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11.如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端与地面的垂直距离为8m。如果梯子的顶端下滑2m，那么梯子的底端向外滑动
2
m。答案
11.2
解析
【分析】
本题可通过勾股定理求解，解题思路如下：首先明确梯子、墙面、地面始终构成直角三角形，且梯子长度作为斜边始终不变。第一步先计算梯子滑动前底端到墙的水平距离；第二步计算顶端下滑2m后，梯子底端到墙的新水平距离；最后将两个水平距离作差，即可得到底端向外滑动的距离。
【解析】
解：①计算滑动前梯子底端到墙的距离：
已知梯子长10m，顶端距地面8m，设此时底端距墙$x$ m，墙面与地面垂直，由勾股定理得：
$x^2 + 8^2 = 10^2$
$x^2 = 100 - 64 = 36$
因为长度为正数，所以$x=6$。
②计算顶端下滑2m后梯子底端到墙的距离：
顶端下滑2m后，顶端距地面高度为$8-2=6$m，设此时底端距墙$y$ m，梯子长度不变仍为10m，由勾股定理得：
$y^2 + 6^2 = 10^2$
$y^2 = 100 - 36 = 64$
因为长度为正数，所以$y=8$。
③计算底端滑动距离：
$y - x = 8 - 6 = 2$（m）
【答案】
2
【知识点】
勾股定理，实际问题建模
【点评】
本题是勾股定理在生活场景中的典型应用，解题的核心是抓住梯子长度不变这一隐含条件，分别求出滑动前后的水平距离再作差即可，做题时要避免走入“下滑距离等于底端滑动距离”的误区。
【难度系数】
0.8
本题可通过勾股定理求解，解题思路如下：首先明确梯子、墙面、地面始终构成直角三角形，且梯子长度作为斜边始终不变。第一步先计算梯子滑动前底端到墙的水平距离；第二步计算顶端下滑2m后，梯子底端到墙的新水平距离；最后将两个水平距离作差，即可得到底端向外滑动的距离。
【解析】
解：①计算滑动前梯子底端到墙的距离：
已知梯子长10m，顶端距地面8m，设此时底端距墙$x$ m，墙面与地面垂直，由勾股定理得：
$x^2 + 8^2 = 10^2$
$x^2 = 100 - 64 = 36$
因为长度为正数，所以$x=6$。
②计算顶端下滑2m后梯子底端到墙的距离：
顶端下滑2m后，顶端距地面高度为$8-2=6$m，设此时底端距墙$y$ m，梯子长度不变仍为10m，由勾股定理得：
$y^2 + 6^2 = 10^2$
$y^2 = 100 - 36 = 64$
因为长度为正数，所以$y=8$。
③计算底端滑动距离：
$y - x = 8 - 6 = 2$（m）
【答案】
2
【知识点】
勾股定理，实际问题建模
【点评】
本题是勾股定理在生活场景中的典型应用，解题的核心是抓住梯子长度不变这一隐含条件，分别求出滑动前后的水平距离再作差即可，做题时要避免走入“下滑距离等于底端滑动距离”的误区。
【难度系数】
0.8
12.如图，P是正三角形ABC内一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P'AB，则点P与P'之间的距离为PP'=
6
，∠APB=$150°$
。答案
12.6 $150°$
【解析】如图，连结$PP'$，由旋转可知：$△ P'AB ≌ △ PAC$，所以$∠ CAP = ∠ BAP'$，$AP=AP'=6$，$CP=BP'=10$。又因为$∠ CAP + ∠ PAB=60°$，所以$∠ P'AP = ∠ BAP' + ∠ BAP=60°$，所以$△ P'AP$是等边三角形，所以$AP=AP'=PP'=6$，所以$∠ APP'=60°$。因为$6^2+8^2=10^2$，所以$P'P^2+PB^2=P'B^2$，所以$△ P'PB$是直角三角形，所以$∠ P'PB=90°$，所以$∠ APB=∠ P'PB+∠ APP'=150°$。
故答案为$6$；$150°$。解析
【分析】
解题时先利用旋转的性质得到对应边、对应角相等的关系。首先连接PP'，由旋转可知AP=AP'，结合正三角形ABC内角为60°，可推出∠P'AP=60°，判断出△P'AP是等边三角形，即可得到PP'的长度；再观察△P'PB的三边长度，用勾股定理的逆定理判断其为直角三角形，得到∠P'PB的度数，最后将∠APP'和∠P'PB相加就能得到∠APB的度数。
【解析】
如图，连结$PP'$，由旋转的性质可得：$△ P'AB ≌ △ PAC$，因此$∠ CAP = ∠ BAP'$，$AP=AP'=6$，$CP=BP'=10$。
∵ 正三角形ABC中$∠BAC=∠CAP + ∠ PAB=60°$，
∴ $∠ P'AP = ∠ BAP' + ∠ BAP=∠CAP + ∠PAB=60°$，
∴ $△ P'AP$是等边三角形，
∴ $PP'=AP=6$，$∠ APP'=60°$。
在$△P'PB$中，$PP'=6$，$PB=8$，$P'B=10$，
∵ $6^2+8^2=36+64=100=10^2$，即$P'P^2+PB^2=P'B^2$，
∴ $△ P'PB$是直角三角形，且$∠ P'PB=90°$，
∴ $∠ APB=∠ P'PB+∠ APP'=90°+60°=150°$。
【答案】
6；$150°$
【知识点】
旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理
【点评】
本题是几何转化思想的典型应用，通过旋转将原本分散的三条线段集中到两个关联三角形中求解，掌握旋转的性质是解题前提，同时需要熟练运用等边三角形和勾股定理逆定理的相关知识。
【难度系数】
0.6
解题时先利用旋转的性质得到对应边、对应角相等的关系。首先连接PP'，由旋转可知AP=AP'，结合正三角形ABC内角为60°，可推出∠P'AP=60°，判断出△P'AP是等边三角形，即可得到PP'的长度；再观察△P'PB的三边长度，用勾股定理的逆定理判断其为直角三角形，得到∠P'PB的度数，最后将∠APP'和∠P'PB相加就能得到∠APB的度数。
【解析】
如图，连结$PP'$
，由旋转的性质可得：$△ P'AB ≌ △ PAC$，因此$∠ CAP = ∠ BAP'$，$AP=AP'=6$，$CP=BP'=10$。∵ 正三角形ABC中$∠BAC=∠CAP + ∠ PAB=60°$，
∴ $∠ P'AP = ∠ BAP' + ∠ BAP=∠CAP + ∠PAB=60°$，
∴ $△ P'AP$是等边三角形，
∴ $PP'=AP=6$，$∠ APP'=60°$。
在$△P'PB$中，$PP'=6$，$PB=8$，$P'B=10$，
∵ $6^2+8^2=36+64=100=10^2$，即$P'P^2+PB^2=P'B^2$，
∴ $△ P'PB$是直角三角形，且$∠ P'PB=90°$，
∴ $∠ APB=∠ P'PB+∠ APP'=90°+60°=150°$。
【答案】
6；$150°$
【知识点】
旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理
【点评】
本题是几何转化思想的典型应用，通过旋转将原本分散的三条线段集中到两个关联三角形中求解，掌握旋转的性质是解题前提，同时需要熟练运用等边三角形和勾股定理逆定理的相关知识。
【难度系数】
0.6
13. 如图，一块四边形的土地，其中$∠ DAB = 90°$，$AB = 4\mathrm{m}$，$AD = 3\mathrm{m}$，$BC = 12\mathrm{m}$，$CD = 13\mathrm{m}$，求这块土地的面积。
答案
13.如图，连结$BD$，由勾股定理得$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=5$。因为$BD^2+BC^2=5^2+12^2=169=13^2$，所以$BD^2+BC^2=CD^2$，所以$△ BCD$是直角三角形，且$∠ CBD=90°$，所以$S_{四边形ABCD}=S_{△ ABD}+S_{△ BDC}=\frac{1}{2}AD× AB+\frac{1}{2}BC× BD=\frac{1}{2}×3×4+\frac{1}{2}×12×5=36$，所以这块土地的面积为$36\mathrm{m^2}$。
解析
【分析】
本题是不规则四边形的面积求解问题，我们可以用割补法将其转化为规则图形的面积和计算。首先观察到∠DAB为直角，因此连接BD，将四边形分割为△ABD和△BCD两个三角形：第一步先在Rt△ABD中利用勾股定理求出BD的长度；第二步根据△BCD的三边长，用勾股定理的逆定理判断该三角形是否为直角三角形；第三步若△BCD是直角三角形，分别计算两个三角形的面积再求和，即可得到四边形的总面积。
【解析】
解：如图，连结BD，
在Rt△ABD中，∠DAB=90°，AB=4m，AD=3m，
由勾股定理得：$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5\mathrm{m}$，
在△BCD中，BD=5m，BC=12m，CD=13m，
∵$BD^2+BC^2=5^2+12^2=25+144=169$，$CD^2=13^2=169$，
∴$BD^2+BC^2=CD^2$，
∴△BCD是直角三角形，且∠CBD=90°，
∴$S_{四边形ABCD}=S_{△ABD}+S_{△BDC}$
$=\frac{1}{2}AD× AB+\frac{1}{2}BC× BD$
$=\frac{1}{2}×3×4+\frac{1}{2}×12×5$
$=6+30=36(\mathrm{m^2})$
【答案】
这块土地的面积为$36\mathrm{m^2}$。
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，割补法求面积
【点评】
本题是勾股定理应用的典型题型，通过添加辅助线将不规则四边形转化为两个直角三角形求解，核心是灵活运用勾股定理及其逆定理，解题关键是合理构造辅助线，把未知的不规则图形面积问题转化为熟悉的三角形面积问题。
【难度系数】
0.7
本题是不规则四边形的面积求解问题，我们可以用割补法将其转化为规则图形的面积和计算。首先观察到∠DAB为直角，因此连接BD，将四边形分割为△ABD和△BCD两个三角形：第一步先在Rt△ABD中利用勾股定理求出BD的长度；第二步根据△BCD的三边长，用勾股定理的逆定理判断该三角形是否为直角三角形；第三步若△BCD是直角三角形，分别计算两个三角形的面积再求和，即可得到四边形的总面积。
【解析】
解：如图，连结BD，
在Rt△ABD中，∠DAB=90°，AB=4m，AD=3m，
由勾股定理得：$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5\mathrm{m}$，
在△BCD中，BD=5m，BC=12m，CD=13m，
∵$BD^2+BC^2=5^2+12^2=25+144=169$，$CD^2=13^2=169$，
∴$BD^2+BC^2=CD^2$，
∴△BCD是直角三角形，且∠CBD=90°，
∴$S_{四边形ABCD}=S_{△ABD}+S_{△BDC}$
$=\frac{1}{2}AD× AB+\frac{1}{2}BC× BD$
$=\frac{1}{2}×3×4+\frac{1}{2}×12×5$
$=6+30=36(\mathrm{m^2})$
【答案】
这块土地的面积为$36\mathrm{m^2}$。
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，割补法求面积
【点评】
本题是勾股定理应用的典型题型，通过添加辅助线将不规则四边形转化为两个直角三角形求解，核心是灵活运用勾股定理及其逆定理，解题关键是合理构造辅助线，把未知的不规则图形面积问题转化为熟悉的三角形面积问题。
【难度系数】
0.7
14.如图,有一架秋千,当它静止在AD的位置时,座板离地的垂直高度为0.5m,将秋千AD往前推送3m,到达AB的位置,此时,秋千的座板离地的垂直高度为1.5m,秋千的绳索始终保持拉直的状态。
(1)根据题意,BF=
(2)根据(1)中求得的数据,求秋千AD的长度。
(1)根据题意,BF=
1.5
m,BC=3
m,CD=1
m。(2)根据(1)中求得的数据,求秋千AD的长度。
答案
14.(1)由题意得$BF=1.5\mathrm{m}$，$BC=3\mathrm{m}$，$DE=0.5\mathrm{m}$。因为$BF⊥ EF$，$AE⊥ EF$，$BC⊥ AE$，所以四边形$BCEF$是矩形，所以$CE=BF=1.5\mathrm{m}$，所以$CD=CE-DE=1.5-0.5=1(\mathrm{m})$，故答案为$1.5$；$3$；$1$。
(2)因为$BC⊥ AC$，所以$∠ ACB=90°$。设秋千的长度为$x\mathrm{m}$，则$AB=AD=x\mathrm{m}$，$AC=AD-CD=(x-1)\mathrm{m}$，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得$AC^2+BC^2=AB^2$，即$(x-1)^2+3^2=x^2$，解得$x=5$，即秋千$AD$的长度是$5\mathrm{m}$。
(2)因为$BC⊥ AC$，所以$∠ ACB=90°$。设秋千的长度为$x\mathrm{m}$，则$AB=AD=x\mathrm{m}$，$AC=AD-CD=(x-1)\mathrm{m}$，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得$AC^2+BC^2=AB^2$，即$(x-1)^2+3^2=x^2$，解得$x=5$，即秋千$AD$的长度是$5\mathrm{m}$。
解析
【分析】
第(1)问先从题干提取对应长度：AB位置时座板离地高度就是BF的长，推送的水平距离就是BC的长，静止时座板离地高度是DE的长；再由三个垂直条件判定四边形BCEF是矩形，得CE=BF，进而用CE减DE算出CD的长。第(2)问利用绳索长度不变得AB=AD，设AD长为x，用含x的式子表示AC的长度，在直角三角形ABC中代入勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 由题意得：秋千在AB位置时座板离地垂直高度为1.5m，且$BF⊥EF$，因此$BF=1.5\mathrm{m}$；秋千往前推送的水平距离为3m，$BC⊥AE$，因此$BC=3\mathrm{m}$；静止时座板离地高度$DE=0.5\mathrm{m}$。
因为$BF⊥EF$，$AE⊥EF$，$BC⊥AE$，所以四边形BCEF是矩形，可得$CE=BF=1.5\mathrm{m}$，因此$CD=CE-DE=1.5-0.5=1\mathrm{m}$。
(2) 设秋千AD的长度为$x\mathrm{m}$，因绳索始终拉直长度不变，故$AB=AD=x\mathrm{m}$，则$AC=AD-CD=(x-1)\mathrm{m}$。
已知$BC⊥AC$，即$△ ACB$为直角三角形，由勾股定理得$AC^2+BC^2=AB^2$，代入数据得：
$(x-1)^2+3^2=x^2$
展开化简得：$x^2-2x+1+9=x^2$，即$-2x+10=0$，解得$x=5$。
【答案】
(1) $1.5$；$3$；$1$
(2) 秋千AD的长度是$5\mathrm{m}$
【知识点】
矩形的性质，勾股定理的应用，一元一次方程的应用
【点评】
本题是勾股定理结合实际场景的典型习题，解题核心是从实际问题中抽象出直角三角形和矩形的几何模型，找到各边的数量关系后通过列方程求解，考查了将实际问题转化为数学问题的建模能力。
【难度系数】
0.7
第(1)问先从题干提取对应长度：AB位置时座板离地高度就是BF的长，推送的水平距离就是BC的长，静止时座板离地高度是DE的长；再由三个垂直条件判定四边形BCEF是矩形，得CE=BF，进而用CE减DE算出CD的长。第(2)问利用绳索长度不变得AB=AD，设AD长为x，用含x的式子表示AC的长度，在直角三角形ABC中代入勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 由题意得：秋千在AB位置时座板离地垂直高度为1.5m，且$BF⊥EF$，因此$BF=1.5\mathrm{m}$；秋千往前推送的水平距离为3m，$BC⊥AE$，因此$BC=3\mathrm{m}$；静止时座板离地高度$DE=0.5\mathrm{m}$。
因为$BF⊥EF$，$AE⊥EF$，$BC⊥AE$，所以四边形BCEF是矩形，可得$CE=BF=1.5\mathrm{m}$，因此$CD=CE-DE=1.5-0.5=1\mathrm{m}$。
(2) 设秋千AD的长度为$x\mathrm{m}$，因绳索始终拉直长度不变，故$AB=AD=x\mathrm{m}$，则$AC=AD-CD=(x-1)\mathrm{m}$。
已知$BC⊥AC$，即$△ ACB$为直角三角形，由勾股定理得$AC^2+BC^2=AB^2$，代入数据得：
$(x-1)^2+3^2=x^2$
展开化简得：$x^2-2x+1+9=x^2$，即$-2x+10=0$，解得$x=5$。
【答案】
(1) $1.5$；$3$；$1$
(2) 秋千AD的长度是$5\mathrm{m}$
【知识点】
矩形的性质，勾股定理的应用，一元一次方程的应用
【点评】
本题是勾股定理结合实际场景的典型习题，解题核心是从实际问题中抽象出直角三角形和矩形的几何模型，找到各边的数量关系后通过列方程求解，考查了将实际问题转化为数学问题的建模能力。
【难度系数】
0.7
15.定义:如图,点M,N把线段AB分割成AM,MN,NB,若以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形,则称点M,N是线段AB的勾股分割点。
(1)已知M,N把线段AB分割成AM,MN,NB,若AM=1.5,MN=2.5,BN=2,则点M,N是线段AB的勾股分割点吗?请说明理由。
(2)已知点M,N是线段AB的勾股分割点,且AM为直角边,若AB=24,AM=6,求BN的长。
(1)已知M,N把线段AB分割成AM,MN,NB,若AM=1.5,MN=2.5,BN=2,则点M,N是线段AB的勾股分割点吗?请说明理由。
(2)已知点M,N是线段AB的勾股分割点,且AM为直角边,若AB=24,AM=6,求BN的长。
答案
15.(1)是。理由如下：因为$AM^2+BN^2=1.5^2+2^2=6.25$，$MN^2=2.5^2=6.25$，所以$AM^2+NB^2=MN^2$，所以以$AM$，$MN$，$NB$为边的三角形是一个直角三角形，所以点$M$，$N$是线段$AB$的勾股分割点。
(2)设$BN=x$，则$MN=24-AM-BN=18-x$，①当$MN$为最大线段时，依题意$MN^2=AM^2+NB^2$，即$(18-x)^2=x^2+36$，解得$x=8$；②当$BN$为最大线段时，依题意$BN^2=AM^2+MN^2$。即$x^2=36+(18-x)^2$，解得$x=10$，综上所述，$BN=8$或$10$。
(2)设$BN=x$，则$MN=24-AM-BN=18-x$，①当$MN$为最大线段时，依题意$MN^2=AM^2+NB^2$，即$(18-x)^2=x^2+36$，解得$x=8$；②当$BN$为最大线段时，依题意$BN^2=AM^2+MN^2$。即$x^2=36+(18-x)^2$，解得$x=10$，综上所述，$BN=8$或$10$。
解析
【分析】
(1) 要判断点M,N是不是线段AB的勾股分割点，只需根据定义验证AM、MN、NB三条线段能否构成直角三角形即可：先确定三条线段中的最长边，再计算两条较短线段的平方和，看是否等于最长线段的平方，若相等则符合勾股分割点的定义。
(2) 已知AM是直角边，总长AB=24，AM=6，可先得到MN+NB=24-6=18，设BN=x，则MN=18-x。由于未明确哪条线段是斜边，需分两种情况讨论：①MN为斜边，②BN为斜边，分别根据勾股定理列方程求解，注意检验结果是否符合线段长度为正的要求。
【解析】
(1) 点M,N是线段AB的勾股分割点，理由如下：
首先计算三条边的平方：$AM^2=1.5^2=2.25$，$BN^2=2^2=4$，$MN^2=2.5^2=6.25$，
可得$AM^2+BN^2=2.25+4=6.25=MN^2$，
因此以AM、MN、NB为边的三角形是直角三角形，符合勾股分割点的定义，故点M,N是线段AB的勾股分割点。
(2) 设$BN=x$，由线段和差关系得：$MN=AB-AM-BN=24-6-x=18-x$，
已知AM为直角边，分两种情况讨论：
① 当MN为最长边（斜边）时，根据勾股定理得：$MN^2=AM^2+BN^2$，
代入得：$(18-x)^2=6^2+x^2$，
展开整理：$324-36x+x^2=36+x^2$，
消去$x^2$后解得：$36x=288$，$x=8$；
② 当BN为最长边（斜边）时，根据勾股定理得：$BN^2=AM^2+MN^2$，
代入得：$x^2=6^2+(18-x)^2$，
展开整理：$x^2=36+324-36x+x^2$，
消去$x^2$后解得：$36x=360$，$x=10$；
两种情况的解均为正数，符合线段长度要求。
【答案】
(1) 是，理由见解析；(2) BN的长为8或10。
【知识点】
勾股定理的逆定理，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题属于新定义类题型，解题的核心是准确理解“勾股分割点”的定义，第一问直接结合勾股定理的逆定理验证即可；第二问未明确斜边时，要注意分情况讨论，避免漏解，考查了对勾股定理的灵活应用能力和逻辑严谨性。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断点M,N是不是线段AB的勾股分割点，只需根据定义验证AM、MN、NB三条线段能否构成直角三角形即可：先确定三条线段中的最长边，再计算两条较短线段的平方和，看是否等于最长线段的平方，若相等则符合勾股分割点的定义。
(2) 已知AM是直角边，总长AB=24，AM=6，可先得到MN+NB=24-6=18，设BN=x，则MN=18-x。由于未明确哪条线段是斜边，需分两种情况讨论：①MN为斜边，②BN为斜边，分别根据勾股定理列方程求解，注意检验结果是否符合线段长度为正的要求。
【解析】
(1) 点M,N是线段AB的勾股分割点，理由如下：
首先计算三条边的平方：$AM^2=1.5^2=2.25$，$BN^2=2^2=4$，$MN^2=2.5^2=6.25$，
可得$AM^2+BN^2=2.25+4=6.25=MN^2$，
因此以AM、MN、NB为边的三角形是直角三角形，符合勾股分割点的定义，故点M,N是线段AB的勾股分割点。
(2) 设$BN=x$，由线段和差关系得：$MN=AB-AM-BN=24-6-x=18-x$，
已知AM为直角边，分两种情况讨论：
① 当MN为最长边（斜边）时，根据勾股定理得：$MN^2=AM^2+BN^2$，
代入得：$(18-x)^2=6^2+x^2$，
展开整理：$324-36x+x^2=36+x^2$，
消去$x^2$后解得：$36x=288$，$x=8$；
② 当BN为最长边（斜边）时，根据勾股定理得：$BN^2=AM^2+MN^2$，
代入得：$x^2=6^2+(18-x)^2$，
展开整理：$x^2=36+324-36x+x^2$，
消去$x^2$后解得：$36x=360$，$x=10$；
两种情况的解均为正数，符合线段长度要求。
【答案】
(1) 是，理由见解析；(2) BN的长为8或10。
【知识点】
勾股定理的逆定理，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题属于新定义类题型，解题的核心是准确理解“勾股分割点”的定义，第一问直接结合勾股定理的逆定理验证即可；第二问未明确斜边时，要注意分情况讨论，避免漏解，考查了对勾股定理的灵活应用能力和逻辑严谨性。
【难度系数】
0.7
