14.1 如图14-1，已知$△ ABC ≌ △ DEF$，$∠ A=85°$，$∠ B=60°$，$AB=8$，$EH=2$.
（1）求$∠ F$的度数与$DH$的长；
（2）求证$AB // DE$.

14.1（1）解：$\because ∠A=85°, ∠B=60°,$
$\therefore ∠ACB=180°-∠A-∠B=35°.$
$\because △ABC≌△DEF, AB=8,$
$\therefore ∠F=∠ACB=35°, DE=AB=8.$
$\because EH=2, \therefore DH=DE-EH=8-2=6.$
（2）证明：$\because △ABC≌△DEF,$
$\therefore ∠B=∠DEF. \therefore AB// DE.$

【分析】
（1）求解∠F时，先利用三角形内角和为180°计算出△ABC中∠ACB的度数，再结合全等三角形对应角相等的性质，即可得到∠F的度数；求解DH长度时，先根据全等三角形对应边相等得到DE=AB，再用DE的长度减去EH的长度即可得到DH的长。
（2）要证明AB//DE，可通过判定同位角相等推导，根据全等三角形对应角相等可得到∠B=∠DEF，二者为同位角，同位角相等即可推出两直线平行。
【解析】
（1）解：
$\because ∠A=85°, ∠B=60°,$
$\therefore ∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-85°-60°=35°.$
$\because △ABC≌△DEF, AB=8,$
$\therefore ∠F=∠ACB=35°, DE=AB=8.$
$\because EH=2,$
$\therefore DH=DE-EH=8-2=6.$
（2）证明：
$\because △ABC≌△DEF,$
$\therefore ∠B=∠DEF,$
$\therefore AB// DE$（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
（1）$\boldsymbol{∠F=35°}$，$\boldsymbol{DH=6}$；
（2）$AB// DE$，证明如上。
【知识点】
三角形内角和定理；全等三角形的性质；平行线的判定
【点评】
本题是全等三角形性质的基础应用题型，同时结合了三角形内角和计算与平行线判定的知识点，解题的关键是准确找到全等三角形的对应边和对应角。
【难度系数】
0.8

14.2 如图14-2①，$AB=4\ \mathrm{cm}$，$AC⊥ AB$，$BD⊥ AB$，垂足分别为$A$，$B$，$AC=BD=3\ \mathrm{cm}$. 点$P$在线段$AB$上以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度由点$A$向点$B$运动，同时，点$Q$在线段$BD$上由点$B$向点$D$运动，它们运动的时间为$t\ \mathrm{s}$.
（1）若点$Q$的运动速度与点$P$的运动速度相等，当$t=1$时，$△ ACP$与$△ BPQ$是否全等？判断此时线段$PC$和线段$PQ$的位置关系，请说明理由.
（2）如图14-2②，将图14-2①中的“$AC⊥ AB$，$BD⊥ AB$”改为“$∠ CAB=∠ DBA=60°$”，其他条件不变. 设点$Q$的运动速度为$x\ \mathrm{cm/s}$，是否存在实数$x$，使得$△ ACP$与$△ BPQ$全等？若存在，求出相应的$x$，$t$的值；若不存在，请说明理由.

图14-2

14.2 解：（1）当$t=1$时，$△ACP≌△BPQ$，此时$PC⊥PQ$.
理由如下：当$t=1$时，$AP=BQ=1\ \mathrm{cm}.$
$\therefore BP=AB-AP=3\ \mathrm{cm}.$
在$△ACP$和$△BPQ$中，$\begin{cases} AP=BQ, \\ ∠A=∠B=90°, \\ AC=BP, \end{cases}$
$\therefore △ACP≌△BPQ\ (\mathrm{SAS}).$
$\therefore ∠ACP=∠BPQ.$
$\therefore ∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°.$
$\therefore ∠CPQ=90°. \therefore PC⊥PQ.$
（2）存在. 由题意，得$AP=t\ \mathrm{cm}, BP=(4-t)\mathrm{cm}, AC=3\ \mathrm{cm}, BQ=xt\ \mathrm{cm}.$ 经分析可知，$△ACP$和$△BPQ$全等只有$△ACP≌△BPQ$和$△ACP≌△BQP$两种情况符合题意. 下面分两种情况分别求解：
①若$△ACP≌△BPQ$，
则$AC=BP, AP=BQ.$
$\therefore \begin{cases} 3=4-t, \\ t=xt, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} t=1, \\ x=1; \end{cases}$
②若$△ACP≌△BQP$，
则$AC=BQ, AP=BP.$
$\therefore \begin{cases} 3=xt, \\ t=4-t, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} t=2, \\ x=\dfrac{3}{2}. \end{cases}$
综上所述，当$x=1, t=1$或$x=\dfrac{3}{2}, t=2$时，$△ACP$与$△BPQ$全等.

【分析】
（1）先根据点P、Q的运动速度和时间t=1，计算出AP、BQ、BP的长度，结合已知的∠A=∠B=90°、AC=3cm的条件，可通过SAS判定两个三角形全等；再利用全等三角形对应角相等的性质，结合直角三角形两锐角互余，推导∠CPQ的度数即可得到PC与PQ的位置关系。
（2）当∠CAB=∠DBA=60°时，△ACP与△BPQ全等的对应顶点不唯一，需分两种情况讨论：①△ACP≌△BPQ，②△ACP≌△BQP，根据全等三角形对应边相等分别列方程组，求解即可得到符合条件的x和t的值。
【解析】
（1）当$t=1$时，$△ACP≌△BPQ$，此时$PC⊥PQ$。
理由如下：当$t=1$时，$AP=BQ=1\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BP=AB-AP=4-1=3\ \mathrm{cm}$，
在$△ACP$和$△BPQ$中，$\begin{cases} AP=BQ, \\ ∠A=∠B=90°, \\ AC=BP, \end{cases}$
$\therefore △ACP≌△BPQ\ (\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ACP=∠BPQ$，
$\therefore ∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°$，
$\therefore ∠CPQ=90°$，即$PC⊥PQ$。
（2）存在，由题意得：$AP=t\ \mathrm{cm}$，$BP=(4-t)\mathrm{cm}$，$AC=3\ \mathrm{cm}$，$BQ=xt\ \mathrm{cm}$，
△ACP和△BPQ全等有两种情况：
①若$△ACP≌△BPQ$，则$AC=BP$，$AP=BQ$，
$\therefore \begin{cases} 3=4-t, \\ t=xt, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} t=1, \\ x=1; \end{cases}$
②若$△ACP≌△BQP$，则$AC=BQ$，$AP=BP$，
$\therefore \begin{cases} 3=xt, \\ t=4-t, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} t=2, \\ x=\dfrac{3}{2}. \end{cases}$
综上，当$x=1,t=1$或$x=\dfrac{3}{2},t=2$时，$△ACP$与$△BPQ$全等。
【答案】
（1）$△ ACP≌△ BPQ$，$PC⊥ PQ$；
（2）存在，$\begin{cases} t=1 \\ x=1 \end{cases}$或$\begin{cases} t=2 \\ x=\dfrac{3}{2} \end{cases}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，分类讨论思想
【点评】
本题是三角形全等的经典动点问题，既考查了全等三角形判定、性质的基础应用，又通过全等对应关系的不确定性，考查分类讨论的数学思想，解题时需注意梳理清楚所有可能的对应情况，避免漏解。
【难度系数】
0.65