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8.已知:如图,在$△ ABC$中,$∠ C=120°$,边$AC$的垂直平分线$DE$与$AC$,$AB$分别交于点$D$和点$E$。
(1)作出边$AC$的垂直平分线$DE$。
(2)当$AE=BC$时,求$∠ A$的度数。
(1)作出边$AC$的垂直平分线$DE$。
(2)当$AE=BC$时,求$∠ A$的度数。
答案
8.(1)如图所示，DE即为所求作的边AC的垂直平分线。
(2)如图，连结CE，因为DE是AC的垂直平分线，所以AE=CE，所以$∠A=∠ACE$。因为AE=BC，所以CE=BC，所以$∠B=∠CEB$。设$∠A=x$，则$∠CEB=∠A+∠ACE=x+x=2x$。在$△BCE$中，$∠BCE=180°-2×2x=180°-4x$，所以$∠ACB=∠ACE+∠BCE=x+180°-4x=120°$，解得$x=20°$，即$∠A=20°$。
解析
【分析】
（1）作线段AC的垂直平分线，采用尺规作图的基本方法即可：分别以A、C为圆心，大于$\frac{1}{2}AC$的长度为半径画弧，两弧交于两个点，过这两个点作直线，即为AC的垂直平分线DE。
（2）求解∠A的度数，首先根据线段垂直平分线的性质，连接CE可得AE=CE，推出∠A=∠ACE；结合已知AE=BC，等量代换得CE=BC，再根据等腰三角形等边对等角的性质，得∠B=∠CEB；再利用三角形外角的性质，可知∠CEB是△AEC的外角，等于∠A+∠ACE=2∠A；最后设∠A为x，将相关角用含x的式子表示，结合∠ACB=120°列方程求解即可。
【解析】
（1）作图步骤：
①分别以点A、点C为圆心，大于$\frac{1}{2}AC$的长为半径画弧，两弧相交于两个点；
②过上述两个交点作直线，与AC交于点D，与AB交于点E，直线DE就是所求作的AC的垂直平分线。
（2）解：如图，连结CE。
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴∠A=∠ACE。
∵AE=BC，
∴CE=BC，
∴∠B=∠CEB。
设∠A=x，
则∠CEB=∠A+∠ACE=x+x=2x，即∠B=2x。
在△BCE中，∠BCE=180°-∠B-∠CEB=180°-2×2x=180°-4x。
∵∠ACB=∠ACE+∠BCE=120°，
∴$x + (180°-4x) = 120°$，
解得x=20°，即∠A=20°。
【答案】
(1)如图所示，DE即为所求作的边AC的垂直平分线。
(2)$∠A=20°$
【知识点】
1.线段垂直平分线的性质
2.等腰三角形的性质
3.三角形内角和与外角性质
【点评】
本题综合考查了尺规作图、几何基本性质的应用，解题的关键是合理连接辅助线CE，将已知条件转化为等腰三角形的边角关系，结合方程思想求解角度，侧重对基础知识点综合运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
（1）作线段AC的垂直平分线，采用尺规作图的基本方法即可：分别以A、C为圆心，大于$\frac{1}{2}AC$的长度为半径画弧，两弧交于两个点，过这两个点作直线，即为AC的垂直平分线DE。
（2）求解∠A的度数，首先根据线段垂直平分线的性质，连接CE可得AE=CE，推出∠A=∠ACE；结合已知AE=BC，等量代换得CE=BC，再根据等腰三角形等边对等角的性质，得∠B=∠CEB；再利用三角形外角的性质，可知∠CEB是△AEC的外角，等于∠A+∠ACE=2∠A；最后设∠A为x，将相关角用含x的式子表示，结合∠ACB=120°列方程求解即可。
【解析】
（1）作图步骤：
①分别以点A、点C为圆心，大于$\frac{1}{2}AC$的长为半径画弧，两弧相交于两个点；
②过上述两个交点作直线，与AC交于点D，与AB交于点E，直线DE就是所求作的AC的垂直平分线。
（2）解：如图，连结CE。
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴∠A=∠ACE。
∵AE=BC，
∴CE=BC，
∴∠B=∠CEB。
设∠A=x，
则∠CEB=∠A+∠ACE=x+x=2x，即∠B=2x。
在△BCE中，∠BCE=180°-∠B-∠CEB=180°-2×2x=180°-4x。
∵∠ACB=∠ACE+∠BCE=120°，
∴$x + (180°-4x) = 120°$，
解得x=20°，即∠A=20°。
【答案】
(1)如图所示，DE即为所求作的边AC的垂直平分线。
(2)$∠A=20°$
【知识点】
1.线段垂直平分线的性质
2.等腰三角形的性质
3.三角形内角和与外角性质
【点评】
本题综合考查了尺规作图、几何基本性质的应用，解题的关键是合理连接辅助线CE，将已知条件转化为等腰三角形的边角关系，结合方程思想求解角度，侧重对基础知识点综合运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
9.如图，$△ ABC$是等边三角形，$D$是$AB$边上的一点，以$CD$为边作等边三角形$CDE$，使点$E$，$A$在直线$DC$的同侧，连结$AE$。
(1)求证：$AE// BC$。
(2)当$AD=AE$时，求$∠ BCE$的度数。
(1)求证：$AE// BC$。
(2)当$AD=AE$时，求$∠ BCE$的度数。
答案
9.(1)因为$△ABC$和$△DEC$是等边三角形，所以$BC=AC$，$CD=CE$，$∠ABC=∠BCA=∠ECD=60°$，所以$∠BCA-∠DCA=∠ECD-∠DCA$，即$∠BCD=∠ACE$。在$△ACE$和$△BCD$中，因为$\begin{cases} AC=BC, \\ ∠ACE=∠BCD, \\ CE=CD, \end{cases}$所以$△ACE≌△BCD$(SAS)，所以$∠EAC=∠B=60°=∠ACB$，所以$AE// BC$。
(2)因为$AE// BC$，所以$∠EAD+∠B=180°$。因为$∠B=60°$，所以$∠DAE=120°$。因为$AD=AE$，所以$∠ADE=∠AED=(180°-120°)÷2=30°$。因为$∠DEC=60°$，所以$∠AEC=90°$。因为$AE// BC$，所以$∠BCE=180°-90°=90°$。
解析
【分析】
(1) 要证明$AE//BC$，可通过证明内错角$∠EAC=∠ACB$实现。已知$△ABC$和$△CDE$都是等边三角形，可得到两组对应边相等，且内角均为$60°$，通过角的和差关系推出$∠BCD=∠ACE$，即可证明$△ACE≌△BCD$，从而得到$∠EAC=∠B=∠ACB$，完成平行的证明。
(2) 先利用(1)中$AE//BC$的结论，结合$∠B=60°$求出$∠DAE$的度数，再根据$AD=AE$得到$△ADE$是等腰三角形，求出底角$∠AED$的度数，结合等边$△CDE$的$∠DEC=60°$得到$∠AEC$的度数，最后利用平行线同旁内角互补即可求出$∠BCE$的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵$△ABC$和$△DEC$是等边三角形，
∴$BC=AC$，$CD=CE$，$∠ABC=∠BCA=∠ECD=60°$，
∴$∠BCA-∠DCA=∠ECD-∠DCA$，即$∠BCD=∠ACE$。
在$△ACE$和$△BCD$中，
$\begin{cases} AC=BC, \\ ∠ACE=∠BCD, \\ CE=CD, \end{cases}$
∴$△ACE≌△BCD$(SAS)，
∴$∠EAC=∠B=60°=∠ACB$，
∴$AE//BC$。
(2) 解：
∵$AE//BC$，
∴$∠EAD+∠B=180°$，
∵$∠B=60°$，
∴$∠DAE=180°-60°=120°$，
∵$AD=AE$，
∴$∠ADE=∠AED=(180°-120°)÷2=30°$，
∵$△DEC$是等边三角形，
∴$∠DEC=60°$，
∴$∠AEC=∠AED+∠DEC=30°+60°=90°$，
∵$AE//BC$，
∴$∠BCE+∠AEC=180°$，
∴$∠BCE=180°-90°=90°$。
【答案】
9.(1)因为$△ABC$和$△DEC$是等边三角形，所以$BC=AC$，$CD=CE$，$∠ABC=∠BCA=∠ECD=60°$，所以$∠BCA-∠DCA=∠ECD-∠DCA$，即$∠BCD=∠ACE$。在$△ACE$和$△BCD$中，因为$\begin{cases} AC=BC, \\ ∠ACE=∠BCD, \\ CE=CD, \end{cases}$所以$△ACE≌△BCD$(SAS)，所以$∠EAC=∠B=60°=∠ACB$，所以$AE// BC$。
(2)因为$AE// BC$，所以$∠EAD+∠B=180°$。因为$∠B=60°$，所以$∠DAE=120°$。因为$AD=AE$，所以$∠ADE=∠AED=(180°-120°)÷2=30°$。因为$∠DEC=60°$，所以$∠AEC=90°$。因为$AE// BC$，所以$∠BCE=180°-90°=90°$。
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；平行线的判定与性质
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的核心是先利用等边三角形的边角性质推导得到全等三角形，再结合平行线的判定和性质推导角度关系，解题思路清晰，是巩固几何基础的典型习题。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明$AE//BC$，可通过证明内错角$∠EAC=∠ACB$实现。已知$△ABC$和$△CDE$都是等边三角形，可得到两组对应边相等，且内角均为$60°$，通过角的和差关系推出$∠BCD=∠ACE$，即可证明$△ACE≌△BCD$，从而得到$∠EAC=∠B=∠ACB$，完成平行的证明。
(2) 先利用(1)中$AE//BC$的结论，结合$∠B=60°$求出$∠DAE$的度数，再根据$AD=AE$得到$△ADE$是等腰三角形，求出底角$∠AED$的度数，结合等边$△CDE$的$∠DEC=60°$得到$∠AEC$的度数，最后利用平行线同旁内角互补即可求出$∠BCE$的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵$△ABC$和$△DEC$是等边三角形，
∴$BC=AC$，$CD=CE$，$∠ABC=∠BCA=∠ECD=60°$，
∴$∠BCA-∠DCA=∠ECD-∠DCA$，即$∠BCD=∠ACE$。
在$△ACE$和$△BCD$中，
$\begin{cases} AC=BC, \\ ∠ACE=∠BCD, \\ CE=CD, \end{cases}$
∴$△ACE≌△BCD$(SAS)，
∴$∠EAC=∠B=60°=∠ACB$，
∴$AE//BC$。
(2) 解：
∵$AE//BC$，
∴$∠EAD+∠B=180°$，
∵$∠B=60°$，
∴$∠DAE=180°-60°=120°$，
∵$AD=AE$，
∴$∠ADE=∠AED=(180°-120°)÷2=30°$，
∵$△DEC$是等边三角形，
∴$∠DEC=60°$，
∴$∠AEC=∠AED+∠DEC=30°+60°=90°$，
∵$AE//BC$，
∴$∠BCE+∠AEC=180°$，
∴$∠BCE=180°-90°=90°$。
【答案】
9.(1)因为$△ABC$和$△DEC$是等边三角形，所以$BC=AC$，$CD=CE$，$∠ABC=∠BCA=∠ECD=60°$，所以$∠BCA-∠DCA=∠ECD-∠DCA$，即$∠BCD=∠ACE$。在$△ACE$和$△BCD$中，因为$\begin{cases} AC=BC, \\ ∠ACE=∠BCD, \\ CE=CD, \end{cases}$所以$△ACE≌△BCD$(SAS)，所以$∠EAC=∠B=60°=∠ACB$，所以$AE// BC$。
(2)因为$AE// BC$，所以$∠EAD+∠B=180°$。因为$∠B=60°$，所以$∠DAE=120°$。因为$AD=AE$，所以$∠ADE=∠AED=(180°-120°)÷2=30°$。因为$∠DEC=60°$，所以$∠AEC=90°$。因为$AE// BC$，所以$∠BCE=180°-90°=90°$。
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；平行线的判定与性质
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的核心是先利用等边三角形的边角性质推导得到全等三角形，再结合平行线的判定和性质推导角度关系，解题思路清晰，是巩固几何基础的典型习题。
【难度系数】
0.7
10. 如图，D是等腰三角形ABC底边BC上一点，它到两腰AB，AC的距离分别为DE，DF。探索DE，DF与等腰三角形ABC的高线的关系。说明理由。
答案
10. $DE+DF$的长为腰上的高线的长，理由如下:如图，连结AD，过点C作$CM⊥AB$于点M，因为$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}$，所以$\frac{1}{2}AB×CM=\frac{1}{2}AB×DE+\frac{1}{2}AC×DF$。因为$AB=AC$，所以$DE+DF=CM$，即$DE+DF$的长为腰上的高线的长。
解析
【分析】
要探索DE、DF和等腰三角形ABC高线的关系，可采用面积法推导：DE、DF是点D到两腰的垂线段，可作为小三角形的高，连接AD可将△ABC拆分为△ABD和△ACD，两个小三角形的面积和等于大三角形ABC的面积；再作出腰上的高线CM，分别写出三个三角形的面积表达式，结合等腰三角形两腰相等的性质化简等式，即可得到三条线段的关系。
【解析】
解：DE+DF的长等于等腰三角形腰上的高线的长，理由如下：
如图，连结AD，过点C作$CM⊥AB$于点M。
∵ $S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△ACD}$
根据三角形面积公式可得：$\frac{1}{2}AB·CM=\frac{1}{2}AB·DE+\frac{1}{2}AC·DF$
又
∵ △ABC是等腰三角形，$AB=AC$
∴ 等式两边同时除以$\frac{1}{2}AB$，可得$DE+DF=CM$
即DE+DF的长为等腰三角形腰上的高线的长。
【答案】
$DE+DF$的长为腰上的高线的长，理由如下:如图，连结AD，过点C作$CM⊥AB$于点M，因为$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}$，所以$\frac{1}{2}AB×CM=\frac{1}{2}AB×DE+\frac{1}{2}AC×DF$。因为$AB=AC$，所以$DE+DF=CM$，即$DE+DF$的长为腰上的高线的长。
【知识点】
等腰三角形性质，三角形面积计算，面积法应用
【点评】
本题是等腰三角形性质的典型应用题型，通过面积法将线段的和差关系转化为三角形面积的和差关系，简化了推导过程，解题的关键是合理添加辅助线拆分三角形，灵活运用等腰三角形两腰相等的性质化简等式。
【难度系数】
0.7
要探索DE、DF和等腰三角形ABC高线的关系，可采用面积法推导：DE、DF是点D到两腰的垂线段，可作为小三角形的高，连接AD可将△ABC拆分为△ABD和△ACD，两个小三角形的面积和等于大三角形ABC的面积；再作出腰上的高线CM，分别写出三个三角形的面积表达式，结合等腰三角形两腰相等的性质化简等式，即可得到三条线段的关系。
【解析】
解：DE+DF的长等于等腰三角形腰上的高线的长，理由如下：
如图，连结AD，过点C作$CM⊥AB$于点M。
∵ $S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△ACD}$
根据三角形面积公式可得：$\frac{1}{2}AB·CM=\frac{1}{2}AB·DE+\frac{1}{2}AC·DF$
又
∵ △ABC是等腰三角形，$AB=AC$
∴ 等式两边同时除以$\frac{1}{2}AB$，可得$DE+DF=CM$
即DE+DF的长为等腰三角形腰上的高线的长。
【答案】
$DE+DF$的长为腰上的高线的长，理由如下:如图，连结AD，过点C作$CM⊥AB$于点M，因为$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}$，所以$\frac{1}{2}AB×CM=\frac{1}{2}AB×DE+\frac{1}{2}AC×DF$。因为$AB=AC$，所以$DE+DF=CM$，即$DE+DF$的长为腰上的高线的长。
【知识点】
等腰三角形性质，三角形面积计算，面积法应用
【点评】
本题是等腰三角形性质的典型应用题型，通过面积法将线段的和差关系转化为三角形面积的和差关系，简化了推导过程，解题的关键是合理添加辅助线拆分三角形，灵活运用等腰三角形两腰相等的性质化简等式。
【难度系数】
0.7
11.【提出问题】
(1)如图1,在等边三角形ABC中,M是BC上的任意一点(不含端点B,C),连结AM,以AM为边作等边三角形AMN,连结CN。求证:∠ABC=∠ACN。
【类比探究】
(2)如图2,在等边三角形ABC中,M是BC延长线上的任意一点(不含端点C),其他条件不变,(1)中结论∠ABC=∠ACN还成立吗?请说明理由。
(3)在(2)的条件下,求∠NCM的度数。
(1)如图1,在等边三角形ABC中,M是BC上的任意一点(不含端点B,C),连结AM,以AM为边作等边三角形AMN,连结CN。求证:∠ABC=∠ACN。
【类比探究】
(2)如图2,在等边三角形ABC中,M是BC延长线上的任意一点(不含端点C),其他条件不变,(1)中结论∠ABC=∠ACN还成立吗?请说明理由。
(3)在(2)的条件下,求∠NCM的度数。
答案
11.(1)因为$△ABC$,$△AMN$是等边三角形，所以$AB=AC$,$AM=AN$,$∠BAC=∠MAN=60°$，所以$∠BAM=∠CAN$。在$△BAM$和$△CAN$中，因为$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAM=∠CAN, \\ AM=AN, \end{cases}$所以$△BAM≌△CAN$(SAS)，所以$∠ABC=∠ACN$。
(2)结论$∠ABC=∠ACN$仍成立。理由如下:因为$△ABC$,$△AMN$是等边三角形，所以$AB=AC$，$AM = AN$，$∠BAC = ∠MAN = 60°$，所以$∠BAM = ∠CAN$。在$△BAM$和$△CAN$中，因为$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAM=∠CAN, \\ AM=AN, \end{cases}$所以$△BAM≌△CAN$(SAS)，所以$∠ABC=∠ACN$。
(3)$∠NCM=60°$。
(2)结论$∠ABC=∠ACN$仍成立。理由如下:因为$△ABC$,$△AMN$是等边三角形，所以$AB=AC$，$AM = AN$，$∠BAC = ∠MAN = 60°$，所以$∠BAM = ∠CAN$。在$△BAM$和$△CAN$中，因为$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAM=∠CAN, \\ AM=AN, \end{cases}$所以$△BAM≌△CAN$(SAS)，所以$∠ABC=∠ACN$。
(3)$∠NCM=60°$。
解析
【分析】
本题属于等边三角形与全等三角形结合的几何类题目，解题思路如下：(1)要证明两个角相等，可通过证明两角所在的三角形全等实现，先利用等边三角形三边相等、内角为60°的性质，得到边相等的条件，再通过角度和差推出夹角相等，用SAS判定三角形全等，即可得到对应角相等；(2)当M在BC延长线上时，等边三角形的性质不变，仍可采用相同的思路推导角相等、证明全等，结论依旧成立；(3)求∠NCM时，结合等边三角形的内角度数、全等得到的对应角相等的结论，利用平角为180°即可计算出结果。
【解析】
(1)证明：
∵△ABC、△AMN是等边三角形，
∴$AB=AC$，$AM=AN$，$∠BAC=∠MAN=60°$，
∴$∠BAC - ∠MAC = ∠MAN - ∠MAC$，即$∠BAM=∠CAN$。
在$△ BAM$和$△ CAN$中：
$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAM=∠CAN, \\ AM=AN, \end{cases}$
∴$△ BAM≌△ CAN$(SAS)，
∴$∠ABC=∠ACN$。
(2)结论$∠ABC=∠ACN$仍成立，理由如下：
∵△ABC、△AMN是等边三角形，
∴$AB=AC$，$AM=AN$，$∠BAC=∠MAN=60°$，
∴$∠BAC + ∠MAC = ∠MAN + ∠MAC$，即$∠BAM=∠CAN$。
在$△ BAM$和$△ CAN$中：
$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAM=∠CAN, \\ AM=AN, \end{cases}$
∴$△ BAM≌△ CAN$(SAS)，
∴$∠ABC=∠ACN$。
(3)解：
∵△ABC是等边三角形，
∴$∠ABC=∠ACB=60°$，
由(2)可知$∠ACN=∠ABC=60°$，
又
∵点M在BC延长线上，$∠ACB+∠ACN+∠NCM=180°$，
∴$∠NCM=180° - 60° - 60°=60°$。
【答案】
(1)证明成立，$∠ABC=∠ACN$；
(2)$∠ABC=∠ACN$仍成立；
(3)$60°$
【知识点】
等边三角形性质、全等三角形判定与性质、角度计算
【点评】
本题是类比探究类的基础几何题，前后小问的解题思路可迁移，核心是利用等边三角形的性质推导全等所需的边、角条件，通过证明全等得到对应角相等是解题的关键，能帮助学生掌握类比推导的解题逻辑。
【难度系数】
0.7
本题属于等边三角形与全等三角形结合的几何类题目，解题思路如下：(1)要证明两个角相等，可通过证明两角所在的三角形全等实现，先利用等边三角形三边相等、内角为60°的性质，得到边相等的条件，再通过角度和差推出夹角相等，用SAS判定三角形全等，即可得到对应角相等；(2)当M在BC延长线上时，等边三角形的性质不变，仍可采用相同的思路推导角相等、证明全等，结论依旧成立；(3)求∠NCM时，结合等边三角形的内角度数、全等得到的对应角相等的结论，利用平角为180°即可计算出结果。
【解析】
(1)证明：
∵△ABC、△AMN是等边三角形，
∴$AB=AC$，$AM=AN$，$∠BAC=∠MAN=60°$，
∴$∠BAC - ∠MAC = ∠MAN - ∠MAC$，即$∠BAM=∠CAN$。
在$△ BAM$和$△ CAN$中：
$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAM=∠CAN, \\ AM=AN, \end{cases}$
∴$△ BAM≌△ CAN$(SAS)，
∴$∠ABC=∠ACN$。
(2)结论$∠ABC=∠ACN$仍成立，理由如下：
∵△ABC、△AMN是等边三角形，
∴$AB=AC$，$AM=AN$，$∠BAC=∠MAN=60°$，
∴$∠BAC + ∠MAC = ∠MAN + ∠MAC$，即$∠BAM=∠CAN$。
在$△ BAM$和$△ CAN$中：
$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAM=∠CAN, \\ AM=AN, \end{cases}$
∴$△ BAM≌△ CAN$(SAS)，
∴$∠ABC=∠ACN$。
(3)解：
∵△ABC是等边三角形，
∴$∠ABC=∠ACB=60°$，
由(2)可知$∠ACN=∠ABC=60°$，
又
∵点M在BC延长线上，$∠ACB+∠ACN+∠NCM=180°$，
∴$∠NCM=180° - 60° - 60°=60°$。
【答案】
(1)证明成立，$∠ABC=∠ACN$；
(2)$∠ABC=∠ACN$仍成立；
(3)$60°$
【知识点】
等边三角形性质、全等三角形判定与性质、角度计算
【点评】
本题是类比探究类的基础几何题，前后小问的解题思路可迁移，核心是利用等边三角形的性质推导全等所需的边、角条件，通过证明全等得到对应角相等是解题的关键，能帮助学生掌握类比推导的解题逻辑。
【难度系数】
0.7
