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10. 如图，在$△ ABC$中，AD是BC边上的高，E是AB边上一点，CE交AD于点M，且$∠ DCM=∠ MAE$。求证：$△ AEM$是直角三角形。
答案
10. 因为AD是BC边上的高,所以$∠ADC=90°$,所以$∠DMC+∠DCM=90°$。因为$∠DCM=∠MAE$,$∠DMC=∠AME$,所以$∠AME+∠MAE=90°$,所以$△AEM$是直角三角形。
解析
【分析】
要证明△AEM是直角三角形，根据直角三角形的判定，只需证明该三角形存在两个内角之和为90°即可。首先由AD是BC边上的高，可得△DMC是直角三角形，其两个锐角∠DMC与∠DCM互余；再结合已知的∠DCM=∠MAE，以及对顶角相等的性质，将角进行等量代换，即可得到△AEM中∠AME+∠MAE=90°，从而完成证明。
【解析】
证明：
∵ AD是BC边上的高，
∴ ∠ADC=90°，
∴ ∠DMC + ∠DCM = 90°（直角三角形两锐角互余）。
∵ ∠DCM=∠MAE（已知），∠DMC=∠AME（对顶角相等），
∴ ∠AME + ∠MAE = 90°（等量代换），
∴ △AEM是直角三角形（有两个角互余的三角形是直角三角形）。
【答案】
△AEM是直角三角形。
【知识点】
直角三角形的性质与判定；对顶角相等；等量代换
【点评】
本题属于基础几何证明题，主要考查直角三角形相关性质的应用，解题关键是利用已知条件和对顶角的性质完成角度的等量代换，推导得到待证三角形的两个内角互余，即可得出结论。
【难度系数】
0.8
要证明△AEM是直角三角形，根据直角三角形的判定，只需证明该三角形存在两个内角之和为90°即可。首先由AD是BC边上的高，可得△DMC是直角三角形，其两个锐角∠DMC与∠DCM互余；再结合已知的∠DCM=∠MAE，以及对顶角相等的性质，将角进行等量代换，即可得到△AEM中∠AME+∠MAE=90°，从而完成证明。
【解析】
证明：
∵ AD是BC边上的高，
∴ ∠ADC=90°，
∴ ∠DMC + ∠DCM = 90°（直角三角形两锐角互余）。
∵ ∠DCM=∠MAE（已知），∠DMC=∠AME（对顶角相等），
∴ ∠AME + ∠MAE = 90°（等量代换），
∴ △AEM是直角三角形（有两个角互余的三角形是直角三角形）。
【答案】
△AEM是直角三角形。
【知识点】
直角三角形的性质与判定；对顶角相等；等量代换
【点评】
本题属于基础几何证明题，主要考查直角三角形相关性质的应用，解题关键是利用已知条件和对顶角的性质完成角度的等量代换，推导得到待证三角形的两个内角互余，即可得出结论。
【难度系数】
0.8
11.如图，已知$AO=10$，$P$是射线$ON$上一动点（即点$P$可在射线$ON$上运动），$∠ AON=60°$，设$OP=x$。
（1）若$△ AOP$为直角三角形，求$x$的值。
（2）若$△ AOP$为钝角三角形，求$x$的取值范围。
（1）若$△ AOP$为直角三角形，求$x$的值。
（2）若$△ AOP$为钝角三角形，求$x$的取值范围。
答案
11.(1)当$∠APO=90°$时,$∠OAP=90°-∠AOP=30°$,所以$OP=\frac{1}{2}OA=5$;当$∠OAP=90°$时,$∠OPA=90°-∠AOP=30°$,所以$OP=2OA=20$,所以$x$的值为5或20。
(2)当$0＜x＜5$或$x＞20$时,$△AOP$为钝角三角形。
(2)当$0＜x＜5$或$x＞20$时,$△AOP$为钝角三角形。
解析
【分析】
解决本题需结合分类讨论思想：（1）已知∠AON=60°，因此△AOP为直角三角形时，直角顶点只能是点P或点A，分两种情况，利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质计算x的值；（2）△AOP为钝角三角形时，钝角顶点同样只能是点P或点A，结合第一问直角的临界值，推导x的取值范围，注意OP长度为正数。
【解析】
（1）已知∠AON=60°，因此直角不可能为∠O，分两种情况讨论：
①当∠APO=90°时，∠OAP=90°-∠AON=30°，
根据直角三角形30°角所对直角边等于斜边的一半，可得$OP=\frac{1}{2}OA$，
代入OA=10，得$OP=\frac{1}{2}×10=5$，即$x=5$；
②当∠OAP=90°时，∠APO=90°-∠AON=30°，
同理可得斜边$OP=2OA$，代入OA=10，得$OP=2×10=20$，即$x=20$。
综上，x的值为5或20。
（2）△AOP为钝角三角形时，分两种情况：
①当∠APO为钝角时，点P距离O点较近，此时$0＜x＜5$；
②当∠OAP为钝角时，点P距离O点较远，此时$x＞20$。
综上，x的取值范围是$0＜x＜5$或$x＞20$。
【答案】
（1）$x$的值为5或20；（2）$0＜x＜5$或$x＞20$
【知识点】
直角三角形性质、分类讨论思想、钝角三角形判定
【点评】
本题核心考查分类讨论的数学思想，解题时要注意当未明确三角形特殊角的顶点时，需分情况讨论，避免漏解，同时要熟练掌握直角三角形中30°角的相关性质，快速进行边长的换算。
【难度系数】
0.7
解决本题需结合分类讨论思想：（1）已知∠AON=60°，因此△AOP为直角三角形时，直角顶点只能是点P或点A，分两种情况，利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质计算x的值；（2）△AOP为钝角三角形时，钝角顶点同样只能是点P或点A，结合第一问直角的临界值，推导x的取值范围，注意OP长度为正数。
【解析】
（1）已知∠AON=60°，因此直角不可能为∠O，分两种情况讨论：
①当∠APO=90°时，∠OAP=90°-∠AON=30°，
根据直角三角形30°角所对直角边等于斜边的一半，可得$OP=\frac{1}{2}OA$，
代入OA=10，得$OP=\frac{1}{2}×10=5$，即$x=5$；
②当∠OAP=90°时，∠APO=90°-∠AON=30°，
同理可得斜边$OP=2OA$，代入OA=10，得$OP=2×10=20$，即$x=20$。
综上，x的值为5或20。
（2）△AOP为钝角三角形时，分两种情况：
①当∠APO为钝角时，点P距离O点较近，此时$0＜x＜5$；
②当∠OAP为钝角时，点P距离O点较远，此时$x＞20$。
综上，x的取值范围是$0＜x＜5$或$x＞20$。
【答案】
（1）$x$的值为5或20；（2）$0＜x＜5$或$x＞20$
【知识点】
直角三角形性质、分类讨论思想、钝角三角形判定
【点评】
本题核心考查分类讨论的数学思想，解题时要注意当未明确三角形特殊角的顶点时，需分情况讨论，避免漏解，同时要熟练掌握直角三角形中30°角的相关性质，快速进行边长的换算。
【难度系数】
0.7
12. 如图,在$△ ABC$中,$CD$是高,且$∠ CAB=∠ DCB$。
(1)试判断$△ ABC$的形状,并说明理由。
(2)若$AE$是$△ ABC$的角平分线,$AE$,$CD$相交于点$F$。试说明:$∠ CFE=∠ CEF$。
(1)试判断$△ ABC$的形状,并说明理由。
(2)若$AE$是$△ ABC$的角平分线,$AE$,$CD$相交于点$F$。试说明:$∠ CFE=∠ CEF$。
答案
12.(1)$△ABC$是直角三角形。理由如下:因为在$△ABC$中,$CD$是高,所以$∠CDA=90°$,所以$∠CAB+∠ACD=90°$。因为$∠CAB=∠DCB$,所以$∠DCB+∠ACD=90°$,即$∠ACB=90°$,所以$△ABC$是直角三角形。
(2)证明:因为$AE$是$△ABC$的角平分线,所以$∠DAF=∠CAE$。因为$CD$是高,所以$∠CDA=90°$,所以$∠DAF+∠AFD=90°$,由(1)知$∠ACB=90°$,所以$∠CAE+∠CEF=90°$,所以$∠AFD=∠CEF$。因为$∠AFD=∠CFE$,所以$∠CFE=∠CEF$。
(2)证明:因为$AE$是$△ABC$的角平分线,所以$∠DAF=∠CAE$。因为$CD$是高,所以$∠CDA=90°$,所以$∠DAF+∠AFD=90°$,由(1)知$∠ACB=90°$,所以$∠CAE+∠CEF=90°$,所以$∠AFD=∠CEF$。因为$∠AFD=∠CFE$,所以$∠CFE=∠CEF$。
解析
【分析】
(1) 要判断△ABC的形状，可从内角是否为直角入手：已知CD是高，可得∠CDA=90°，因此Rt△ACD中∠CAB与∠ACD互余，结合已知∠CAB=∠DCB，等量代换即可推出∠ACB=90°，从而得到三角形形状。
(2) 要证明∠CFE=∠CEF，可通过角度等量代换推导：首先由角平分线定义得∠DAF=∠CAE，再结合直角三角形两锐角互余的性质，分别得到∠DAF与∠AFD互余、∠CAE与∠CEF互余，根据等角的余角相等可得∠AFD=∠CEF，最后结合对顶角相等的性质，即可推出待证结论。
【解析】
(1) △ABC是直角三角形，理由如下：
因为在△ABC中，CD是高，所以∠CDA=90°，所以∠CAB+∠ACD=90°。
因为∠CAB=∠DCB，所以∠DCB+∠ACD=90°，即∠ACB=90°，所以△ABC是直角三角形。
(2) 证明：
因为AE是△ABC的角平分线，所以∠DAF=∠CAE。
因为CD是高，所以∠CDA=90°，所以∠DAF+∠AFD=90°。
由(1)知∠ACB=90°，所以∠CAE+∠CEF=90°，所以∠AFD=∠CEF。
因为∠AFD=∠CFE，所以∠CFE=∠CEF。
【答案】
(1) △ABC是直角三角形；
(2) ∠CFE=∠CEF，证明成立。
【知识点】
直角三角形的判定与性质、角平分线的定义、对顶角的性质
【点评】
本题属于几何基础证明题，核心是利用直角三角形两锐角互余的性质进行角度的等量代换，需要熟练掌握角平分线、对顶角等基础性质，解题时梳理清楚角度之间的关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断△ABC的形状，可从内角是否为直角入手：已知CD是高，可得∠CDA=90°，因此Rt△ACD中∠CAB与∠ACD互余，结合已知∠CAB=∠DCB，等量代换即可推出∠ACB=90°，从而得到三角形形状。
(2) 要证明∠CFE=∠CEF，可通过角度等量代换推导：首先由角平分线定义得∠DAF=∠CAE，再结合直角三角形两锐角互余的性质，分别得到∠DAF与∠AFD互余、∠CAE与∠CEF互余，根据等角的余角相等可得∠AFD=∠CEF，最后结合对顶角相等的性质，即可推出待证结论。
【解析】
(1) △ABC是直角三角形，理由如下：
因为在△ABC中，CD是高，所以∠CDA=90°，所以∠CAB+∠ACD=90°。
因为∠CAB=∠DCB，所以∠DCB+∠ACD=90°，即∠ACB=90°，所以△ABC是直角三角形。
(2) 证明：
因为AE是△ABC的角平分线，所以∠DAF=∠CAE。
因为CD是高，所以∠CDA=90°，所以∠DAF+∠AFD=90°。
由(1)知∠ACB=90°，所以∠CAE+∠CEF=90°，所以∠AFD=∠CEF。
因为∠AFD=∠CFE，所以∠CFE=∠CEF。
【答案】
(1) △ABC是直角三角形；
(2) ∠CFE=∠CEF，证明成立。
【知识点】
直角三角形的判定与性质、角平分线的定义、对顶角的性质
【点评】
本题属于几何基础证明题，核心是利用直角三角形两锐角互余的性质进行角度的等量代换，需要熟练掌握角平分线、对顶角等基础性质，解题时梳理清楚角度之间的关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
13.如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=AC$，$D$为$BC$的中点，直角$∠ MDN$绕点$D$旋转，$DM$，$DN$分别与边$AB$，$AC$交于$E$，$F$两点，下列结论：
①$△ DEF$是等腰直角三角形；
②$AE=CF$；
③$S_{\mathrm{四边形}AEDF} = \frac{1}{2}S_{△ ABC}$；
④$BE+CF=EF$。
其中正确结论的个数是（
A.1
B.2
C.3
D.4
①$△ DEF$是等腰直角三角形；
②$AE=CF$；
③$S_{\mathrm{四边形}AEDF} = \frac{1}{2}S_{△ ABC}$；
④$BE+CF=EF$。
其中正确结论的个数是（
C
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
13.C 【解析】因为$∠BAC=90°,AB=AC$,所以$△ABC$是等腰直角三角形,$∠B=45°$。因为$D$为$BC$中点,所以$AD=CD=BD,AD⊥BC$,$∠CAD=45°$,所以$∠CAD=∠B$,$∠BDE+∠ADE=∠ADB=90°$。因为$∠MDN$是直角,所以$∠ADF+∠ADE=90°$,所以$∠ADF=∠BDE$。在$△BDE$和$△ADF$中, 因为$\begin{cases}∠BDE=∠ADF,\\BD=AD,\\∠B=∠CAD,\end{cases}$ 所以$△BDE ≌ △ADF$(ASA),所以$DE=DF,BE=AF$,所以$△DEF$是等腰直角三角形,故①正确; 因为$AE=AB-BE,CF=AC-AF$,所以$AE=CF$,故②正确; 因为$△BDE≌△ADF$,所以$S_{△BDE}+S_{△ADE} = S_{△ADF} + S_{△CDF}$, 所以$S_{四边形AEDF} = \frac{1}{2}S_{△ABC}$;故③正确; 因为$BE+CF=AF+AE＞EF$,所以$BE+CF＞EF$,故④错误。综上所述,正确的是①②③。故选C。
解析
【分析】
首先结合已知条件判断出△ABC是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形三线合一的性质，得到AD=BD=CD、AD⊥BC、∠B=∠CAD=45°等基础结论；再结合∠MDN是直角推导角的等量关系，证明△BDE和△ADF全等，最后借助全等的性质逐一验证4个结论是否成立，统计正确结论的个数即可。
【解析】
解：
∵$∠ BAC=90°$，$AB=AC$，
∴$△ ABC$是等腰直角三角形，$∠ B=∠ C=45°$。
∵$D$为$BC$中点，根据等腰直角三角形三线合一的性质：
∴$AD=BD=CD$，$AD⊥ BC$，$∠ CAD=∠ BAD=45°$，
∴$∠ B=∠ CAD$，$∠ ADB=90°$，即$∠ BDE+∠ ADE=90°$。
∵$∠ MDN$是直角，即$∠ EDF=90°$，
∴$∠ ADF+∠ ADE=90°$，
∴$∠ BDE=∠ ADF$。
在$△ BDE$和$△ ADF$中：
$\begin{cases}∠ BDE=∠ ADF \\BD=AD \\∠ B=∠ DAF\end{cases}$
∴$△ BDE≌△ ADF$（ASA），
∴$DE=DF$，$BE=AF$，
∴$△ DEF$是等腰直角三角形，故①正确；
∵$AB=AC$，$AE=AB-BE$，$CF=AC-AF$，且$BE=AF$，
∴$AE=CF$，故②正确；
∵$△ BDE≌△ ADF$，
∴$S_{△ BDE}=S_{△ ADF}$，
∴$S_{四边形AEDF}=S_{△ ADE}+S_{△ ADF}=S_{△ ADE}+S_{△ BDE}=S_{△ ABD}$，
又
∵$D$是$BC$中点，$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
∴$S_{四边形AEDF}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，故③正确；
∵$BE=AF$，$AE=CF$，
∴$BE+CF=AF+AE$，
在$△ AEF$中，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，
∴$AF+AE＞EF$，即$BE+CF＞EF$，故④错误。
综上，正确的结论是①②③，共3个。
【答案】
C
【知识点】
等腰直角三角形性质；全等三角形的判定与性质；三角形三边关系
【点评】
本题是等腰直角三角形与旋转结合的常见综合题，解题的核心是通过角的等量关系证明三角形全等，再借助全等的性质判断边、面积的相关结论，推导过程中要严谨，不能主观臆断边的等量关系，需结合定理验证。
【难度系数】
0.6
首先结合已知条件判断出△ABC是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形三线合一的性质，得到AD=BD=CD、AD⊥BC、∠B=∠CAD=45°等基础结论；再结合∠MDN是直角推导角的等量关系，证明△BDE和△ADF全等，最后借助全等的性质逐一验证4个结论是否成立，统计正确结论的个数即可。
【解析】
解：
∵$∠ BAC=90°$，$AB=AC$，
∴$△ ABC$是等腰直角三角形，$∠ B=∠ C=45°$。
∵$D$为$BC$中点，根据等腰直角三角形三线合一的性质：
∴$AD=BD=CD$，$AD⊥ BC$，$∠ CAD=∠ BAD=45°$，
∴$∠ B=∠ CAD$，$∠ ADB=90°$，即$∠ BDE+∠ ADE=90°$。
∵$∠ MDN$是直角，即$∠ EDF=90°$，
∴$∠ ADF+∠ ADE=90°$，
∴$∠ BDE=∠ ADF$。
在$△ BDE$和$△ ADF$中：
$\begin{cases}∠ BDE=∠ ADF \\BD=AD \\∠ B=∠ DAF\end{cases}$
∴$△ BDE≌△ ADF$（ASA），
∴$DE=DF$，$BE=AF$，
∴$△ DEF$是等腰直角三角形，故①正确；
∵$AB=AC$，$AE=AB-BE$，$CF=AC-AF$，且$BE=AF$，
∴$AE=CF$，故②正确；
∵$△ BDE≌△ ADF$，
∴$S_{△ BDE}=S_{△ ADF}$，
∴$S_{四边形AEDF}=S_{△ ADE}+S_{△ ADF}=S_{△ ADE}+S_{△ BDE}=S_{△ ABD}$，
又
∵$D$是$BC$中点，$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
∴$S_{四边形AEDF}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，故③正确；
∵$BE=AF$，$AE=CF$，
∴$BE+CF=AF+AE$，
在$△ AEF$中，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，
∴$AF+AE＞EF$，即$BE+CF＞EF$，故④错误。
综上，正确的结论是①②③，共3个。
【答案】
C
【知识点】
等腰直角三角形性质；全等三角形的判定与性质；三角形三边关系
【点评】
本题是等腰直角三角形与旋转结合的常见综合题，解题的核心是通过角的等量关系证明三角形全等，再借助全等的性质判断边、面积的相关结论，推导过程中要严谨，不能主观臆断边的等量关系，需结合定理验证。
【难度系数】
0.6
