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14.3（1）在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的
（2）∠AOB的位置如图14-3所示，则到∠AOB两边距离相等的点是点
图14-3
平分线
；（2）∠AOB的位置如图14-3所示，则到∠AOB两边距离相等的点是点
M
。图14-3
答案
14.3（1）平分线 （2）M
解析
【分析】
（1）本题考查角内部到角两边距离相等的点的轨迹，结合角平分线的判定定理思考即可：角的内部到角两边距离相等的点都在角的平分线上，反过来角平分线上的点都满足到两边距离相等，因此这类点的轨迹就是角的平分线。
（2）第二问需要结合网格判断哪个点在∠AOB的平分线上，只需逐个分析各点到OA、OB的垂直距离是否相等，距离相等的点即为所求。
【解析】
（1）根据角平分线的判定定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上，因此满足条件的点的轨迹是这个角的平分线。
（2）观察网格中各点：点P、Q到OB的垂直距离大于到OA的垂直距离，不满足距离相等；点N到OA的垂直距离大于到OB的垂直距离，不满足要求；只有点M到∠AOB两边OA、OB的垂直距离相等，符合条件。
【答案】
（1）平分线；（2）M
【知识点】
1. 角平分线的判定
2. 点到直线的距离
【点评】
本题属于基础题，重点考查角平分线判定定理的理解与应用，第一问是基础概念识记，第二问结合网格考查实际判断能力，整体难度低，掌握角平分线的判定结论即可快速解题。
【难度系数】
0.8
（1）本题考查角内部到角两边距离相等的点的轨迹，结合角平分线的判定定理思考即可：角的内部到角两边距离相等的点都在角的平分线上，反过来角平分线上的点都满足到两边距离相等，因此这类点的轨迹就是角的平分线。
（2）第二问需要结合网格判断哪个点在∠AOB的平分线上，只需逐个分析各点到OA、OB的垂直距离是否相等，距离相等的点即为所求。
【解析】
（1）根据角平分线的判定定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上，因此满足条件的点的轨迹是这个角的平分线。
（2）观察网格中各点：点P、Q到OB的垂直距离大于到OA的垂直距离，不满足距离相等；点N到OA的垂直距离大于到OB的垂直距离，不满足要求；只有点M到∠AOB两边OA、OB的垂直距离相等，符合条件。
【答案】
（1）平分线；（2）M
【知识点】
1. 角平分线的判定
2. 点到直线的距离
【点评】
本题属于基础题，重点考查角平分线判定定理的理解与应用，第一问是基础概念识记，第二问结合网格考查实际判断能力，整体难度低，掌握角平分线的判定结论即可快速解题。
【难度系数】
0.8
1.（北京中考）下面是“作一个角使其等于$∠ AOB$”的尺规作图方法.
（1）如图14-4，以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA，OB于点C，D；
（2）作射线$O'A'$，以点$O'$为圆心，OC为半径作弧，交$O'A'$于点$C'$；以点$C'$为圆心，CD为半径作弧，两弧交于点$D'$；
（3）过点$D'$作射线$O'B'$，则$∠ A'O'B'=∠ AOB$.
图14-4
上述方法通过判定$△ C'O'D' ≌ △ COD$得到$∠ A'O'B'=∠ AOB$，其中判定$△ C'O'D' ≌ △ COD$的依据是（
A. 三边分别相等的两个三角形全等
B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
（1）如图14-4，以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA，OB于点C，D；
（2）作射线$O'A'$，以点$O'$为圆心，OC为半径作弧，交$O'A'$于点$C'$；以点$C'$为圆心，CD为半径作弧，两弧交于点$D'$；
（3）过点$D'$作射线$O'B'$，则$∠ A'O'B'=∠ AOB$.
图14-4
上述方法通过判定$△ C'O'D' ≌ △ COD$得到$∠ A'O'B'=∠ AOB$，其中判定$△ C'O'D' ≌ △ COD$的依据是（
A
）.A. 三边分别相等的两个三角形全等
B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
答案
1. A
解析
【分析】
要判断两个三角形全等的依据，首先需要从尺规作图的步骤中提取两个三角形对应边的等量关系，再匹配全等三角形的判定定理即可。首先梳理作图过程中得到的相等线段：第一步作弧得到OC、OD是同圆半径，长度相等；第二步作弧时分别以OC、CD为半径作弧，可得到两组对应边相等，再结合半径相等得到第三组边相等，即可确定全等依据。
【解析】
根据尺规作图的步骤推导对应边的关系：
1. 以点O为圆心作弧时，OC和OD都是该弧的半径，因此$OC=OD$；
2. 以点$O'$为圆心，OC长为半径作弧时，$O'C'$和$O'D'$都是该弧的半径，因此$O'C'=O'D'=OC$，可得$OC=O'C'$，$OD=O'D'$；
3. 以点$C'$为圆心，CD长为半径作弧，因此$C'D'=CD$。
综上，在$△ C'O'D'$和$△ COD$中，三组对应边分别相等：$\begin{cases} O'C'=OC \\ O'D'=OD \\ C'D'=CD \end{cases}$，符合“三边分别相等的两个三角形全等”的判定定理，因此判定依据为SSS。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形SSS判定；尺规作等角
【点评】
本题结合尺规作图操作考查全等三角形的判定，解题的核心是从作图步骤中提炼出对应边的等量关系，属于对基础操作原理和概念的考查，熟悉作图步骤和全等判定定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
要判断两个三角形全等的依据，首先需要从尺规作图的步骤中提取两个三角形对应边的等量关系，再匹配全等三角形的判定定理即可。首先梳理作图过程中得到的相等线段：第一步作弧得到OC、OD是同圆半径，长度相等；第二步作弧时分别以OC、CD为半径作弧，可得到两组对应边相等，再结合半径相等得到第三组边相等，即可确定全等依据。
【解析】
根据尺规作图的步骤推导对应边的关系：
1. 以点O为圆心作弧时，OC和OD都是该弧的半径，因此$OC=OD$；
2. 以点$O'$为圆心，OC长为半径作弧时，$O'C'$和$O'D'$都是该弧的半径，因此$O'C'=O'D'=OC$，可得$OC=O'C'$，$OD=O'D'$；
3. 以点$C'$为圆心，CD长为半径作弧，因此$C'D'=CD$。
综上，在$△ C'O'D'$和$△ COD$中，三组对应边分别相等：$\begin{cases} O'C'=OC \\ O'D'=OD \\ C'D'=CD \end{cases}$，符合“三边分别相等的两个三角形全等”的判定定理，因此判定依据为SSS。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形SSS判定；尺规作等角
【点评】
本题结合尺规作图操作考查全等三角形的判定，解题的核心是从作图步骤中提炼出对应边的等量关系，属于对基础操作原理和概念的考查，熟悉作图步骤和全等判定定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
2. 要得知某一池塘两端A，B的距离，发现其无法直接测量，两名同学提供了如下间接测量方案.
方案Ⅰ：如图14-5①，先过点B作$BF⊥AB$，再在BF上取C，D两点，使$BC=CD$，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测量DE的长即可；
方案Ⅱ：如图14-5②，过点B作$BD⊥AB$，再由点D观测，用测角仪在AB的延长线上取一点C，使$∠BDC=∠BDA$，则测量BC的长即可.
对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（
A.只有方案Ⅰ可行
B.只有方案Ⅱ可行
C.方案Ⅰ和Ⅱ都可行
D.方案Ⅰ和Ⅱ都不可行
方案Ⅰ：如图14-5①，先过点B作$BF⊥AB$，再在BF上取C，D两点，使$BC=CD$，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测量DE的长即可；
方案Ⅱ：如图14-5②，过点B作$BD⊥AB$，再由点D观测，用测角仪在AB的延长线上取一点C，使$∠BDC=∠BDA$，则测量BC的长即可.
对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（
C
）.A.只有方案Ⅰ可行
B.只有方案Ⅱ可行
C.方案Ⅰ和Ⅱ都可行
D.方案Ⅰ和Ⅱ都不可行
答案
2. C
解析
【分析】
要判断两个方案是否可行，核心是验证测量的线段是否和AB相等，可通过证明三角形全等来推导：首先看方案Ⅰ的已知条件，有垂直得到的直角、相等的边BC=CD、对顶角相等，可利用ASA证明△ABC和△EDC全等，得到AB=DE；再看方案Ⅱ，有垂直得到的直角、公共边BD、相等的角∠BDC=∠BDA，也可利用ASA证明△ABD和△CBD全等，得到AB=BC，因此两个方案均可行。
【解析】
方案Ⅰ可行性证明：
已知$BF⊥AB$，$DE⊥BF$，因此$∠ ABC=∠ EDC=90°$。
在$△ ABC$和$△ EDC$中：
$\begin{cases}∠ ABC=∠ EDC \\BC=DC \\∠ ACB=∠ ECD \quad (\mathrm{对顶角相等})\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ EDC \ (\mathrm{ASA})$，
$\therefore AB=DE$，即测量DE的长度即可得到AB的长度，方案Ⅰ可行。
方案Ⅱ可行性证明：
已知$BD⊥AB$，因此$∠ ABD=∠ CBD=90°$。
在$△ ABD$和$△ CBD$中：
$\begin{cases}∠ ABD=∠ CBD \\BD=BD \quad (\mathrm{公共边}) \\∠ BDA=∠ BDC\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ CBD \ (\mathrm{ASA})$，
$\therefore AB=BC$，即测量BC的长度即可得到AB的长度，方案Ⅱ可行。
综上，方案Ⅰ和方案Ⅱ都可行。
【答案】
C
【知识点】
ASA判定三角形全等；全等三角形对应边相等；构造全等测距离
【点评】
本题结合实际测量场景考查全等三角形的应用，解题的关键是结合已知条件找到全等的判定依据，将不可直接测量的线段转化为可测量的线段，体现了数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
要判断两个方案是否可行，核心是验证测量的线段是否和AB相等，可通过证明三角形全等来推导：首先看方案Ⅰ的已知条件，有垂直得到的直角、相等的边BC=CD、对顶角相等，可利用ASA证明△ABC和△EDC全等，得到AB=DE；再看方案Ⅱ，有垂直得到的直角、公共边BD、相等的角∠BDC=∠BDA，也可利用ASA证明△ABD和△CBD全等，得到AB=BC，因此两个方案均可行。
【解析】
方案Ⅰ可行性证明：
已知$BF⊥AB$，$DE⊥BF$，因此$∠ ABC=∠ EDC=90°$。
在$△ ABC$和$△ EDC$中：
$\begin{cases}∠ ABC=∠ EDC \\BC=DC \\∠ ACB=∠ ECD \quad (\mathrm{对顶角相等})\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ EDC \ (\mathrm{ASA})$，
$\therefore AB=DE$，即测量DE的长度即可得到AB的长度，方案Ⅰ可行。
方案Ⅱ可行性证明：
已知$BD⊥AB$，因此$∠ ABD=∠ CBD=90°$。
在$△ ABD$和$△ CBD$中：
$\begin{cases}∠ ABD=∠ CBD \\BD=BD \quad (\mathrm{公共边}) \\∠ BDA=∠ BDC\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ CBD \ (\mathrm{ASA})$，
$\therefore AB=BC$，即测量BC的长度即可得到AB的长度，方案Ⅱ可行。
综上，方案Ⅰ和方案Ⅱ都可行。
【答案】
C
【知识点】
ASA判定三角形全等；全等三角形对应边相等；构造全等测距离
【点评】
本题结合实际测量场景考查全等三角形的应用，解题的关键是结合已知条件找到全等的判定依据，将不可直接测量的线段转化为可测量的线段，体现了数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
