小明不慎把家里的圆形玻璃镜打碎了，其中四块碎片如图3-4所示.为配到与原先大小一样的圆形玻璃镜，小明应带哪块碎片到商店？
图3-4

【分析】
要配到和原来大小一样的圆形玻璃，核心是确定原圆的圆心和半径。根据所学知识，不在同一直线上的三个点可以确定唯一的圆，因此只要碎片上保留有原圆周的一段连续圆弧，就可以在弧上取三个不共线的点，通过作弦的垂直平分线找到圆心，进而确定半径。观察四块碎片：只有第②块保留了较长的连续原圆周弧，其余碎片均没有足够的原圆周部分来提取三个原圆上的点，因此选择带第②块即可。
【解析】
根据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”的原理分析：
1. 碎片①、③、④的边缘均为断裂面，没有保留足够长度的原圆周弧，无法获取原圆周上三个不共线的点，不能确定原圆的圆心和半径；
2. 碎片②保留了一段连续的原圆周弧，在这段弧上任取三个不同的点，作其中两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是原圆的圆心，圆心到弧上任意一点的距离就是原圆的半径，由此就能确定和原玻璃大小完全一致的圆。
因此小明应带第②块碎片。
【答案】
带第②块碎片（或②）
【知识点】
确定圆的条件，垂径定理的应用
【点评】
本题结合生活场景考查圆的相关知识的实际应用，解题关键是理解一段圆弧即可确定对应圆的原理，能够让学生体会到数学知识解决实际问题的价值。
【难度系数】
0.7

例1 如图3-5，已知A,B,C三点.作$\odot O$,使它经过A,B,C三点.

作法 （1）连接AB,BC （2）分别作线段AB,BC的垂直平分线,它们相交于点O （3）以点O为圆心,OB为半径作圆. ，⊙O就是所求作的圆

【分析】
要作经过A、B、C三点的圆，首先明确：不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心需满足到A、B、C三点的距离相等。根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，因此圆心同时在AB、BC的垂直平分线上，两条垂直平分线的交点就是圆心O，再以O到三点中任意一点的长度为半径作圆即可。
【解析】
具体作法步骤：
1. 依次连接AB、BC两条线段；
2. 用尺规分别作出线段AB、BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点记为O；
3. 以点O为圆心，OB的长度为半径画圆。
最终得到的圆即为经过A、B、C三点的圆。
【答案】
作法 （1）连接AB,BC （2）分别作线段AB,BC的垂直平分线,它们相交于点O （3）以点O为圆心,OB为半径作圆. ，⊙O就是所求作的圆
【知识点】
确定圆的条件；线段垂直平分线的性质；尺规作图
【点评】
本题是基础的尺规作图类题目，核心是掌握过三点作圆的原理，明确三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，熟练运用线段垂直平分线的性质就能顺利解题。
【难度系数】
0.8

例2 如图3-6,在$△ ABC$中,$AC=BC=6\ \mathrm{cm}$,$∠ ACB=120°$.求$△ ABC$的外接圆的半径.

连接OA,OB,OC. $\because AC=BC,\therefore$ 点 C 在 AB 的中垂线上. $\because OB=OA,\therefore$ 点 O 在 AB 的中垂线上. $\therefore CO$ 垂直平分 AB. $\because AC=BC,\therefore CO$ 平分$∠ BCA. \therefore ∠ ACO=\frac{1}{2}∠ ACB=60°.$ 又$\because OA=OC,\therefore △ AOC$ 是等边三角形. $\therefore OA=AC=6(\mathrm{cm}),$ 即$△ ABC$ 的外接圆的半径为 6 cm

【分析】
要求△ABC的外接圆半径，首先明确外接圆的圆心O是△ABC的外心，外心到三个顶点的距离相等，都等于外接圆半径。结合已知AC=BC，△ABC是等腰三角形，我们可以通过连接OA、OB、OC，利用中垂线的判定推出OC是∠ACB的角平分线，得到特殊角度，再结合等边三角形的判定求出半径长度。解题步骤如下：第一步，连接三条半径OA、OB、OC；第二步，根据AC=BC、OA=OB，判断C和O都在AB的中垂线上，得到CO垂直平分AB，结合等腰三角形三线合一推出∠ACO的度数；第三步，根据OA=OC和∠ACO的度数判定△AOC为等边三角形，即可得到半径长度。
【解析】
连接$OA$，$OB$，$OC$。
$\because AC=BC$，$\therefore$ 点$C$在$AB$的垂直平分线上。
$\because OB=OA$，$\therefore$ 点$O$在$AB$的垂直平分线上。
$\therefore CO$垂直平分$AB$。
$\because AC=BC$，$\therefore CO$平分$∠ BCA$，
$\therefore ∠ ACO=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}×120°=60°$。
又$\because OA=OC$（外接圆半径相等），
$\therefore △ AOC$是等边三角形（有一个角为$60°$的等腰三角形是等边三角形），
$\therefore OA=AC=6\ \mathrm{cm}$，即$△ ABC$的外接圆半径为$6\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$6\ \mathrm{cm}$
【知识点】
三角形的外接圆与外心；等腰三角形的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题是三角形外接圆的基础应用题，解题的核心是利用外心的性质结合等腰三角形三线合一的特点构造出等边三角形，将求外接圆半径转化为求已知边长，简化了计算过程，解题时要注意辅助线的正确构造。
【难度系数】
0.7

1. 填空题：
（1）过一点可以作________个圆，过两点可以作________个圆，过不在同一条直线上的三点可以作________个圆。
（2）若三角形的外心在三角形的内部，则三角形为________三角形；若三角形的外心在三角形的一边上，则三角形为________三角形；若三角形的外心在三角形的外部，则三角形为________三角形。
（3）在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，$BC=1\ \mathrm{cm}$，则$△ ABC$的外接圆的半径为________cm。

(1) 无数,无数,1 (2) 锐角,直角,钝角 (3) 1

【分析】
解答本题需结合圆的确定条件、三角形外心的性质逐步推导：
1. 第（1）问：圆由圆心和半径唯一确定，过一点时圆心、半径均可灵活选择，故可作无数个圆；过两点时圆心需在两点连线的垂直平分线上，垂直平分线上有无数个可选点作为圆心，故也可作无数个圆；过不在同一直线的三点时，任意两点连线的垂直平分线交于唯一一点，圆心、半径均唯一，故只能作1个圆。
2. 第（2）问：三角形外心是三边垂直平分线的交点，结合不同形状三角形垂直平分线交点的位置规律即可判断：锐角三角形外心在内部，直角三角形外心在斜边中点（即三角形边上），钝角三角形外心在外部。
3. 第（3）问：直角三角形的外心在斜边中点，故外接圆半径等于斜边的一半，先利用含30°角的直角三角形性质求出斜边长度，再除以2即可得到外接圆半径。
【解析】
（1）圆由圆心和半径两个要素确定：
① 过平面内一点时，圆心可取平面内任意其他位置，半径为圆心到该点的距离，因此可作无数个圆；
② 过两点时，圆心必须在两点连线的垂直平分线上，垂直平分线上有无数个点，对应无数个圆心，因此可作无数个圆；
③ 过不在同一直线上的三点时，分别作任意两点连线的垂直平分线，两条垂直平分线有且只有一个交点，即唯一的圆心，半径为圆心到任意一点的距离，因此只能作1个圆。
（2）三角形外心是三边垂直平分线的交点：
① 当外心在三角形内部时，三角形三个内角都小于90°，为锐角三角形；
② 当外心在三角形的一边上时，说明这条边是外接圆的直径，对应的圆周角为90°，因此三角形为直角三角形；
③ 当外心在三角形外部时，三角形有一个内角大于90°，为钝角三角形。
（3）在$△ABC$中，$∠C=90°$，$∠A=30°$，$BC=1\ \mathrm{cm}$，根据含30°角的直角三角形性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，因此斜边$AB=2BC=2\ \mathrm{cm}$。
直角三角形的外接圆半径等于斜边的一半，因此外接圆半径为$2÷2=1\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 无数,无数,1 (2) 锐角,直角,钝角 (3) 1
【知识点】
确定圆的条件，三角形的外心，直角三角形性质
【点评】
本题是基础概念应用题，侧重考查对圆的确定条件、三角形外心相关性质的识记与简单应用，熟练掌握相关基础结论即可快速解题。
【难度系数】
0.85