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2. 判断题(正确的打“√”，错误的打“×”)：
（1）经过三个点可以作圆；（
（2）三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；（
（3）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；（
（4）任意一个圆一定有一个内接三角形，且只有一个内接三角形。（
（1）经过三个点可以作圆；（
×
）（2）三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；（
√
）（3）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；（
√
）（4）任意一个圆一定有一个内接三角形，且只有一个内接三角形。（
×
）答案
(1) × (2) √ (3) √ (4) ×
解析
【分析】
解答本题需要紧扣确定圆的条件、三角形外心的定义与性质、外接圆和圆的内接三角形的相关概念，逐一判断每个命题的表述是否完整、符合定理要求，尤其要注意概念成立的前提条件，避免忽略限制条件导致判断错误。
【解析】
（1）只有经过不在同一条直线上的三个点才能确定一个圆，若三个点共线，不存在同时经过这三个点的圆，原说法未说明三点不共线，表述错误；
（2）三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离都等于其外接圆的半径，因此到各顶点的距离都相等，表述正确；
（3）任意三角形的三个顶点都不在同一条直线上，根据“不在同一直线上的三个点确定唯一的一个圆”，可知任意三角形有且只有一个外接圆，表述正确；
（4）在一个圆上任取三个不共线的点，连接即可得到该圆的一个内接三角形，因此一个圆有无数个内接三角形，原说法错误。
【答案】
(1)× (2)√ (3)√ (4)×
【知识点】
确定圆的条件；三角形外心的性质；圆的内接三角形
【点评】
本题考查圆的相关基础概念，解题的核心是准确把握各类概念的成立条件，切忌因遗漏前提（如三点不共线）或对概念理解不透彻出现判断失误。
【难度系数】
0.8
解答本题需要紧扣确定圆的条件、三角形外心的定义与性质、外接圆和圆的内接三角形的相关概念，逐一判断每个命题的表述是否完整、符合定理要求，尤其要注意概念成立的前提条件，避免忽略限制条件导致判断错误。
【解析】
（1）只有经过不在同一条直线上的三个点才能确定一个圆，若三个点共线，不存在同时经过这三个点的圆，原说法未说明三点不共线，表述错误；
（2）三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离都等于其外接圆的半径，因此到各顶点的距离都相等，表述正确；
（3）任意三角形的三个顶点都不在同一条直线上，根据“不在同一直线上的三个点确定唯一的一个圆”，可知任意三角形有且只有一个外接圆，表述正确；
（4）在一个圆上任取三个不共线的点，连接即可得到该圆的一个内接三角形，因此一个圆有无数个内接三角形，原说法错误。
【答案】
(1)× (2)√ (3)√ (4)×
【知识点】
确定圆的条件；三角形外心的性质；圆的内接三角形
【点评】
本题考查圆的相关基础概念，解题的核心是准确把握各类概念的成立条件，切忌因遗漏前提（如三点不共线）或对概念理解不透彻出现判断失误。
【难度系数】
0.8
3. 已知线段$AB=2\ \mathrm{cm}.$
（1）画半径为1 cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？
（2）画半径为2 cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？
（3）能画出半径为0.5 cm的圆，使它经过A，B两点吗？
（1）画半径为1 cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？
（2）画半径为2 cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？
（3）能画出半径为0.5 cm的圆，使它经过A，B两点吗？
答案
(1) 1个 (2) 2个 (3) 不能
解析
【分析】
过A、B两点的圆的圆心到A、B的距离都等于半径，因此圆心一定在线段AB的垂直平分线上。解题时我们先找到AB的中点，计算AB长度的一半，再结合给出的半径长度，判断在AB的垂直平分线上到A点距离等于半径的点的个数，即可得到对应圆的个数；若不存在这样的点，则无法画出符合要求的圆。
【解析】
要使圆经过A、B两点，则圆心O满足OA=OB=r（r为圆的半径），因此圆心O在线段AB的垂直平分线上。
取AB的中点C，则$AC=BC=\frac{1}{2}AB=1\mathrm{cm}$，且$OC⊥ AB$，$△ OAC$为直角三角形，OA为斜边。
(1) 当$r=1\mathrm{cm}$时，$OA=1\mathrm{cm}=AC$，直角三角形中斜边等于直角边时，另一条直角边$OC=0$，即圆心与点C重合，仅存在1个符合条件的圆心，因此这样的圆能画1个。
(2) 当$r=2\mathrm{cm}$时，$OA=2\mathrm{cm}＞AC=1\mathrm{cm}$，由勾股定理得$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}\mathrm{cm}$，点O可在AB上方距C点$\sqrt{3}\mathrm{cm}$处，也可在AB下方距C点$\sqrt{3}\mathrm{cm}$处，共2个符合条件的圆心，因此这样的圆能画2个。
(3) 当$r=0.5\mathrm{cm}$时，$OA=0.5\mathrm{cm}＜AC=1\mathrm{cm}$，直角三角形中斜边长度必须大于直角边，不存在满足条件的点O，因此不能画出这样的圆。
【答案】
(1) 1个；(2) 2个；(3) 不能
【知识点】
确定圆的条件；线段垂直平分线的性质；直角三角形三边关系
【点评】
本题核心是掌握过两点的圆的圆心轨迹为两点连线的垂直平分线，结合半径长度判断符合条件的圆心个数即可解题，分析时结合直角三角形的边长特性可快速判断是否存在符合要求的圆，注意不要遗漏垂直平分线上下两侧的圆心情况。
【难度系数】
0.7
过A、B两点的圆的圆心到A、B的距离都等于半径，因此圆心一定在线段AB的垂直平分线上。解题时我们先找到AB的中点，计算AB长度的一半，再结合给出的半径长度，判断在AB的垂直平分线上到A点距离等于半径的点的个数，即可得到对应圆的个数；若不存在这样的点，则无法画出符合要求的圆。
【解析】
要使圆经过A、B两点，则圆心O满足OA=OB=r（r为圆的半径），因此圆心O在线段AB的垂直平分线上。
取AB的中点C，则$AC=BC=\frac{1}{2}AB=1\mathrm{cm}$，且$OC⊥ AB$，$△ OAC$为直角三角形，OA为斜边。
(1) 当$r=1\mathrm{cm}$时，$OA=1\mathrm{cm}=AC$，直角三角形中斜边等于直角边时，另一条直角边$OC=0$，即圆心与点C重合，仅存在1个符合条件的圆心，因此这样的圆能画1个。
(2) 当$r=2\mathrm{cm}$时，$OA=2\mathrm{cm}＞AC=1\mathrm{cm}$，由勾股定理得$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}\mathrm{cm}$，点O可在AB上方距C点$\sqrt{3}\mathrm{cm}$处，也可在AB下方距C点$\sqrt{3}\mathrm{cm}$处，共2个符合条件的圆心，因此这样的圆能画2个。
(3) 当$r=0.5\mathrm{cm}$时，$OA=0.5\mathrm{cm}＜AC=1\mathrm{cm}$，直角三角形中斜边长度必须大于直角边，不存在满足条件的点O，因此不能画出这样的圆。
【答案】
(1) 1个；(2) 2个；(3) 不能
【知识点】
确定圆的条件；线段垂直平分线的性质；直角三角形三边关系
【点评】
本题核心是掌握过两点的圆的圆心轨迹为两点连线的垂直平分线，结合半径长度判断符合条件的圆心个数即可解题，分析时结合直角三角形的边长特性可快速判断是否存在符合要求的圆，注意不要遗漏垂直平分线上下两侧的圆心情况。
【难度系数】
0.7
4. 如图，AB和CD两根金属棒组成一个工具.CD所在的直线垂直平分线段AB，用这样的工具怎样找到圆形工件的圆心？
答案
因为点 A,B 在圆上,所以圆心必与点 A,B 的距离相等,所以圆心在 CD 所在的直线上.因此使用这样的工具可以作出圆形工件的任意两条直径,它们的交点就是圆心
解析
【分析】
要找到圆形工件的圆心，首先明确圆心的核心性质：圆心到圆周上任意两点的距离都相等。根据线段垂直平分线的性质，到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。本题的工具中CD所在直线是AB的垂直平分线，当A、B落在圆周上时，AB是圆的一条弦，因此圆心一定在CD所在的直线上。只要画出两条这样的直线，它们的交点就是同时在两条弦的垂直平分线上的点，也就是圆心。
【解析】
操作步骤如下：
1. 把工具的A、B两点靠在圆形工件的边缘，使A、B都落在圆周上，沿CD所在的直线在工件上画出第一条直线；
2. 更换A、B在圆周上的位置，重复上述操作，沿CD画出第二条直线；
3. 两条直线的交点就是圆形工件的圆心。
原理：圆上任意两点到圆心的距离相等，因此圆心在任意一条弦的垂直平分线上，两条不同弦的垂直平分线的交点即为圆心。
【答案】
因为点 A,B 在圆上,所以圆心必与点 A,B 的距离相等,所以圆心在 CD 所在的直线上.因此使用这样的工具可以作出圆形工件的任意两条直径,它们的交点就是圆心
【知识点】
垂直平分线的性质、弦的垂直平分线特征、确定圆心的方法
【点评】
本题结合实际操作工具考查圆的相关性质，解题的关键是掌握“弦的垂直平分线经过圆心”这一规律，体现了数学知识在实际生活中的应用，难度较低。
【难度系数】
0.8
要找到圆形工件的圆心，首先明确圆心的核心性质：圆心到圆周上任意两点的距离都相等。根据线段垂直平分线的性质，到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。本题的工具中CD所在直线是AB的垂直平分线，当A、B落在圆周上时，AB是圆的一条弦，因此圆心一定在CD所在的直线上。只要画出两条这样的直线，它们的交点就是同时在两条弦的垂直平分线上的点，也就是圆心。
【解析】
操作步骤如下：
1. 把工具的A、B两点靠在圆形工件的边缘，使A、B都落在圆周上，沿CD所在的直线在工件上画出第一条直线；
2. 更换A、B在圆周上的位置，重复上述操作，沿CD画出第二条直线；
3. 两条直线的交点就是圆形工件的圆心。
原理：圆上任意两点到圆心的距离相等，因此圆心在任意一条弦的垂直平分线上，两条不同弦的垂直平分线的交点即为圆心。
【答案】
因为点 A,B 在圆上,所以圆心必与点 A,B 的距离相等,所以圆心在 CD 所在的直线上.因此使用这样的工具可以作出圆形工件的任意两条直径,它们的交点就是圆心
【知识点】
垂直平分线的性质、弦的垂直平分线特征、确定圆心的方法
【点评】
本题结合实际操作工具考查圆的相关性质，解题的关键是掌握“弦的垂直平分线经过圆心”这一规律，体现了数学知识在实际生活中的应用，难度较低。
【难度系数】
0.8
5. 小明用如图的方式将圆弧四等分，他的画法正确吗？若不正确，请用正确的方法作出圆弧的四等分点.
答案
不正确,图略
解析
【分析】
小明的画法错误，他混淆了弦等分和弧等分的概念：小明是将圆弧所对的直径（弦）四等分，过分点作垂线交圆弧，试图通过等分弦的方式等分弧，但根据垂径定理，只有垂直于弦且过圆心的直线，才能平分该弦所对的弧，直径上非圆心的等分点所作的垂线不满足过圆心的要求，因此无法等分对应弧。
正确解题思路：要四等分圆弧，需利用垂径定理逐次对弧二等分：先将整段弧二等分，再将得到的两段弧分别二等分，最终得到四等分点。
【解析】
小明的画法不正确，错误原因：等分直径得到的是弦的等分点，过这些点作的垂线不过圆心，无法平分对应弧，得到的各段弧长度不相等，不能实现弧的四等分。
正确画法步骤：
1. 设圆弧为半圆弧，对应直径为AB，作AB的垂直平分线，交半圆弧于点C，此时$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，点C将半圆弧二等分；
2. 分别连接AC、BC，作AC的垂直平分线交$\overset{\frown}{AC}$于点D，作BC的垂直平分线交$\overset{\frown}{BC}$于点E；
此时$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DC}=\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{EB}$，点D、C、E即为半圆弧的四等分点。
【答案】不正确，正确画法见解析（图略）
【知识点】
垂径定理，垂直平分线作图，弧与弦的关系
【点评】
本题考查弧的等分方法，易错点是误以为等分弦就能直接等分对应弧，解题时要明确垂径定理的应用条件，通过作弦的垂直平分线才能准确平分对应弧。
【难度系数】
0.6
小明的画法错误，他混淆了弦等分和弧等分的概念：小明是将圆弧所对的直径（弦）四等分，过分点作垂线交圆弧，试图通过等分弦的方式等分弧，但根据垂径定理，只有垂直于弦且过圆心的直线，才能平分该弦所对的弧，直径上非圆心的等分点所作的垂线不满足过圆心的要求，因此无法等分对应弧。
正确解题思路：要四等分圆弧，需利用垂径定理逐次对弧二等分：先将整段弧二等分，再将得到的两段弧分别二等分，最终得到四等分点。
【解析】
小明的画法不正确，错误原因：等分直径得到的是弦的等分点，过这些点作的垂线不过圆心，无法平分对应弧，得到的各段弧长度不相等，不能实现弧的四等分。
正确画法步骤：
1. 设圆弧为半圆弧，对应直径为AB，作AB的垂直平分线，交半圆弧于点C，此时$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，点C将半圆弧二等分；
2. 分别连接AC、BC，作AC的垂直平分线交$\overset{\frown}{AC}$于点D，作BC的垂直平分线交$\overset{\frown}{BC}$于点E；
此时$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DC}=\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{EB}$，点D、C、E即为半圆弧的四等分点。
【答案】不正确，正确画法见解析（图略）
【知识点】
垂径定理，垂直平分线作图，弧与弦的关系
【点评】
本题考查弧的等分方法，易错点是误以为等分弦就能直接等分对应弧，解题时要明确垂径定理的应用条件，通过作弦的垂直平分线才能准确平分对应弧。
【难度系数】
0.6
6. 如图，已知直线$ l $和直线外的两个点$ A,B $，作一个圆，使它经过点$ A,B $，并且圆心在已知直线$ l $上。
（第6题）
（第6题）答案
略
解析
【分析】
要作出经过A、B两点且圆心在直线$l$上的圆，首先明确圆心需要满足两个条件：第一，因为圆经过A、B两点，所以圆心到A、B的距离相等，根据线段垂直平分线的性质，满足该条件的点都在线段AB的垂直平分线上；第二，圆心要在已知直线$l$上。因此圆心就是线段AB的垂直平分线与直线$l$的交点，找到交点后以交点到A的长度为半径画圆即可，若二者无交点则不存在符合要求的圆。
【解析】
作图步骤如下：
1. 连接线段AB，利用尺规作图作出线段AB的垂直平分线$MN$；
2. 记直线$MN$与直线$l$的交点为$O$；
3. 以点$O$为圆心，$OA$（或$OB$）的长为半径作圆，所得$\odot O$就是所求作的圆。
（注：若AB的垂直平分线与直线$l$平行，二者无交点，则不存在满足条件的圆）
【答案】
略
【知识点】
线段垂直平分线的性质；确定圆的条件；尺规作图
【点评】
本题属于基础尺规作图类题目，解题核心是将圆心需要满足的两个约束条件转化为两条直线的交点问题，有助于加深对确定圆的核心要素的理解。
【难度系数】
0.7
要作出经过A、B两点且圆心在直线$l$上的圆，首先明确圆心需要满足两个条件：第一，因为圆经过A、B两点，所以圆心到A、B的距离相等，根据线段垂直平分线的性质，满足该条件的点都在线段AB的垂直平分线上；第二，圆心要在已知直线$l$上。因此圆心就是线段AB的垂直平分线与直线$l$的交点，找到交点后以交点到A的长度为半径画圆即可，若二者无交点则不存在符合要求的圆。
【解析】
作图步骤如下：
1. 连接线段AB，利用尺规作图作出线段AB的垂直平分线$MN$；
2. 记直线$MN$与直线$l$的交点为$O$；
3. 以点$O$为圆心，$OA$（或$OB$）的长为半径作圆，所得$\odot O$就是所求作的圆。
（注：若AB的垂直平分线与直线$l$平行，二者无交点，则不存在满足条件的圆）
【答案】
略
【知识点】
线段垂直平分线的性质；确定圆的条件；尺规作图
【点评】
本题属于基础尺规作图类题目，解题核心是将圆心需要满足的两个约束条件转化为两条直线的交点问题，有助于加深对确定圆的核心要素的理解。
【难度系数】
0.7
