将一张正三角形纸片绕其对称中心O旋转多少度，能与它本身完全重合？
将一张正方形纸片绕其对称中心O旋转多少度，能与它本身完全重合？
将一张圆形纸片绕其圆心O旋转多少度，能与它本身完全重合？由此你发现了什么？

【分析】
我们可以结合旋转对称图形的定义解题：如果一个图形绕某一定点旋转一定角度（角度大于0°且小于等于360°）后能和自身完全重合，这个图形就是旋转对称图形，这个角度就是旋转重合角。对于正多边形，我们可以通过周角360°除以正多边形的边数得到最小旋转重合角，所有最小角的正整数倍都可使图形旋转后与自身重合；圆的结构特殊，我们可以结合圆上点的特征分析它的旋转重合角。
【解析】
1. 正三角形：正三角形有3条相等的边，对称中心O将周角360°平均分成3等份，每份角度为$360° ÷ 3 = 120°$，因此绕点O旋转$120°$的正整数倍（如$120°、240°、360°$）时，都能与本身完全重合，最小旋转重合角为$120°$。
2. 正方形：正方形有4条相等的边，对称中心O将周角360°平均分成4等份，每份角度为$360° ÷ 4 = 90°$，因此绕点O旋转$90°$的正整数倍（如$90°、180°、270°、360°$）时，都能与本身完全重合，最小旋转重合角为$90°$。
3. 圆形：圆上任意一点绕圆心旋转任意角度后，得到的对应点仍在圆上，整个圆的形态不会发生改变，因此绕圆心O旋转任意角度，都能与本身完全重合。
规律总结：正n边形绕对称中心旋转$\frac{360°}{n}$的正整数倍时，可与自身完全重合；圆是特殊的旋转对称图形，绕圆心旋转任意角度都能与自身重合。
【答案】
正三角形绕对称中心旋转120°的正整数倍即可与本身重合，最小旋转角为120°；正方形绕对称中心旋转90°的正整数倍即可与本身重合，最小旋转角为90°；圆形绕圆心旋转任意角度都能与本身重合。
发现的规律：正n边形的最小旋转重合角为$\frac{360°}{n}$，旋转该角度的正整数倍都可与自身重合；圆的旋转重合角为任意角度。
【知识点】
旋转对称图形、正多边形的性质、圆的对称性
【点评】
本题从常见的正多边形和圆入手，考查旋转对称的核心性质，解题时需要结合图形的等分特征推导旋转角度，能够帮助大家区分不同图形的对称性差异，加深对旋转对称本质的理解。
【难度系数】
0.75

例1 如图3-7,在$\odot O$中,$AB=AC$,$∠ ACB=60°$.求证:$∠ AOB=∠ BOC=∠ AOC$.

证明 $\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC},\therefore AB=AC,△ ABC$ 是等腰三角形. 又$\because ∠ ACB=60°,\therefore △ ABC$ 是等边三角形,$AB=BC=CA$.$\therefore ∠ AOB=∠ BOC=∠ AOC$

【分析】
要证明三个圆心角相等，根据同圆的性质：同圆中相等的弦所对的圆心角相等，因此只需证明弦AB、BC、AC三条边相等即可。已知AB=AC，可得△ABC是等腰三角形，再结合∠ACB=60°，可判定△ABC为等边三角形，得到三边相等的结论，进而推导出三个圆心角相等。
【解析】
证明：
$\because$ 在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，$\therefore AB=AC$，$△ ABC$是等腰三角形。
又$\because ∠ ACB=60°$，$\therefore △ ABC$是等边三角形，即$AB=BC=CA$。
$\because$ 同圆中相等的弦所对的圆心角相等，
$\therefore ∠ AOB=∠ BOC=∠ AOC$。
【答案】
证明 $\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC},\therefore AB=AC,△ ABC$ 是等腰三角形. 又$\because ∠ ACB=60°,\therefore △ ABC$ 是等边三角形,$AB=BC=CA$.$\therefore ∠ AOB=∠ BOC=∠ AOC$
【知识点】
等边三角形的判定、同圆中弦与圆心角的关系
【点评】
本题属于基础证明题，结合了三角形和圆的基础性质，解题的核心是先通过已知条件判定△ABC为等边三角形，再利用圆中弦与圆心角的对应关系完成证明，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8

例2 如图3-8,在$\odot O$中,弦$AB=AC$,$AD$是$\odot O$的直径.求证:$BD=CD$.

证明 方法一 $\because AB=AC,\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$. 又$\because \overset{\frown}{ABD}=\overset{\frown}{ACD}$(都是$\odot O$中的半圆),$\therefore \overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$. $\therefore BD=CD$. 方法二 连接OB、OC.$\because AB=AC,\therefore ∠ AOB=∠ AOC. \therefore ∠ BOD=∠ COD$(等角的补角相等). $\therefore BD=CD$

【分析】
要证明圆中两条弦$BD=CD$，可结合圆的基本性质从两个思路切入：思路一：利用“同圆中相等的弧对应的弦相等”证明，先由已知弦$AB=AC$推出对应的弧相等，再结合$AD$是直径对应两段相等的半圆，通过弧的减法得到$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，即可得证；思路二：利用“同圆中相等的圆心角对应的弦相等”证明，连接$OB$、$OC$，先由弦$AB=AC$推出对应的圆心角$∠ AOB=∠ AOC$，再通过等角的补角相等得到$∠ BOD=∠ COD$，即可得证。
【解析】
方法一：
$\because AB=AC$，
$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$（同圆中相等的弦所对的弧相等）。
又$\because AD$是$\odot O$的直径，$\overset{\frown}{ABD}$和$\overset{\frown}{ACD}$均为半圆，
$\therefore \overset{\frown}{ABD}=\overset{\frown}{ACD}$，
$\therefore \overset{\frown}{ABD}-\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{ACD}-\overset{\frown}{AC}$，即$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，
$\therefore BD=CD$（同圆中相等的弧所对的弦相等）。
方法二：
连接$OB$、$OC$。
$\because AB=AC$，
$\therefore ∠ AOB=∠ AOC$（同圆中相等的弦所对的圆心角相等）。
$\because ∠ AOB+∠ BOD=180°$，$∠ AOC+∠ COD=180°$，
$\therefore ∠ BOD=∠ COD$（等角的补角相等），
$\therefore BD=CD$（同圆中相等的圆心角所对的弦相等）。
【答案】
证明 方法一 $\because AB=AC,\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$. 又$\because \overset{\frown}{ABD}=\overset{\frown}{ACD}$(都是$\odot O$中的半圆),$\therefore \overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$. $\therefore BD=CD$. 方法二 连接OB、OC.$\because AB=AC,\therefore ∠ AOB=∠ AOC. \therefore ∠ BOD=∠ COD$(等角的补角相等). $\therefore BD=CD$
【知识点】
弦弧圆心角关系；直径的性质；补角性质
【点评】
本题是圆的性质应用的基础题型，核心考查同圆中弦、弧、圆心角三者的对应转化关系，解题可从弧相等或圆心角相等两个方向切入，方法灵活，能帮助学生巩固圆的对称性相关基础结论。
【难度系数】
0.8

1. 如图，AB，CD是$\odot O$的两条弦.
（1）已知$AB=CD$，那么，；
（2）已知$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，那么，；
（3）已知$∠ AOB=∠ COD$，那么，.

1. (1) $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD},∠ AOB=∠ COD$ (2) $AB=CD,∠ AOB=∠ COD$ (3) $AB=CD,\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$

【分析】
本题考查同圆中圆心角、弧、弦三者的等量关系，解题核心是掌握性质：在同圆或等圆中，若两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量也分别相等。对应三个小问逐一推导：（1）已知弦相等，可直接推出对应的弧、圆心角相等；（2）已知弧相等，可直接推出对应的弦、圆心角相等；（3）已知圆心角相等，可直接推出对应的弦、弧相等。
【解析】
根据同圆中圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆$\odot O$中，相等的弦对应的弧相等、对应的圆心角相等；相等的弧对应的弦相等、对应的圆心角相等；相等的圆心角对应的弦相等、对应的弧相等。
（1）已知$AB=CD$，可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，$∠AOB=∠COD$；
（2）已知$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，可得$AB=CD$，$∠AOB=∠COD$；
（3）已知$∠AOB=∠COD$，可得$AB=CD$，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$。
【答案】
(1) $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD},∠ AOB=∠ COD$ (2) $AB=CD,∠ AOB=∠ COD$ (3) $AB=CD,\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$
【知识点】
圆心角弧弦的关系、圆的对称性
【点评】
本题属于基础概念应用题，直接考查同圆中弦、弧、圆心角三者的等价关系，熟练掌握三者的对应相等规律即可快速作答，是圆的相关性质的基础考察题型。
【难度系数】
0.9

2. 填空题：
（1）如图，若弦AB把$\odot O$分成$2:7$两部分，则$∠ AOB=$°；
（2）在$\odot O$中，弦AB的长恰好等于半径，弦AB所对的圆心角为°。

2. (1) 80 (2) 60

【分析】
（1）解题思路：首先明确圆周对应的总圆心角为360°，弦将圆分成的两段弧的度数比等于对应圆心角的比，因此按照比例分配即可求出∠AOB的度数。
（2）解题思路：已知圆的半径都相等，结合弦AB长度等于半径，可判断△AOB为等边三角形，根据等边三角形内角的特征即可得到圆心角的度数。
【解析】
（1）
∵ 整个圆周对应的圆心角为360°，弦AB把⊙O分成2:7两部分，即两段弧对应的圆心角之比为2:7
∴ $∠ AOB = 360° × \frac{2}{2+7} = 360° × \frac{2}{9} = 80°$
（2）
∵ OA、OB是⊙O的半径，
∴ $OA=OB$
又
∵ 弦AB的长等于半径，
∴ $OA=OB=AB$
∴ △AOB是等边三角形，
∴ $∠ AOB=60°$
【答案】
（1）80；（2）60
【知识点】
弧与圆心角的关系、等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于圆的基础题型，侧重对基础概念和性质的考查，解题的关键是掌握弧的度数与对应圆心角度数相等，以及同圆半径相等的性质，熟练运用相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8