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直角三角形的判定定理:有两个角
互余
的三角形是直角三角形。答案
互余
解析
【分析】
解题时可结合三角形内角和定理推导：我们已知三角形的内角和为180°，若要判定一个三角形是直角三角形，需要说明它有一个内角为90°。若三角形有两个角的和为90°（即互余），那么第三个角的度数为180°减去这两个角的和，结果为90°，即可判定该三角形为直角三角形，由此可得出空缺处的内容。
【解析】
根据三角形内角和为180°，若三角形中有两个角互余，即这两个角的度数之和为90°，则第三个角的度数为：
$180° - 90° = 90°$
有一个角为90°的三角形是直角三角形，因此直角三角形的该判定定理为：有两个角互余的三角形是直角三角形。
【答案】
互余
【知识点】
1. 直角三角形的判定
2. 三角形内角和定理
3. 余角的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对直角三角形判定定理的识记与理解，掌握核心概念即可轻松答题。
【难度系数】
0.9
解题时可结合三角形内角和定理推导：我们已知三角形的内角和为180°，若要判定一个三角形是直角三角形，需要说明它有一个内角为90°。若三角形有两个角的和为90°（即互余），那么第三个角的度数为180°减去这两个角的和，结果为90°，即可判定该三角形为直角三角形，由此可得出空缺处的内容。
【解析】
根据三角形内角和为180°，若三角形中有两个角互余，即这两个角的度数之和为90°，则第三个角的度数为：
$180° - 90° = 90°$
有一个角为90°的三角形是直角三角形，因此直角三角形的该判定定理为：有两个角互余的三角形是直角三角形。
【答案】
互余
【知识点】
1. 直角三角形的判定
2. 三角形内角和定理
3. 余角的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对直角三角形判定定理的识记与理解，掌握核心概念即可轻松答题。
【难度系数】
0.9
1.具备下列条件的$△ ABC$中,不是直角三角形的是（
A.$∠ A=2∠ B=3∠ C$
B.$∠ C-∠ A=∠ B$
C.$∠ A:∠ B:∠ C=3:4:7$
D.$∠ A=\frac{1}{2}∠ B=\frac{1}{3}∠ C$
A
）A.$∠ A=2∠ B=3∠ C$
B.$∠ C-∠ A=∠ B$
C.$∠ A:∠ B:∠ C=3:4:7$
D.$∠ A=\frac{1}{2}∠ B=\frac{1}{3}∠ C$
答案
1.A
解析
【分析】
要判断三角形是不是直角三角形，核心是看三角形中是否有一个内角等于90°。本题可结合三角形内角和为180°的定理，对每个选项给出的角度关系分别计算最大角的度数，判断是否为90°，最终选出不是直角三角形的选项。
【解析】
根据三角形内角和定理：任意三角形的三个内角之和为180°，直角三角形有且仅有一个内角为90°，逐一分析选项：
A. 设$∠A=x$，则$∠B=\frac{1}{2}x$，$∠C=\frac{1}{3}x$，代入内角和公式得：
$x+\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}x=180°$
通分计算得$\frac{11}{6}x=180°$，解得$x=\frac{1080°}{11}\approx98.2°$，三个角中没有90°角，不是直角三角形。
B. 由$∠C-∠A=∠B$可得$∠C=∠A+∠B$，代入内角和公式：
$∠A+∠B+∠C=∠C+∠C=2∠C=180°$，解得$∠C=90°$，是直角三角形。
C. 设$∠A=3x$，$∠B=4x$，$∠C=7x$，代入内角和公式：
$3x+4x+7x=180°$，解得$14x=180°$，即$7x=90°$，也就是$∠C=90°$，是直角三角形。
D. 设$∠A=x$，则$∠B=2x$，$∠C=3x$，代入内角和公式：
$x+2x+3x=180°$，解得$6x=180°$，$x=30°$，则$∠C=3x=90°$，是直角三角形。
综上，只有A选项的三角形不是直角三角形。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是灵活运用三角形内角和定理，根据选项给出的角度关系设未知数列式求解，通过判断最大角是否为直角即可得出结论。
【难度系数】
0.8
要判断三角形是不是直角三角形，核心是看三角形中是否有一个内角等于90°。本题可结合三角形内角和为180°的定理，对每个选项给出的角度关系分别计算最大角的度数，判断是否为90°，最终选出不是直角三角形的选项。
【解析】
根据三角形内角和定理：任意三角形的三个内角之和为180°，直角三角形有且仅有一个内角为90°，逐一分析选项：
A. 设$∠A=x$，则$∠B=\frac{1}{2}x$，$∠C=\frac{1}{3}x$，代入内角和公式得：
$x+\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}x=180°$
通分计算得$\frac{11}{6}x=180°$，解得$x=\frac{1080°}{11}\approx98.2°$，三个角中没有90°角，不是直角三角形。
B. 由$∠C-∠A=∠B$可得$∠C=∠A+∠B$，代入内角和公式：
$∠A+∠B+∠C=∠C+∠C=2∠C=180°$，解得$∠C=90°$，是直角三角形。
C. 设$∠A=3x$，$∠B=4x$，$∠C=7x$，代入内角和公式：
$3x+4x+7x=180°$，解得$14x=180°$，即$7x=90°$，也就是$∠C=90°$，是直角三角形。
D. 设$∠A=x$，则$∠B=2x$，$∠C=3x$，代入内角和公式：
$x+2x+3x=180°$，解得$6x=180°$，$x=30°$，则$∠C=3x=90°$，是直角三角形。
综上，只有A选项的三角形不是直角三角形。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是灵活运用三角形内角和定理，根据选项给出的角度关系设未知数列式求解，通过判断最大角是否为直角即可得出结论。
【难度系数】
0.8
2.如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，则图中共有直角三角形（
A.1个
B.2个
C.3个
D.无法确定
C
）A.1个
B.2个
C.3个
D.无法确定
答案
2.C
解析
【分析】
解题的核心是依据直角三角形的定义（有一个角为直角的三角形是直角三角形），先梳理出图中所有的三角形，再逐一判断每个三角形是否含有直角，统计符合条件的三角形数量即可。
【解析】
根据直角三角形的定义：有一个内角为直角的三角形是直角三角形。
1. 已知△ABC中∠ACB=90°，因此△ABC是直角三角形；
2. 由CD⊥AB可得∠ADC=90°，因此△ADC是直角三角形；
3. 由CD⊥AB可得∠CDB=90°，因此△CDB是直角三角形。
综上，图中共有3个直角三角形，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形的定义、垂直的性质
【点评】
本题是基础概念题，解题时只要严格按照定义排查所有三角形，做到不重不漏就能轻松得出答案。
【难度系数】
0.9
解题的核心是依据直角三角形的定义（有一个角为直角的三角形是直角三角形），先梳理出图中所有的三角形，再逐一判断每个三角形是否含有直角，统计符合条件的三角形数量即可。
【解析】
根据直角三角形的定义：有一个内角为直角的三角形是直角三角形。
1. 已知△ABC中∠ACB=90°，因此△ABC是直角三角形；
2. 由CD⊥AB可得∠ADC=90°，因此△ADC是直角三角形；
3. 由CD⊥AB可得∠CDB=90°，因此△CDB是直角三角形。
综上，图中共有3个直角三角形，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形的定义、垂直的性质
【点评】
本题是基础概念题，解题时只要严格按照定义排查所有三角形，做到不重不漏就能轻松得出答案。
【难度系数】
0.9
3.在下列条件中:①$∠ A+∠ B=∠ C$；②$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$；③$∠ A=90°-∠ B$，能确定$△ ABC$是直角三角形的条件有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.0个
C
）A.1个
B.2个
C.3个
D.0个
答案
3.C
解析
【分析】
要判断给定条件能否确定△ABC是直角三角形，核心依据是直角三角形的定义（有一个内角为90°的三角形是直角三角形），结合三角形内角和为180°的定理，对三个条件逐一推导，验证是否存在90°的内角即可。
【解析】
已知任意三角形的内角和为180°，即$∠ A+∠ B+∠ C=180°$：
1. 对条件①：
∵$∠ A+∠ B=∠ C$，代入内角和公式得$∠ C + ∠ C = 180°$，解得$∠ C=90°$，故△ABC是直角三角形；
2. 对条件②：设$∠ A=x$，$∠ B=2x$，$∠ C=3x$，代入内角和公式得$x+2x+3x=180°$，解得$x=30°$，则$∠ C=3×30°=90°$，故△ABC是直角三角形；
3. 对条件③：
∵$∠ A=90°-∠ B$，移项得$∠ A+∠ B=90°$，则$∠ C=180°-(∠ A+∠ B)=90°$，故△ABC是直角三角形。
综上，3个条件都能确定△ABC是直角三角形。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础类题目，重点考查对三角形内角和定理的运用和直角三角形的判定方法，只需将已知条件结合内角和定理推导即可快速判断，计算难度低。
【难度系数】
0.9
要判断给定条件能否确定△ABC是直角三角形，核心依据是直角三角形的定义（有一个内角为90°的三角形是直角三角形），结合三角形内角和为180°的定理，对三个条件逐一推导，验证是否存在90°的内角即可。
【解析】
已知任意三角形的内角和为180°，即$∠ A+∠ B+∠ C=180°$：
1. 对条件①：
∵$∠ A+∠ B=∠ C$，代入内角和公式得$∠ C + ∠ C = 180°$，解得$∠ C=90°$，故△ABC是直角三角形；
2. 对条件②：设$∠ A=x$，$∠ B=2x$，$∠ C=3x$，代入内角和公式得$x+2x+3x=180°$，解得$x=30°$，则$∠ C=3×30°=90°$，故△ABC是直角三角形；
3. 对条件③：
∵$∠ A=90°-∠ B$，移项得$∠ A+∠ B=90°$，则$∠ C=180°-(∠ A+∠ B)=90°$，故△ABC是直角三角形。
综上，3个条件都能确定△ABC是直角三角形。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础类题目，重点考查对三角形内角和定理的运用和直角三角形的判定方法，只需将已知条件结合内角和定理推导即可快速判断，计算难度低。
【难度系数】
0.9
4.如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，点B恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（
A.$25°$
B.$30°$
C.$45°$
D.$60°$
B
）A.$25°$
B.$30°$
C.$45°$
D.$60°$
答案
4.B
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先，Rt△ABC中E是斜边AB的中点，可联想到直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得到CE与BE、AE的等量关系；再结合折叠前后对应边相等的性质，推导得出BC、CE、BE三边相等，判定△BCE为等边三角形，求出∠B的度数；最后利用直角三角形两锐角互余即可算出∠A的度数。
【解析】
解：
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是AB的中点，
∴根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$CE=AE=BE=\frac{1}{2}AB$。
∵将△BCD沿CD折叠，点B落在E处，
∴由折叠的性质可知，$BC=CE$。
∴$BC=CE=BE$，即△BCE是等边三角形，
∴∠B=60°。
又
∵在Rt△ABC中，∠A+∠B=90°，
∴∠A=90°-60°=30°。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，折叠的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的核心是结合直角三角形性质和折叠性质得到边的等量关系，进而推导角的度数，能较好地考察学生对基础性质的运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：首先，Rt△ABC中E是斜边AB的中点，可联想到直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得到CE与BE、AE的等量关系；再结合折叠前后对应边相等的性质，推导得出BC、CE、BE三边相等，判定△BCE为等边三角形，求出∠B的度数；最后利用直角三角形两锐角互余即可算出∠A的度数。
【解析】
解：
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是AB的中点，
∴根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$CE=AE=BE=\frac{1}{2}AB$。
∵将△BCD沿CD折叠，点B落在E处，
∴由折叠的性质可知，$BC=CE$。
∴$BC=CE=BE$，即△BCE是等边三角形，
∴∠B=60°。
又
∵在Rt△ABC中，∠A+∠B=90°，
∴∠A=90°-60°=30°。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，折叠的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的核心是结合直角三角形性质和折叠性质得到边的等量关系，进而推导角的度数，能较好地考察学生对基础性质的运用能力。
【难度系数】
0.7
5.已知三角形的三个内角的度数之比为1:4:5,三个角的度数分别是
$18°,72°,90°$
，该三角形的形状是直角
三角形。答案
5. $18°,72°,90°$，直角三角形
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内角和为180°的性质，已知三个内角度数的比为1:4:5，我们可以设每份角度为x，那么三个角的度数就可以表示为x、4x、5x，再根据内角和列方程求解得到各角的度数，最后根据最大角的度数判断三角形的形状即可。
【解析】
解：设三角形三个内角的度数分别为$x$、$4x$、$5x$。
根据三角形内角和定理，三角形内角和为$180°$，可列方程：
$x+4x+5x=180°$
合并同类项得：$10x=180°$
解得：$x=18°$
因此三个角的度数分别为：
$x=18°$，$4x=4×18°=72°$，$5x=5×18°=90°$
由于三个内角中有一个角为$90°$，因此该三角形为直角三角形。
【答案】
$18°,72°,90°$；直角
【知识点】
三角形内角和定理；按比例分配；直角三角形判定
【点评】
本题属于基础题，核心是利用三角形内角和定理结合比例关系求解内角，再根据角的特征判断三角形类型，掌握基础性质即可快速解答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆三角形内角和为180°的性质，已知三个内角度数的比为1:4:5，我们可以设每份角度为x，那么三个角的度数就可以表示为x、4x、5x，再根据内角和列方程求解得到各角的度数，最后根据最大角的度数判断三角形的形状即可。
【解析】
解：设三角形三个内角的度数分别为$x$、$4x$、$5x$。
根据三角形内角和定理，三角形内角和为$180°$，可列方程：
$x+4x+5x=180°$
合并同类项得：$10x=180°$
解得：$x=18°$
因此三个角的度数分别为：
$x=18°$，$4x=4×18°=72°$，$5x=5×18°=90°$
由于三个内角中有一个角为$90°$，因此该三角形为直角三角形。
【答案】
$18°,72°,90°$；直角
【知识点】
三角形内角和定理；按比例分配；直角三角形判定
【点评】
本题属于基础题，核心是利用三角形内角和定理结合比例关系求解内角，再根据角的特征判断三角形类型，掌握基础性质即可快速解答。
【难度系数】
0.9
6. 如图所示，已知AD=BD=CD，那么∠BAC的度数为
$90°$
。答案
6. $90°$
解析
【分析】
已知AD=BD=CD，可推出△ABD和△ACD均为等腰三角形，根据等腰三角形等边对等角的性质，可得∠B=∠BAD、∠C=∠CAD，再结合三角形内角和为180°，通过角的等量代换即可求出∠BAC的度数。
【解析】
∵AD=BD，
∴∠B=∠BAD（等腰三角形等边对等角）
∵AD=CD，
∴∠C=∠CAD（等腰三角形等边对等角）
在△ABC中，由三角形内角和定理得：
$∠ B + ∠ C + ∠ BAC = 180°$
又
∵$∠ BAC = ∠ BAD + ∠ CAD$
将∠B替换为∠BAD，∠C替换为∠CAD，代入上式得：
$∠ BAD + ∠ CAD + ∠ BAC = 180°$
即$2∠ BAC = 180°$
解得$∠ BAC = 90°$
【答案】
$90°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何题，核心是利用等腰三角形等边对等角的性质完成角的等量代换，再结合三角形内角和定理计算角度，掌握相关基础性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
已知AD=BD=CD，可推出△ABD和△ACD均为等腰三角形，根据等腰三角形等边对等角的性质，可得∠B=∠BAD、∠C=∠CAD，再结合三角形内角和为180°，通过角的等量代换即可求出∠BAC的度数。
【解析】
∵AD=BD，
∴∠B=∠BAD（等腰三角形等边对等角）
∵AD=CD，
∴∠C=∠CAD（等腰三角形等边对等角）
在△ABC中，由三角形内角和定理得：
$∠ B + ∠ C + ∠ BAC = 180°$
又
∵$∠ BAC = ∠ BAD + ∠ CAD$
将∠B替换为∠BAD，∠C替换为∠CAD，代入上式得：
$∠ BAD + ∠ CAD + ∠ BAC = 180°$
即$2∠ BAC = 180°$
解得$∠ BAC = 90°$
【答案】
$90°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何题，核心是利用等腰三角形等边对等角的性质完成角的等量代换，再结合三角形内角和定理计算角度，掌握相关基础性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
7.已知直角三角形ABC中，∠A=5∠C，那么∠C的度数有可能是
$15°或18°$
。答案
7. $15°或18°$
解析
【分析】
本题是直角三角形内角计算问题，解题核心是明确直角三角形有且仅有一个内角为90°，且三角形内角和为180°。由于题目未指明哪个角是直角，需分类讨论：首先排除∠C为直角的情况（若∠C=90°，则∠A=5×90°=450°，不符合三角形内角和要求，直接舍去），再分别讨论∠A为直角、∠B为直角两种情况，结合∠A=5∠C的等量关系计算∠C的度数即可。
【解析】
已知△ABC是直角三角形，因此存在一个内角为90°，且三角形内角和为180°，分情况讨论如下：
1. 若∠A为直角，即∠A=90°：
根据题意∠A=5∠C，代入得$∠C=90°÷5=18°$，此时剩余内角∠B=180°-90°-18°=72°，符合三角形内角要求。
2. 若∠B为直角，即∠B=90°：
直角三角形两锐角和为90°，因此$∠ A + ∠ C = 90°$，将$∠ A=5∠ C$代入得：
$5∠ C + ∠ C = 90°$
$6∠ C=90°$
解得$∠ C=15°$，此时$∠ A=75°$，符合三角形内角要求。
3. 若∠C为直角，即∠C=90°：
则$∠ A=5×90°=450°＞180°$，不符合三角形内角和定理，舍去该情况。
综上，∠C的度数为15°或18°。
【答案】
$15°或18°$
【知识点】
三角形内角和定理，直角三角形的性质，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略直角未明确的前提，漏分类讨论导致少解，解题时要注意对不确定的直角位置分情况讨论，同时计算后要验证结果是否符合三角形内角的取值范围。
【难度系数】
0.6
本题是直角三角形内角计算问题，解题核心是明确直角三角形有且仅有一个内角为90°，且三角形内角和为180°。由于题目未指明哪个角是直角，需分类讨论：首先排除∠C为直角的情况（若∠C=90°，则∠A=5×90°=450°，不符合三角形内角和要求，直接舍去），再分别讨论∠A为直角、∠B为直角两种情况，结合∠A=5∠C的等量关系计算∠C的度数即可。
【解析】
已知△ABC是直角三角形，因此存在一个内角为90°，且三角形内角和为180°，分情况讨论如下：
1. 若∠A为直角，即∠A=90°：
根据题意∠A=5∠C，代入得$∠C=90°÷5=18°$，此时剩余内角∠B=180°-90°-18°=72°，符合三角形内角要求。
2. 若∠B为直角，即∠B=90°：
直角三角形两锐角和为90°，因此$∠ A + ∠ C = 90°$，将$∠ A=5∠ C$代入得：
$5∠ C + ∠ C = 90°$
$6∠ C=90°$
解得$∠ C=15°$，此时$∠ A=75°$，符合三角形内角要求。
3. 若∠C为直角，即∠C=90°：
则$∠ A=5×90°=450°＞180°$，不符合三角形内角和定理，舍去该情况。
综上，∠C的度数为15°或18°。
【答案】
$15°或18°$
【知识点】
三角形内角和定理，直角三角形的性质，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略直角未明确的前提，漏分类讨论导致少解，解题时要注意对不确定的直角位置分情况讨论，同时计算后要验证结果是否符合三角形内角的取值范围。
【难度系数】
0.6
8.如图，在$△ ABC$中，D为AB上一点，$∠ A=∠ 2$，$∠ 1=∠ B$。
(1)判断$△ ABC$的形状。
(2)判断CD是否与AB垂直。
(1)判断$△ ABC$的形状。
(2)判断CD是否与AB垂直。
答案
8.(1)$△ABC$是直角三角形。理由如下:因为$∠A=∠2,∠1=∠B$,所以$∠A+∠2+∠1+∠B=180°$,所以$∠A+∠B=90°$,所以$∠ACB=90°$,所以$△ABC$是直角三角形。
(2)$CD⊥AB$。理由如下:因为$∠A+∠B=90°$,$∠A=∠2$,所以$∠2+∠B=90°$,所以$∠CDB=90°$,所以$CD⊥AB$。
(2)$CD⊥AB$。理由如下:因为$∠A+∠B=90°$,$∠A=∠2$,所以$∠2+∠B=90°$,所以$∠CDB=90°$,所以$CD⊥AB$。
解析
【分析】
(1) 判断△ABC的形状可从内角角度入手，已知多组角的等量关系，结合三角形内角和为180°的定理，将角做等量代换即可推导是否存在直角，进而判断三角形形状。
(2) 判断CD与AB是否垂直，只需证明CD与AB的夹角为90°即可，可借助第一问得出的角的关系，结合已知角的等量代换，推导△CDB的内角度数，得到夹角的度数后即可判断垂直关系。
【解析】
(1) △ABC是直角三角形，理由如下：
根据三角形内角和定理，△ABC的内角和为180°，即$∠ A + ∠ B + ∠ ACB = 180°$，
∵$∠ ACB = ∠ 1 + ∠ 2$，且已知$∠ A = ∠ 2$，$∠ 1 = ∠ B$，
∴代入得：$∠ A + ∠ B + ∠ 1 + ∠ 2 = 2(∠ A + ∠ B) = 180°$，
解得$∠ A + ∠ B = 90°$，
∴$∠ ACB = 180° - (∠ A + ∠ B) = 90°$，因此△ABC是直角三角形。
(2) $CD ⊥ AB$，理由如下：
由(1)的结论得$∠ A + ∠ B = 90°$，
又
∵$∠ A = ∠ 2$，等量代换得$∠ 2 + ∠ B = 90°$，
在△CDB中，$∠ CDB = 180° - (∠ 2 + ∠ B) = 90°$，
因此$CD ⊥ AB$。
【答案】
(1) $△ ABC$是直角三角形；
(2) $CD ⊥ AB$。
【知识点】
三角形内角和定理，直角三角形的判定，垂直的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，核心是利用角的等量代换结合三角形内角和定理推导角度关系，只要能准确梳理已知角的对应关系，就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
(1) 判断△ABC的形状可从内角角度入手，已知多组角的等量关系，结合三角形内角和为180°的定理，将角做等量代换即可推导是否存在直角，进而判断三角形形状。
(2) 判断CD与AB是否垂直，只需证明CD与AB的夹角为90°即可，可借助第一问得出的角的关系，结合已知角的等量代换，推导△CDB的内角度数，得到夹角的度数后即可判断垂直关系。
【解析】
(1) △ABC是直角三角形，理由如下：
根据三角形内角和定理，△ABC的内角和为180°，即$∠ A + ∠ B + ∠ ACB = 180°$，
∵$∠ ACB = ∠ 1 + ∠ 2$，且已知$∠ A = ∠ 2$，$∠ 1 = ∠ B$，
∴代入得：$∠ A + ∠ B + ∠ 1 + ∠ 2 = 2(∠ A + ∠ B) = 180°$，
解得$∠ A + ∠ B = 90°$，
∴$∠ ACB = 180° - (∠ A + ∠ B) = 90°$，因此△ABC是直角三角形。
(2) $CD ⊥ AB$，理由如下：
由(1)的结论得$∠ A + ∠ B = 90°$，
又
∵$∠ A = ∠ 2$，等量代换得$∠ 2 + ∠ B = 90°$，
在△CDB中，$∠ CDB = 180° - (∠ 2 + ∠ B) = 90°$，
因此$CD ⊥ AB$。
【答案】
(1) $△ ABC$是直角三角形；
(2) $CD ⊥ AB$。
【知识点】
三角形内角和定理，直角三角形的判定，垂直的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，核心是利用角的等量代换结合三角形内角和定理推导角度关系，只要能准确梳理已知角的对应关系，就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
9.如图,在正方形网格中,点A,B,Q在格点上,请用无刻度的直尺用连线的方法画出如下图形(保留画图痕迹)。
(1)在图1中找一个格点P,连结PA,PB,使△PAB为直角三角形。
(2)在图2中找一个格点H,连结QH,使∠HQB=∠ABQ。
(1)在图1中找一个格点P,连结PA,PB,使△PAB为直角三角形。
(2)在图2中找一个格点H,连结QH,使∠HQB=∠ABQ。
答案
9.(1)如图1所示,点P即为所要求作的点(不唯一)。
(2)如图2所示,点H即为所要求作的点(不唯一)。
解析
【分析】
(1)要构造直角三角形△PAB，可结合直角三角形的判定方法：要么存在直角内角，要么三边满足勾股定理逆定理。我们设小正方形边长为1，先计算得AB²=4²+1²=17，只需找到格点P，使PA、PB、AB中两条边的平方和等于第三边的平方即可，比如取直角在点P的情况，此时AP²+BP²=AB²，符合要求的点P不唯一。
(2)要得到∠HQB=∠ABQ，可利用平行线的性质：两直线平行，内错角相等。观察两个角的位置，它们是直线QH、AB被直线BQ所截形成的内错角，因此只要作出过点Q且与AB平行的直线，直线与格点的交点即为H，符合要求的点H不唯一。
【解析】
(1)设每个小正方形的边长为1，由网格可知AB的水平距离为4，竖直距离为1，因此AB²=4²+1²=17。选取格点P，使得AP=1、BP=4，且∠APB=90°，此时AP²+BP²=1²+4²=17=AB²，根据勾股定理的逆定理，△PAB为直角三角形，连接PA、PB即可。
(2)∠HQB和∠ABQ是直线QH、AB被BQ所截的一组内错角，根据“内错角相等，两直线平行”的逆用，只要QH//AB，就有∠HQB=∠ABQ。结合网格中AB的走向（横向平移4格、纵向平移1格），过点Q作AB的平行线，找到格点交点H，连接QH即可。
【答案】
(1)如图1所示,点P即为所要求作的点(不唯一)。
(2)如图2所示,点H即为所要求作的点(不唯一)。
【知识点】
勾股定理逆定理，平行线的性质，格点作图
【点评】
本题为开放性网格作图题，结合了直角三角形判定和平行线性质的应用，需要学生灵活利用网格的边长特征和线的位置关系找符合要求的格点，能有效锻炼几何观察和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
(1)要构造直角三角形△PAB，可结合直角三角形的判定方法：要么存在直角内角，要么三边满足勾股定理逆定理。我们设小正方形边长为1，先计算得AB²=4²+1²=17，只需找到格点P，使PA、PB、AB中两条边的平方和等于第三边的平方即可，比如取直角在点P的情况，此时AP²+BP²=AB²，符合要求的点P不唯一。
(2)要得到∠HQB=∠ABQ，可利用平行线的性质：两直线平行，内错角相等。观察两个角的位置，它们是直线QH、AB被直线BQ所截形成的内错角，因此只要作出过点Q且与AB平行的直线，直线与格点的交点即为H，符合要求的点H不唯一。
【解析】
(1)设每个小正方形的边长为1，由网格可知AB的水平距离为4，竖直距离为1，因此AB²=4²+1²=17。选取格点P，使得AP=1、BP=4，且∠APB=90°，此时AP²+BP²=1²+4²=17=AB²，根据勾股定理的逆定理，△PAB为直角三角形，连接PA、PB即可。
(2)∠HQB和∠ABQ是直线QH、AB被BQ所截的一组内错角，根据“内错角相等，两直线平行”的逆用，只要QH//AB，就有∠HQB=∠ABQ。结合网格中AB的走向（横向平移4格、纵向平移1格），过点Q作AB的平行线，找到格点交点H，连接QH即可。
【答案】
(1)如图1所示,点P即为所要求作的点(不唯一)。
(2)如图2所示,点H即为所要求作的点(不唯一)。
【知识点】
勾股定理逆定理，平行线的性质，格点作图
【点评】
本题为开放性网格作图题，结合了直角三角形判定和平行线性质的应用，需要学生灵活利用网格的边长特征和线的位置关系找符合要求的格点，能有效锻炼几何观察和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
