解打好基础。
【难度系数】
0.9
1. 将$a^2 + 24a + 144$分解因式的结果为（
A.$(a+18)(a+8)$
B.$(a+12)(a-12)$
C.$(a+12)^2$
D.$(a-12)^2$
C
）.A.$(a+18)(a+8)$
B.$(a+12)(a-12)$
C.$(a+12)^2$
D.$(a-12)^2$
答案
1. C
解析
【分析】
解题时首先回忆因式分解中完全平方公式的结构特征：两数的平方和加上（或减去）这两数乘积的2倍，等于这两数和（或差）的平方，形式为$x^2\pm2xy+y^2=(x\pm y)^2$。先观察给出的多项式的三项，分别对应公式里的哪一部分，确认符合公式后直接套用，也可以通过展开各选项的整式乘积，和原式对比选出正确答案。
【解析】
方法一：用完全平方公式分解因式
完全平方公式为：$m^2+2mn+n^2=(m+n)^2$
观察多项式$a^2 + 24a + 144$：
首项$a^2=a^2$，对应公式里的$m^2$，即$m=a$；
末项$144=12^2$，对应公式里的$n^2$，即$n=12$；
中间项$24a=2× a×12$，恰好是两数乘积的2倍，符合完全平方和的公式结构。
因此$a^2 + 24a + 144=(a+12)^2$。
方法二：验证排除法
分别展开各选项：
A选项：$(a+18)(a+8)=a^2+8a+18a+144=a^2+26a+144$，与原式不符，排除；
B选项：$(a+12)(a-12)=a^2-12^2=a^2-144$，与原式不符，排除；
D选项：$(a-12)^2=a^2-24a+144$，与原式不符，排除；
只有C选项符合原式。
【答案】
C
【知识点】
1. 完全平方公式分解因式
2. 整式乘法运算
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查对完全平方公式结构特征的掌握，解题时只要准确识别公式中对应的两项，牢记中间项的符号规律即可轻松解答。
【难度系数】
0.85
解题时首先回忆因式分解中完全平方公式的结构特征：两数的平方和加上（或减去）这两数乘积的2倍，等于这两数和（或差）的平方，形式为$x^2\pm2xy+y^2=(x\pm y)^2$。先观察给出的多项式的三项，分别对应公式里的哪一部分，确认符合公式后直接套用，也可以通过展开各选项的整式乘积，和原式对比选出正确答案。
【解析】
方法一：用完全平方公式分解因式
完全平方公式为：$m^2+2mn+n^2=(m+n)^2$
观察多项式$a^2 + 24a + 144$：
首项$a^2=a^2$，对应公式里的$m^2$，即$m=a$；
末项$144=12^2$，对应公式里的$n^2$，即$n=12$；
中间项$24a=2× a×12$，恰好是两数乘积的2倍，符合完全平方和的公式结构。
因此$a^2 + 24a + 144=(a+12)^2$。
方法二：验证排除法
分别展开各选项：
A选项：$(a+18)(a+8)=a^2+8a+18a+144=a^2+26a+144$，与原式不符，排除；
B选项：$(a+12)(a-12)=a^2-12^2=a^2-144$，与原式不符，排除；
D选项：$(a-12)^2=a^2-24a+144$，与原式不符，排除；
只有C选项符合原式。
【答案】
C
【知识点】
1. 完全平方公式分解因式
2. 整式乘法运算
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查对完全平方公式结构特征的掌握，解题时只要准确识别公式中对应的两项，牢记中间项的符号规律即可轻松解答。
【难度系数】
0.85
2. 把$4a^2 -4a +1$分解因式，结果正确的是（
A.$(4a-1)^2$
B.$(4a+1)^2$
C.$(2a-1)^2$
D.$(2a+1)^2$
C
）.A.$(4a-1)^2$
B.$(4a+1)^2$
C.$(2a-1)^2$
D.$(2a+1)^2$
答案
2. C
解析
【分析】
拿到这道分解因式的题目，首先观察多项式的结构：这是一个三项式，优先考虑用完全平方公式分解因式。我们先回忆完全平方公式的结构特征：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，即两个数的平方和加/减这两个数乘积的2倍，等于两个数的和/差的平方。接下来把题中式子和公式对应：先找平方项，$4a^2=(2a)^2$，常数项$1=1^2$，再验证中间项：$-4a=-2×2a×1$，完全符合完全平方差公式的结构，套公式即可得到结果，也可以通过展开选项反向验证答案是否正确。
【解析】
方法一：用完全平方公式直接分解
完全平方差公式为：$\boldsymbol{a^2-2ab+b^2=(a-b)^2}$
将原式变形匹配公式：
$4a^2=(2a)^2$，$1=1^2$，中间项$-4a=-2×2a×1$
因此$4a^2-4a+1=(2a)^2 - 2×2a×1 + 1^2=(2a-1)^2$。
方法二：展开选项验证
A选项：$(4a-1)^2=16a^2-8a+1$，与原式不符，错误；
B选项：$(4a+1)^2=16a^2+8a+1$，与原式不符，错误；
C选项：$(2a-1)^2=4a^2-4a+1$，与原式一致，正确；
D选项：$(2a+1)^2=4a^2+4a+1$，与原式不符，错误。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，尤其要注意中间项的符号和公式结果符号的对应关系，对公式不熟悉时也可以通过整式乘法反向验证结果，降低出错概率。
【难度系数】
0.9
拿到这道分解因式的题目，首先观察多项式的结构：这是一个三项式，优先考虑用完全平方公式分解因式。我们先回忆完全平方公式的结构特征：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，即两个数的平方和加/减这两个数乘积的2倍，等于两个数的和/差的平方。接下来把题中式子和公式对应：先找平方项，$4a^2=(2a)^2$，常数项$1=1^2$，再验证中间项：$-4a=-2×2a×1$，完全符合完全平方差公式的结构，套公式即可得到结果，也可以通过展开选项反向验证答案是否正确。
【解析】
方法一：用完全平方公式直接分解
完全平方差公式为：$\boldsymbol{a^2-2ab+b^2=(a-b)^2}$
将原式变形匹配公式：
$4a^2=(2a)^2$，$1=1^2$，中间项$-4a=-2×2a×1$
因此$4a^2-4a+1=(2a)^2 - 2×2a×1 + 1^2=(2a-1)^2$。
方法二：展开选项验证
A选项：$(4a-1)^2=16a^2-8a+1$，与原式不符，错误；
B选项：$(4a+1)^2=16a^2+8a+1$，与原式不符，错误；
C选项：$(2a-1)^2=4a^2-4a+1$，与原式一致，正确；
D选项：$(2a+1)^2=4a^2+4a+1$，与原式不符，错误。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，尤其要注意中间项的符号和公式结果符号的对应关系，对公式不熟悉时也可以通过整式乘法反向验证结果，降低出错概率。
【难度系数】
0.9
3. 若多项式$x^2 + kx + 16$是完全平方式，则$k$的值为（
A.4
B.$-8$
C.8
D.$\pm8$
D
）.A.4
B.$-8$
C.8
D.$\pm8$
答案
3. D
解析
【分析】
解题时首先回忆完全平方公式的两种形式：两数和的平方、两数差的平方。先将给定多项式的首尾项对应完全平方公式里的平方项，确定对应的a和b，再根据中间项等于首尾底数乘积的2倍，注意符号有正负两种情况，即可求出k的值，不要漏解。
【解析】
完全平方公式为：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。
已知多项式$x^2+kx+16$是完全平方式，可得：
首项$x^2=(x)^2$，对应公式中的$a^2$，即$a=x$；
末项$16=(\pm4)^2$，对应公式中的$b^2$，即$b=\pm4$。
因此该完全平方式为$(x\pm4)^2$，展开得：
$(x+4)^2=x^2+8x+16$，$(x-4)^2=x^2-8x+16$。
对比原式$x^2+kx+16$，可得$k=\pm8$。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式；完全平方式的判定
【点评】
本题是完全平方式的常规考题，核心考查对完全平方公式两种形式的掌握，解题时需注意完全平方式包含和、差两种结构，避免遗漏负系数的情况导致漏解。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆完全平方公式的两种形式：两数和的平方、两数差的平方。先将给定多项式的首尾项对应完全平方公式里的平方项，确定对应的a和b，再根据中间项等于首尾底数乘积的2倍，注意符号有正负两种情况，即可求出k的值，不要漏解。
【解析】
完全平方公式为：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。
已知多项式$x^2+kx+16$是完全平方式，可得：
首项$x^2=(x)^2$，对应公式中的$a^2$，即$a=x$；
末项$16=(\pm4)^2$，对应公式中的$b^2$，即$b=\pm4$。
因此该完全平方式为$(x\pm4)^2$，展开得：
$(x+4)^2=x^2+8x+16$，$(x-4)^2=x^2-8x+16$。
对比原式$x^2+kx+16$，可得$k=\pm8$。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式；完全平方式的判定
【点评】
本题是完全平方式的常规考题，核心考查对完全平方公式两种形式的掌握，解题时需注意完全平方式包含和、差两种结构，避免遗漏负系数的情况导致漏解。
【难度系数】
0.7
4. 分解因式：$3a^2 - 6ab + 3b^2 =$
$3(a-b)^2$
.答案
4. $3(a-b)^2$
解析
【分析】
分解因式遵循“一提二套三查”的思路：第一步先观察多项式各项是否存在公因式，本题各项系数的最大公因数是3，因此优先提取公因式3；第二步看提取公因式后剩余的多项式是否符合乘法公式的结构，剩余的$a^2-2ab+b^2$正好符合完全平方差公式的形式，可套用公式继续分解；最后检查分解结果是否彻底，确认没有可继续分解的因式即可。
【解析】
解：
1. 提取公因式3：
$3a^2 - 6ab + 3b^2 = 3(a^2 - 2ab + b^2)$
2. 套用完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，对括号内的式子分解：
$3(a^2 - 2ab + b^2) = 3(a-b)^2$
3. 检查结果已无法继续分解，分解完成。
【答案】
$3(a-b)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，考查因式分解的常规操作步骤，解题时需注意先提取公因式再套用公式，最终要保证分解结果彻底，不存在可继续分解的因式。
【难度系数】
0.9
分解因式遵循“一提二套三查”的思路：第一步先观察多项式各项是否存在公因式，本题各项系数的最大公因数是3，因此优先提取公因式3；第二步看提取公因式后剩余的多项式是否符合乘法公式的结构，剩余的$a^2-2ab+b^2$正好符合完全平方差公式的形式，可套用公式继续分解；最后检查分解结果是否彻底，确认没有可继续分解的因式即可。
【解析】
解：
1. 提取公因式3：
$3a^2 - 6ab + 3b^2 = 3(a^2 - 2ab + b^2)$
2. 套用完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，对括号内的式子分解：
$3(a^2 - 2ab + b^2) = 3(a-b)^2$
3. 检查结果已无法继续分解，分解完成。
【答案】
$3(a-b)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，考查因式分解的常规操作步骤，解题时需注意先提取公因式再套用公式，最终要保证分解结果彻底，不存在可继续分解的因式。
【难度系数】
0.9
5. 分解因式：$2x^2 -4x +2 =$
$2(x-1)^2$
.答案
5. $2(x-1)^2$
解析
【分析】
分解因式遵循“一提二套三查”的常规思路：第一步先观察多项式各项是否有公因式，本题各项系数的最大公因数是2，所以优先提取公因式2；第二步判断提取公因式后剩余的多项式是否符合乘法公式结构，剩余的$x^2-2x+1$符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的形式，其中$a$对应$x$，$b$对应$1$，直接套用公式即可；第三步检查结果是否分解到不能再分解，确认结果正确。
【解析】
解：
$\begin{aligned}2x^2 -4x +2&=2(x^2 -2x +1) \quad \mathrm{（提取公因式2）}\\&=2(x-1)^2 \quad \mathrm{（套用完全平方差公式）}\end{aligned}$
【答案】
$2(x-1)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式分解因式
【点评】
本题是分解因式的基础题型，重点考查分解因式的标准操作步骤，解题时要注意先提公因式再套用公式，同时需保证分解结果彻底，避免出现漏提公因式、分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.8
分解因式遵循“一提二套三查”的常规思路：第一步先观察多项式各项是否有公因式，本题各项系数的最大公因数是2，所以优先提取公因式2；第二步判断提取公因式后剩余的多项式是否符合乘法公式结构，剩余的$x^2-2x+1$符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的形式，其中$a$对应$x$，$b$对应$1$，直接套用公式即可；第三步检查结果是否分解到不能再分解，确认结果正确。
【解析】
解：
$\begin{aligned}2x^2 -4x +2&=2(x^2 -2x +1) \quad \mathrm{（提取公因式2）}\\&=2(x-1)^2 \quad \mathrm{（套用完全平方差公式）}\end{aligned}$
【答案】
$2(x-1)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式分解因式
【点评】
本题是分解因式的基础题型，重点考查分解因式的标准操作步骤，解题时要注意先提公因式再套用公式，同时需保证分解结果彻底，避免出现漏提公因式、分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.8
6. $9a^2 + \_\_\_\_\_\_ + 25b^2 = (3a - 5b)^2.$
答案
6. $(-30ab)$
解析
【分析】
本题可利用整式乘法和因式分解的互逆关系求解，解题思路如下：首先回忆完全平方差公式的结构特征：$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，展开式包含两个平方项、一个两倍乘积项，乘积项的符号和括号内的减号一致。我们先将等式右侧的完全平方式展开，再和左侧已知的两项对比，就能求出空缺的项。
【解析】
根据完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，将等式右侧的$(3a-5b)^2$展开：
$\begin{aligned}(3a-5b)^2&=(3a)^2-2×3a×5b+(5b)^2\\&=9a^2-30ab+25b^2\end{aligned}$
将展开结果与左侧$9a^2+\_\_\_\_\_\_+25b^2$对比，可得空缺项为$-30ab$，即$(-30ab)$。
【答案】
$(-30ab)$
【知识点】
完全平方公式；整式乘法运算
【点评】
本题是基础类题型，主要考查对完全平方公式结构的掌握程度，解题时要特别注意中间乘积项的符号和括号内运算符号的对应关系，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
本题可利用整式乘法和因式分解的互逆关系求解，解题思路如下：首先回忆完全平方差公式的结构特征：$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，展开式包含两个平方项、一个两倍乘积项，乘积项的符号和括号内的减号一致。我们先将等式右侧的完全平方式展开，再和左侧已知的两项对比，就能求出空缺的项。
【解析】
根据完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，将等式右侧的$(3a-5b)^2$展开：
$\begin{aligned}(3a-5b)^2&=(3a)^2-2×3a×5b+(5b)^2\\&=9a^2-30ab+25b^2\end{aligned}$
将展开结果与左侧$9a^2+\_\_\_\_\_\_+25b^2$对比，可得空缺项为$-30ab$，即$(-30ab)$。
【答案】
$(-30ab)$
【知识点】
完全平方公式；整式乘法运算
【点评】
本题是基础类题型，主要考查对完全平方公式结构的掌握程度，解题时要特别注意中间乘积项的符号和括号内运算符号的对应关系，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
7. 将下列各式分解因式：
(1) $a^2 -16a +64$；
(2) $-m^2 + m - \frac{1}{4}$；
(3) $1 + x + \frac{1}{4}x^2$；
(4) $(m-n)^2 -14(m-n)+49$。
(1) $a^2 -16a +64$；
(2) $-m^2 + m - \frac{1}{4}$；
(3) $1 + x + \frac{1}{4}x^2$；
(4) $(m-n)^2 -14(m-n)+49$。
答案
7. 解：（1）原式$=(a-8)^2$.
（2）原式$=-(m-\dfrac{1}{2})^2$.
（3）原式$=(1+\dfrac{1}{2}x)^2$.
（4）原式$=(m-n-7)^2$.
（2）原式$=-(m-\dfrac{1}{2})^2$.
（3）原式$=(1+\dfrac{1}{2}x)^2$.
（4）原式$=(m-n-7)^2$.
解析
【分析】
本题考查运用完全平方公式分解因式，完全平方公式因式分解的形式为：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，解题思路如下：①先观察式子结构，判断是否符合“平方项±两倍乘积项+平方项”的完全平方结构；②若首项系数为负，先提取负号，将平方项系数化为正；③找准公式中对应的$a$和$b$，对于有整体结构的式子，可将整体看作一个字母代入计算；④最终整理为完全平方的形式。
【解析】
（1）观察式子$a^2 -16a +64$，两个平方项分别为$a^2$、$8^2$，乘积的2倍为$2× a×8=16a$，符合差的完全平方结构，因此：
原式$=a^2 -2× a×8 +8^2=(a-8)^2$
（2）观察式子$-m^2 + m - \frac{1}{4}$，首项系数为负，先提取负号，可得：
原式$=-(m^2 - m + \frac{1}{4})$
括号内两个平方项为$m^2$、$(\frac{1}{2})^2$，乘积的2倍为$2× m×\frac{1}{2}=m$，符合差的完全平方结构，因此：
原式$=-[m^2 -2× m×\frac{1}{2} +(\frac{1}{2})^2]=-(m-\frac{1}{2})^2$
（3）观察式子$1 + x + \frac{1}{4}x^2$，两个平方项为$1^2$、$(\frac{1}{2}x)^2$，乘积的2倍为$2×1×\frac{1}{2}x=x$，符合和的完全平方结构，因此：
原式$=1^2 +2×1×\frac{1}{2}x +(\frac{1}{2}x)^2=(1+\frac{1}{2}x)^2$
（4）观察式子$(m-n)^2 -14(m-n)+49$，将$(m-n)$看作整体，两个平方项为$(m-n)^2$、$7^2$，乘积的2倍为$2×(m-n)×7=14(m-n)$，符合差的完全平方结构，因此：
原式$=(m-n)^2 -2×(m-n)×7 +7^2=(m-n-7)^2$
【答案】
(1) $(a-8)^2$；(2) $-(m-\dfrac{1}{2})^2$；(3) $(1+\dfrac{1}{2}x)^2$；(4) $(m-n-7)^2$
【知识点】
完全平方公式分解因式，提公因式法，整体思想
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心是识别完全平方公式的结构特征，解题时注意首项为负先提负号，遇到多项式作为整体的情况可通过换元思路简化判断，分解后可展开验证结果是否正确。
【难度系数】
0.85
本题考查运用完全平方公式分解因式，完全平方公式因式分解的形式为：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，解题思路如下：①先观察式子结构，判断是否符合“平方项±两倍乘积项+平方项”的完全平方结构；②若首项系数为负，先提取负号，将平方项系数化为正；③找准公式中对应的$a$和$b$，对于有整体结构的式子，可将整体看作一个字母代入计算；④最终整理为完全平方的形式。
【解析】
（1）观察式子$a^2 -16a +64$，两个平方项分别为$a^2$、$8^2$，乘积的2倍为$2× a×8=16a$，符合差的完全平方结构，因此：
原式$=a^2 -2× a×8 +8^2=(a-8)^2$
（2）观察式子$-m^2 + m - \frac{1}{4}$，首项系数为负，先提取负号，可得：
原式$=-(m^2 - m + \frac{1}{4})$
括号内两个平方项为$m^2$、$(\frac{1}{2})^2$，乘积的2倍为$2× m×\frac{1}{2}=m$，符合差的完全平方结构，因此：
原式$=-[m^2 -2× m×\frac{1}{2} +(\frac{1}{2})^2]=-(m-\frac{1}{2})^2$
（3）观察式子$1 + x + \frac{1}{4}x^2$，两个平方项为$1^2$、$(\frac{1}{2}x)^2$，乘积的2倍为$2×1×\frac{1}{2}x=x$，符合和的完全平方结构，因此：
原式$=1^2 +2×1×\frac{1}{2}x +(\frac{1}{2}x)^2=(1+\frac{1}{2}x)^2$
（4）观察式子$(m-n)^2 -14(m-n)+49$，将$(m-n)$看作整体，两个平方项为$(m-n)^2$、$7^2$，乘积的2倍为$2×(m-n)×7=14(m-n)$，符合差的完全平方结构，因此：
原式$=(m-n)^2 -2×(m-n)×7 +7^2=(m-n-7)^2$
【答案】
(1) $(a-8)^2$；(2) $-(m-\dfrac{1}{2})^2$；(3) $(1+\dfrac{1}{2}x)^2$；(4) $(m-n-7)^2$
【知识点】
完全平方公式分解因式，提公因式法，整体思想
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心是识别完全平方公式的结构特征，解题时注意首项为负先提负号，遇到多项式作为整体的情况可通过换元思路简化判断，分解后可展开验证结果是否正确。
【难度系数】
0.85
