勾股定理的逆定理:如果三角形中等于第三边的，那么这个三角形是直角三角形，且最大边所对的角是。

勾股定理的逆定理:如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，且最大边所对的角是直角。

【分析】
这道题考查勾股定理逆定理的概念内容，解题时首先明确勾股定理和其逆定理的逻辑差异：勾股定理是已知直角三角形推导得到三边的平方关系，逆定理是通过三边的平方关系反向判定三角形是否为直角三角形。回忆逆定理的具体表述：先判断三角形三边的平方关系，若两条边的平方和等于第三边的平方，即可判定该三角形为直角三角形；再结合“大边对大角”的规律，三角形中最大的角是直角，因此最大边对应的角为直角，据此即可填出对应空缺内容。
【解析】
根据勾股定理逆定理的标准定义内容直接补全空缺：
如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，且最大边所对的角是直角。
【答案】
勾股定理的逆定理:如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，且最大边所对的角是直角。
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，重点考查对勾股定理逆定理内容的掌握，是利用边长关系判断直角三角形的核心基础，熟练记忆核心概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9

1. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）

A.4,5,6
B.1.5,2,2.5
C.2,3,4
D.1,$\sqrt{2}$,3

1.B

【分析】
要判断给定的四组线段能否构成直角三角形，需使用勾股定理的逆定理：若三角形中两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。解题时先找出每组线段中的最长边，再计算另外两条短边的平方和，将其与最长边的平方对比，相等即可构成直角三角形。
【解析】
我们逐一对选项进行验证：
A选项：三条线段为4，5，6，最长边为6。
计算得：$4^2+5^2=16+25=41$，$6^2=36$，$41≠36$，不能构成直角三角形。
B选项：三条线段为1.5，2，2.5，最长边为2.5。
计算得：$1.5^2+2^2=2.25+4=6.25$，$2.5^2=6.25$，两者相等，可以构成直角三角形。
C选项：三条线段为2，3，4，最长边为4。
计算得：$2^2+3^2=4+9=13$，$4^2=16$，$13≠16$，不能构成直角三角形。
D选项：三条线段为1，$\sqrt{2}$，3，最长边为3。
计算得：$1^2+(\sqrt{2})^2=1+2=3$，$3^2=9$，$3≠9$，不能构成直角三角形。
综上，只有B选项符合要求。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理、乘方运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查勾股定理逆定理的应用，解题时要注意先确定每组线段的最长边，再验证平方和关系，避免因边的顺序判断错误导致计算失误。
【难度系数】
0.8

2.△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）

A.$a:b:c=3:4:5$
B.$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$
C.$a^2=c^2-b^2$
D.$∠ A:∠ B:∠ C=3:4:5$

2.D

【分析】
本题考查直角三角形的判定，可从两个维度分析：一是通过角度判断，利用三角形内角和为180°，计算是否存在90°的内角；二是通过边长判断，利用勾股定理的逆定理，验证两条短边的平方和是否等于最长边的平方。我们只需逐个验证选项即可得出答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
选项A：设$a=3k$，$b=4k$，$c=5k$（$k＞0$），则$a^2+b^2=(3k)^2+(4k)^2=9k^2+16k^2=25k^2=(5k)^2=c^2$，满足勾股定理逆定理，可判定为直角三角形，不符合题意。
选项B：设$∠ A=x$，$∠ B=2x$，$∠ C=3x$，由三角形内角和得$x+2x+3x=180°$，解得$x=30°$，最大角$∠ C=3×30°=90°$，可判定为直角三角形，不符合题意。
选项C：将$a^2=c^2-b^2$移项得$a^2+b^2=c^2$，满足勾股定理逆定理，可判定为直角三角形，不符合题意。
选项D：设$∠ A=3x$，$∠ B=4x$，$∠ C=5x$，由三角形内角和得$3x+4x+5x=180°$，解得$x=15°$，最大角$∠ C=5×15°=75°＜90°$，不能判定为直角三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形的判定、勾股定理的逆定理、三角形内角和定理
【点评】
本题是直角三角形判定的基础题型，核心是掌握从边、角两个角度判定直角三角形的方法，计算角度时需牢记三角形内角和为180°，用边长判定时注意区分最长边，避免公式套用错误。
【难度系数】
0.8

3.如图,在原点为O的数轴上,作一个两直角边长分别是1和3,斜边为OB的直角三角形,点A在点O右边的数轴上,且OA=OB,则点A表示的实数是
（）


A.10
B.3.3
C.$2\sqrt{5}$
D.$\sqrt{10}$

3.D

【分析】要解决这道题，可按两步思考：第一步，已知直角三角形的两条直角边长，用勾股定理就能算出斜边OB的长度；第二步，因为OA=OB，且点A在原点右侧的正半轴上，所以OB的长度就是点A表示的实数。
【解析】根据勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
已知直角三角形的两直角边长分别为1和3，因此斜边OB的长度为：
$OB=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$
由题意得$OA=OB$，且点A在数轴正半轴上，因此点A表示的实数为$\sqrt{10}$。
【答案】D
【知识点】勾股定理；数轴与实数
【点评】本题属于勾股定理的基础应用题型，将几何边长计算和数轴结合，考查对基础知识点的理解和简单应用能力。
【难度系数】0.8

4.如图,在$△ ABC$中,$AB=2,BC=3$,以$AC$为边作正方形$ACDE$,若正方形$ACDE$的面积是13,则阴影部分的面积为 ()

A.3
B.6
C.10
D.16

4.C

【分析】
解题思路：首先从已知的正方形面积入手，正方形面积等于边长的平方，可直接得到AC²的数值；接下来结合△ABC的两条边长AB、BC的长度，计算AB²+BC²的和，将其与AC²对比，利用勾股定理逆定理判断△ABC是直角三角形，计算出△ABC的面积；最后观察图形可知阴影部分面积等于正方形ACDE的面积减去空白△ABC的面积，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵正方形ACDE的面积是13，
∴$AC^2=13$，
在$△ABC$中，$AB=2$，$BC=3$，
∴$AB^2+BC^2=2^2+3^2=4+9=13=AC^2$，
根据勾股定理的逆定理可得，$△ABC$为直角三角形，且$∠ B=90°$，
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AB×BC=\frac{1}{2}×2×3=3$，
由图可知，阴影部分面积$=S_{正方形ACDE}-S_{△ABC}=13-3=10$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理逆定理，正方形面积计算，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的关键是先通过正方形面积得到AC²的值，再利用勾股定理逆定理判定△ABC为直角三角形，最后结合面积和差关系求出阴影面积，很好地考查了对勾股定理逆定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7

5. 以$\sqrt{2}$，2，$\sqrt{2}$为边的三角形的形状是。

5.等腰直角三角形

【分析】
拿到本题已知三角形三边长度，解题思路分为两步：第一步先观察边的长度特征，发现有两条边长度相等，可初步判定为等腰三角形；第二步结合勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形，计算两条较短边的平方和，与最长边的平方对比，若相等则为直角三角形，结合两个特征即可确定三角形的最终形状。
【解析】
设该三角形的三条边分别为$a=\sqrt{2}$，$b=\sqrt{2}$，$c=2$。
1. 判定等腰属性：
因为$a=b=\sqrt{2}$，即三角形有两条边长度相等，因此该三角形是等腰三角形。
2. 判定直角属性：
计算两条较短边的平方和：$a^2+b^2=(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2=2+2=4$
计算最长边的平方：$c^2=2^2=4$
可得$a^2+b^2=c^2$，根据勾股定理的逆定理，该三角形是直角三角形，且边长为2的边所对的角为直角。
综上，该三角形同时满足等腰三角形和直角三角形的特征，因此是等腰直角三角形。
【答案】
等腰直角三角形
【知识点】
1.等腰三角形的判定
2.勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础题型，重点考察等腰三角形判定和勾股定理逆定理的综合应用，解题逻辑清晰，计算量小，掌握相关定理的内容即可顺利解答。
【难度系数】
0.8

6.定义:底边和底边上的高相等的等腰三角形称为“和谐”三角形。若“和谐”三角形的面积为2,则其腰长为。

6.$\sqrt{5}$

【分析】
解题时首先要读懂“和谐”三角形的定义，明确其是底边与底边上高相等的等腰三角形。第一步先根据三角形面积公式，结合已知面积求出底边和高的长度；第二步利用等腰三角形“三线合一”的性质，得到底边一半的长度；最后以底边的一半、底边上的高为直角边，腰为斜边，用勾股定理计算腰长即可。
【解析】
设该“和谐”三角形的底边长为$ x $，根据定义可知底边上的高也为$ x $。
由三角形面积公式可得：
$\frac{1}{2} × x × x = 2$
整理得$ x^2 = 4 $，因为边长为正数，所以$ x = 2 $。
即底边长为2，底边上的高为2。
根据等腰三角形三线合一的性质，底边上的高平分底边，因此底边的一半长度为$ 2 ÷ 2 = 1 $。
由勾股定理可得，腰长为：
$\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
等腰三角形的性质；勾股定理；三角形面积计算
【点评】
本题结合新定义考查基础几何知识的应用，解题的核心是准确理解新定义，先利用面积条件求出底边和高的长度，再结合勾股定理求解腰长，整体思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8

7.如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,交AC于点D,AB=4,BD=5,AD=3,则点D到BC的距离为。
第7题图

7.3

【分析】
要求点D到BC的距离，可结合角平分线的性质求解：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此只需先求出点D到AB的距离即可。首先观察△ABD的三边长，3、4、5满足勾股定理逆定理，可判断△ABD是直角三角形，得到AD垂直AB，进而得到点D到AB的距离就是AD的长度，最后结合角平分线的性质即可得到答案。
【解析】
1. 判断△ABD的形状：
已知AB=4，AD=3，BD=5，计算得：
$AD^2 + AB^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$，$BD^2 = 5^2 = 25$，
因此$AD^2 + AB^2 = BD^2$，根据勾股定理的逆定理，△ABD是直角三角形，且$∠ A=90°$，即$AD ⊥ AB$。
所以点D到AB边的距离等于AD的长度，为3。
2. 应用角平分线的性质：
因为BD平分$∠ ABC$，点D在BD上，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得点D到BC的距离等于点D到AB的距离，即3。
【答案】
3
【知识点】
勾股定理的逆定理，角平分线的性质
【点评】
本题是基础的几何综合题，解题的关键是先利用勾股定理逆定理判断直角三角形，得到点到直线的距离，再结合角平分线的性质完成距离的转化，即可快速求出结果。
【难度系数】
0.7

8.如图，已知$∠ A=90°,AC=AB=4,CD=2,BD=6$。则$∠ ACD$的度数为。

8.$45°$

【分析】
解题时先从已知的等腰直角$△ ABC$入手，利用勾股定理计算出斜边$BC$的长度；再将$BC$的长度与$CD$、$BD$的长度结合，用勾股定理的逆定理判断$△ BCD$的形状，得到$∠ BCD$的度数；最后结合等腰直角三角形$∠ ACB$的度数，作差即可求出$∠ ACD$的度数。
【解析】
1. 在$Rt△ ABC$中，$∠ A=90°$，$AC=AB=4$，根据勾股定理：
$BC^2=AC^2+AB^2=4^2+4^2=32$
2. 已知$CD=2$，$BD=6$，计算得：
$CD^2+BC^2=2^2+32=4+32=36$，$BD^2=6^2=36$
因此$CD^2+BC^2=BD^2$，根据勾股定理的逆定理，$△ BCD$是直角三角形，且$∠ BCD=90°$
3. 因为$△ ABC$是等腰直角三角形，$∠ A=90°$，$AC=AB$，所以$∠ ACB=45°$
4. 因此$∠ ACD=∠ BCD-∠ ACB=90°-45°=45°$
【答案】
$45°$
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是勾股定理相关的基础综合题，解题关键是先求出公共边$BC$的长度，通过勾股定理逆定理判断直角三角形，再结合等腰直角三角形的角度特征计算所求角，考查了对勾股定理及逆定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7

9.如图,以三角形的三边长为直径向外作三个半圆,若较小的两个半圆的面积之和等于较大的半圆的面积,则这个三角形是三角形。

9.直角

【分析】
要判断三角形的形状，可先根据半圆面积的等量关系推导三角形三边的数量关系。首先设出三角形的三边长，分别表示出三个半圆的面积，再结合“较小两个半圆面积之和等于较大半圆面积”的条件列等式，化简得到三边的平方关系，最后利用勾股定理的逆定理即可判断三角形的类型。
【解析】
设三角形的三条边长从小到大依次为$a$、$b$、$c$（即$c$为最长边），则三个半圆的半径分别为$\frac{a}{2}$、$\frac{b}{2}$、$\frac{c}{2}$。
根据半圆面积公式$S=\frac{1}{2}π r^2$，可得：
较小两个半圆的面积和为：$\frac{1}{2}π · (\frac{a}{2})^2 + \frac{1}{2}π · (\frac{b}{2})^2 = \frac{π a^2}{8} + \frac{π b^2}{8}$
较大半圆的面积为：$\frac{1}{2}π · (\frac{c}{2})^2 = \frac{π c^2}{8}$
由题意得：$\frac{π a^2}{8} + \frac{π b^2}{8} = \frac{π c^2}{8}$
两边同时乘以$\frac{8}{π}$，化简得：$a^2 + b^2 = c^2$
根据勾股定理的逆定理，可知这个三角形是直角三角形。
【答案】
直角
【知识点】
勾股定理的逆定理；半圆的面积计算
【点评】
本题是几何基础综合题，将圆的面积计算与三角形形状判定相结合，解题的核心是通过面积等量关系推导出三角形三边的平方关系，再结合勾股定理逆定理得出结论。
【难度系数】
0.7

10.如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1。

(1)求△ABC的周长。
(2)△ABC是直角三角形吗？为什么？

10.(1)由勾股定理可得，$AC=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$；$BC=\sqrt{8^2+1^2}=\sqrt{65}$；$AB=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}$；故$△ ABC$的周长是$\sqrt{65}+\sqrt{13}+\sqrt{52}$。
(2)因为$(\sqrt{13})^2+(\sqrt{52})^2=(\sqrt{65})^2$，所以$AC^2+AB^2=BC^2$，所以$△ ABC$是直角三角形。

【分析】
本题可分两小问逐步思考求解：
1. 求三角形周长需要先得到三条边的长度，网格中的斜线段可以看作直角三角形的斜边，我们只要数出每条边对应的水平、竖直方向的直角边格数，用勾股定理就能算出各边长度，相加后即可得到周长。
2. 判断三角形是否为直角三角形，使用勾股定理的逆定理即可：先找到三条边中的最长边，验证两条短边的平方和是否等于最长边的平方，若相等则为直角三角形。
【解析】
(1) 已知小方格边长为1，根据勾股定理计算三边长：
$AC$对应竖直直角边长为3，水平直角边长为2，因此$AC=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$；
$AB$对应水平直角边长为6，竖直直角边长为4，因此$AB=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}$；
$BC$对应水平直角边长为8，竖直直角边长为1，因此$BC=\sqrt{8^2+1^2}=\sqrt{65}$；
三角形周长为三边长度之和，即$\sqrt{13}+\sqrt{52}+\sqrt{65}$。
(2) 先计算三条边的平方：
$AC^2=(\sqrt{13})^2=13$，$AB^2=(\sqrt{52})^2=52$，$BC^2=(\sqrt{65})^2=65$，
可得$(\sqrt{13})^2+(\sqrt{52})^2=13+52=65=(\sqrt{65})^2$，即$AC^2+AB^2=BC^2$，根据勾股定理的逆定理，可判断△ABC是直角三角形。
【答案】
(1) $△ ABC$的周长是$\sqrt{65}+\sqrt{13}+\sqrt{52}$；
(2) $△ ABC$是直角三角形，因为$AC^2+AB^2=BC^2$，符合勾股定理的逆定理。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；三角形周长计算
【点评】
本题是勾股定理相关的基础题型，结合网格考查知识点的应用，解题的关键是准确数出各边对应的直角边长度，易错点为数格时粗心出错，整体难度不高。
【难度系数】
0.7