原题1:已知等腰三角形三边长分别为$m-2,16-m$和6,试求出$m$的值。
【解析】本题不知道等腰三角形三边中哪两边是腰,因此要进行分类讨论,分别讨论$m-2=16-m$,$m-2=6$和$16-m=6$的三种情况,并分别求出$m$的值。注意,求出的$m$的值需要进行验证,$m$既不能是负数,也不能让三边的代数式成为负数,还要符合三角形两边之和大于第三边的性质。
变式1:在原题1中,若三边长变为$m-2,16-m$和$2m+4$,那么$m$的值又是多少?

分类讨论:①当 $m-2=16-m$ 时,解得 $m=9$,三边为 7,7,6,能构成三角形;②当 $m-2=6$ 时,解得 $m=8$,三边为 6,8,6,能构成三角形;③当 $16-m=6$ 时,解得 $m=10$,三边为 8,6,6,能构成三角形;所以 $m$ 为 9 或 8 或 10。
变式 1:分类讨论:①当 $m-2=16-m$ 时,解得 $m=9$,三边分别为 7,7,22,不能构成三角形;②当 $m-2=2m+4$ 时,解得 $m=-6$,舍去;③当 $16-m=2m+4$ 时,解得 $m=4$,三边分别为 2,12,12,能构成三角形;所以 $m=4$。

【分析】
本题是等腰三角形边长求解问题，因题目未明确哪两条边是等腰三角形的腰，所以需要分三种情况讨论两条边相等的情况：第一种是前两条边相等，第二种是第一条和第三条边相等，第三种是第二条和第三条边相等。每种情况解出m的值后，必须验证两个条件：一是三边长都为正数，二是满足三角形任意两边之和大于第三边的三边关系，不符合条件的m值要舍去，最终得到符合要求的m。
【解析】
原题1解答：
分三种情况讨论：
① 当$m-2=16-m$时，解方程得$2m=18$，即$m=9$。此时三边长分别为$9-2=7$、$16-9=7$、$6$，验证可得$7+7＞6$、$7+6＞7$，三边均为正数，满足三角形三边关系，该情况成立。
② 当$m-2=6$时，解方程得$m=8$。此时三边长分别为$6$、$16-8=8$、$6$，验证可得$6+6＞8$、$6+8＞6$，三边均为正数，满足三角形三边关系，该情况成立。
③ 当$16-m=6$时，解方程得$m=10$。此时三边长分别为$10-2=8$、$6$、$6$，验证可得$6+6＞8$、$6+8＞6$，三边均为正数，满足三角形三边关系，该情况成立。
变式1解答：
分三种情况讨论：
① 当$m-2=16-m$时，解方程得$m=9$。此时三边长分别为$7$、$7$、$2×9+4=22$，验证可得$7+7=14＜22$，不满足两边之和大于第三边，舍去该情况。
② 当$m-2=2m+4$时，解方程得$m=-6$，此时边长$m-2=-8$为负数，不符合边长实际意义，舍去该情况。
③ 当$16-m=2m+4$时，解方程得$3m=12$，即$m=4$。此时三边长分别为$4-2=2$、$16-4=12$、$2×4+4=12$，验证可得$2+12＞12$、$12+12＞2$，三边均为正数，满足三角形三边关系，该情况成立。
【答案】
原题1：$m$的值为8或9或10；变式1：$m$的值为4
【知识点】
等腰三角形定义；三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题重点考察等腰三角形的分类讨论原则，易错点是求解出m的值后容易忽略验证三角形的构成条件，导致出现增解错误，养成求解边长后验证合理性的习惯可以有效避免这类失误。
【难度系数】
0.6

原题2:$△ ABC$是等腰三角形,若有一个角等于$80°$,求另两个角度数。
【解析】已知角可以是顶角,也可以是底角。若为顶角,则其底角$=\frac{180°-顶角}{2}$；若为底角,则其顶角$=180°-2×底角$。
变式2:(1)若一个等腰三角形的一个外角为$40°$,求该等腰三角形的底角的度数。
(2)如果等腰三角形的一个角比另一个角大$30°$,求它的顶角。

原题2:①若等腰三角形的顶角为 $80°$ 时,另外两个内角$=\frac{1}{2}×(180°-80°)=50°$;②若等腰三角形的底角为 $80°$ 时,它的另外一个底角为 $80°$,顶角为 $180°-80°-80°=20°$。综上所述,另两个角度数为 $50°,50°$ 或 $80°,20°$。
变式 2:(1)$20°$。
(2)①较大的角为顶角,设这个角为 $x°$,则 $x+2(x-30)=180,x=80$;②较大的角为底角,设顶角为 $y°$,则 $y+2(y+30)=180,y=40$。综上所述,该等腰三角形的顶角为 $80°$ 或 $40°$。

【分析】
解决等腰三角形角度问题时，由于未明确已知角是顶角还是底角，通常需要分类讨论：①先判断已知角（或外角对应的内角）可能的位置（顶角/底角）；②结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°计算角度；③最后验证计算出的角度是否符合三角形内角的取值要求（内角大于0°，三个角和为180°）。对于存在角度大小关系的问题，同样分两种情况讨论较大的角是顶角还是底角，列方程求解即可。
【解析】
原题2
已知等腰三角形的一个角为$80°$，分两种情况讨论：
① 当$80°$为顶角时，根据等腰三角形两底角相等，另外两个底角的度数均为：$\frac{1}{2}×(180°-80°)=50°$；
② 当$80°$为底角时，另一个底角也为$80°$，顶角的度数为：$180°-80°×2=20°$。
两种情况均符合三角形内角和定理，均成立。
变式2(1)
等腰三角形的一个外角为$40°$，则与这个外角相邻的内角度数为$180°-40°=140°$。
由于等腰三角形的底角一定是锐角（若底角为$140°$，两个底角和为$280°＞180°$，不符合内角和定理），因此$140°$只能是顶角。
则底角的度数为：$\frac{1}{2}×(180°-140°)=20°$。
变式2(2)
等腰三角形的一个角比另一个角大$30°$，分两种情况讨论：
① 较大的角为顶角：设顶角为$x°$，则底角的度数为$(x-30)°$，根据内角和定理列方程：
$x + 2(x-30) = 180$
解得$x=80$，即顶角为$80°$；
② 较大的角为底角：设顶角为$y°$，则底角的度数为$(y+30)°$，根据内角和定理列方程：
$y + 2(y+30) = 180$
解得$y=40$，即顶角为$40°$。
两种情况均符合要求，均成立。
【答案】
原题2：另两个角度数为$50°,50°$或$80°,20°$；
变式2(1)：$20°$；
变式2(2)：顶角为$80°$或$40°$。
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
这类问题是等腰三角形角度计算的常见题型，核心考察分类讨论思想，解题时需注意不要遗漏已知角、外角的可能位置，计算后要验证结果是否符合三角形内角的取值规则，避免漏解、错解。
【难度系数】
0.7

原题3:等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为$40°$,求这个等腰三角形的底角度数。

在等腰三角形 $ABC$ 中,$AB=AC$,$BD$ 为腰 $AC$ 上的高,$∠ABD=40°$。当 $BD$ 在 $△ABC$ 内部时,,因为 $BD$ 为高,所以 $∠ADB=90°$,所以 $∠BAD=90°-40°=50°$。因为 $AB=AC$,所以 $∠ABC=∠ACB=\frac{1}{2}×(180°-50°)=65°$;当 $BD$ 在 $△ABC$ 外部时,,因为 $BD$ 为高,所以 $∠ADB=90°$,所以 $∠BAD=90°-40°=50°$。因为 $AB=AC$,所以 $∠ABC=∠ACB$,而 $∠BAD=∠ABC+∠ACB$,所以 $∠ACB=\frac{1}{2}∠BAD=25°$。综上所述,这个等腰三角形底角的度数为 $65°$ 或 $25°$。

【分析】
解题时首先要明确：等腰三角形分为锐角等腰三角形和钝角等腰三角形两种情况，对应腰上的高的位置不同，锐角等腰三角形的腰上的高在三角形内部，钝角等腰三角形的腰上的高在三角形外部，因此需要分类讨论。解题时先根据高的定义得到直角，利用直角三角形两锐角互余求出顶角（或顶角的外角）的度数，再结合等腰三角形“等边对等角”的性质、三角形内角和定理或外角性质计算底角度数即可。
【解析】
设等腰$△ ABC$中，$AB=AC$，$BD$为腰$AC$上的高，$∠ ABD=40°$，分两种情况讨论：
1. 当$BD$在$△ ABC$内部时，：
因为$BD$为高，所以$∠ ADB=90°$，因此$∠ BAD=90° - 40°=50°$。
因为$AB=AC$，等腰三角形两底角相等，所以：
$∠ ABC=∠ ACB=\frac{1}{2}×(180° - 50°)=65°$。
2. 当$BD$在$△ ABC$外部时，：
因为$BD$为高，所以$∠ ADB=90°$，因此$∠ BAD=90° - 40°=50°$。
因为$AB=AC$，所以$∠ ABC=∠ ACB$，又因为$∠ BAD$是$△ ABC$的外角，等于不相邻两个内角的和，即$∠ BAD=∠ ABC+∠ ACB$，因此：
$∠ ACB=\frac{1}{2}∠ BAD=\frac{1}{2}×50°=25°$。
【答案】
这个等腰三角形底角的度数为$\boldsymbol{65°}$或$\boldsymbol{25°}$。
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题的核心是考查分类讨论思想，解题时容易受锐角三角形的思维定式影响，忽略高在三角形外部的情况导致漏解，解题时要注意结合图形分析等腰三角形的不同形态，全面考虑所有可能性。
【难度系数】
0.6