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10.如果一个正整数能表示为两个正整数$m,n$的平方差，且$m-n=2$，则称这个正整数为“智慧优数”.例如，当$m=3,n=1$时，$8=3^2-1^2$，8是一个智慧优数.若将智慧优数从小到大排列，第2025个智慧优数是
8 104
.答案
10.8 104
解析
【分析】首先理解“智慧优数”的新定义，结合已知条件$m-n=2$，我们可以通过平方差公式对$m^2-n^2$因式分解，将其转化为含$n$的代数式，找到智慧优数的排列规律，最后根据规律计算第2025个智慧优数。具体思考步骤：第一步，用含$n$的式子表示$m$；第二步，用平方差公式展开智慧优数的表达式；第三步，化简得到智慧优数的统一形式；第四步，根据前几个数的排列总结第$k$个智慧优数的表达式，代入$k=2025$计算即可。
【解析】
解：
∵$m,n$是正整数，且$m-n=2$，
∴$m=n+2$，
根据“智慧优数”的定义，智慧优数$S=m^2-n^2$，
由平方差公式可得：$S=(m-n)(m+n)$，
将$m-n=2$、$m=n+2$代入得：
$m+n=(n+2)+n=2n+2$，
∴$S=2×(2n+2)=4n+4=4(n+1)$，
∵$n$是正整数，$n≥1$，
∴当$n=1$时，$S=4×(1+1)=8$，是第1个智慧优数；
当$n=2$时，$S=4×(2+1)=12$，是第2个智慧优数；
当$n=3$时，$S=4×(3+1)=16$，是第3个智慧优数；
……
以此类推，第$k$个智慧优数对应$n=k$，即$S=4(k+1)$，
当$k=2025$时，$S=4×(2025+1)=4×2026=8104$。
【答案】8104
【知识点】平方差公式，新定义运算，规律探究
【点评】本题属于新定义类题型，核心考查平方差公式的灵活应用，解题关键是通过因式分解将智慧优数转化为统一的代数式，进而找到数字排列的规律，整体逻辑清晰，掌握平方差公式的用法即可顺利解题。
【难度系数】0.7
【解析】
解：
∵$m,n$是正整数，且$m-n=2$，
∴$m=n+2$，
根据“智慧优数”的定义，智慧优数$S=m^2-n^2$，
由平方差公式可得：$S=(m-n)(m+n)$，
将$m-n=2$、$m=n+2$代入得：
$m+n=(n+2)+n=2n+2$，
∴$S=2×(2n+2)=4n+4=4(n+1)$，
∵$n$是正整数，$n≥1$，
∴当$n=1$时，$S=4×(1+1)=8$，是第1个智慧优数；
当$n=2$时，$S=4×(2+1)=12$，是第2个智慧优数；
当$n=3$时，$S=4×(3+1)=16$，是第3个智慧优数；
……
以此类推，第$k$个智慧优数对应$n=k$，即$S=4(k+1)$，
当$k=2025$时，$S=4×(2025+1)=4×2026=8104$。
【答案】8104
【知识点】平方差公式，新定义运算，规律探究
【点评】本题属于新定义类题型，核心考查平方差公式的灵活应用，解题关键是通过因式分解将智慧优数转化为统一的代数式，进而找到数字排列的规律，整体逻辑清晰，掌握平方差公式的用法即可顺利解题。
【难度系数】0.7
11.已知$a=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，$b=\sqrt{3}+\sqrt{2}$，求下列各式的值：
(1)$ab$；
(2)$a^2 - b^2$
(1)$ab$；
(2)$a^2 - b^2$
答案
11.(1)1 (2)$-4\sqrt{6}$
解析
【分析】
本题是二次根式的化简求值题，可借助乘法公式简化计算：
(1)观察ab的形式，代入a、b后刚好符合平方差公式的结构，直接套用平方差公式计算即可，无需逐项相乘；
(2)求解$a^2 - b^2$时，先利用平方差公式将其因式分解为$(a+b)(a-b)$，再分别计算$a+b$和$a-b$的值，最后代入乘积计算，比直接计算$a^2$、$b^2$再相减更简便。
【解析】
(1)将$a=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，$b=\sqrt{3}+\sqrt{2}$代入$ab$得：
$ab=(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})$
根据平方差公式$(m-n)(m+n)=m^2-n^2$，可得：
$ab=(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2=3-2=1$
(2)先利用平方差公式对$a^2 - b^2$因式分解：
$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$
分别计算$a+b$和$a-b$：
$a+b=(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{3}+\sqrt{2})=2\sqrt{3}$
$a-b=(\sqrt{3}-\sqrt{2})-(\sqrt{3}+\sqrt{2})=\sqrt{3}-\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{2}=-2\sqrt{2}$
代入得：
$a^2 - b^2=2\sqrt{3} × (-2\sqrt{2})=-4\sqrt{6}$
【答案】
(1)$1$；(2)$-4\sqrt{6}$
【知识点】
平方差公式、二次根式运算、因式分解应用
【点评】
本题重点考查乘法公式在二次根式求值中的灵活运用，熟练掌握平方差公式的结构特征，对所求式子或已知条件合理变形，能够有效简化计算步骤，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
本题是二次根式的化简求值题，可借助乘法公式简化计算：
(1)观察ab的形式，代入a、b后刚好符合平方差公式的结构，直接套用平方差公式计算即可，无需逐项相乘；
(2)求解$a^2 - b^2$时，先利用平方差公式将其因式分解为$(a+b)(a-b)$，再分别计算$a+b$和$a-b$的值，最后代入乘积计算，比直接计算$a^2$、$b^2$再相减更简便。
【解析】
(1)将$a=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，$b=\sqrt{3}+\sqrt{2}$代入$ab$得：
$ab=(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})$
根据平方差公式$(m-n)(m+n)=m^2-n^2$，可得：
$ab=(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2=3-2=1$
(2)先利用平方差公式对$a^2 - b^2$因式分解：
$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$
分别计算$a+b$和$a-b$：
$a+b=(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{3}+\sqrt{2})=2\sqrt{3}$
$a-b=(\sqrt{3}-\sqrt{2})-(\sqrt{3}+\sqrt{2})=\sqrt{3}-\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{2}=-2\sqrt{2}$
代入得：
$a^2 - b^2=2\sqrt{3} × (-2\sqrt{2})=-4\sqrt{6}$
【答案】
(1)$1$；(2)$-4\sqrt{6}$
【知识点】
平方差公式、二次根式运算、因式分解应用
【点评】
本题重点考查乘法公式在二次根式求值中的灵活运用，熟练掌握平方差公式的结构特征，对所求式子或已知条件合理变形，能够有效简化计算步骤，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
12.从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（
），然后将剩余部分拼成一个长方形（）。
(1)上述操作能验证的等式是
A. $a^2 -2ab +b^2=(a -b)^2$
B. $a^2 -b^2=(a +b)(a -b)$
C. $a^2 +ab =a(a +b)$
(2)若 $x^2 -9y^2=12, -x +3y=4$，求 $x +3y$ 的值。
），然后将剩余部分拼成一个长方形（）。(1)上述操作能验证的等式是
B
（请选择正确的一个）；A. $a^2 -2ab +b^2=(a -b)^2$
B. $a^2 -b^2=(a +b)(a -b)$
C. $a^2 +ab =a(a +b)$
(2)若 $x^2 -9y^2=12, -x +3y=4$，求 $x +3y$ 的值。
答案
12.(1)B (2)$-3$
解析
【分析】
(1) 要确定操作验证的等式，可通过计算拼接前后阴影部分的面积推导：先算图1中阴影面积为大正方形面积减剪掉的小正方形面积，再算图2中拼接后长方形的面积，根据拼接前后面积相等即可对应正确等式。
(2) 先观察$x^2-9y^2$的结构，符合平方差公式的特征，可分解为含$x+3y$和$x-3y$的乘积形式，再将已知的$-x+3y=4$变形得到$x-3y$的值，代入分解后的式子即可求出$x+3y$的值。
【解析】
(1) 图1阴影部分面积：$S_1=a^2 - b^2$；
图2拼接后长方形的长为$a+b$，宽为$a-b$，面积为：$S_2=(a+b)(a-b)$；
拼接前后阴影面积不变，即$a^2 -b^2=(a+b)(a-b)$，故选B。
(2) 利用平方差公式对$x^2 -9y^2$因式分解：
$x^2 -9y^2 = x^2 - (3y)^2 = (x+3y)(x-3y)$，
已知$x^2 -9y^2=12$，可得$(x+3y)(x-3y)=12$，
由$-x+3y=4$变形得$x-3y=-4$，代入上式：
$(x+3y)×(-4)=12$，
解得$x+3y=12÷(-4)=-3$。
【答案】
(1)B (2)$-3$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 因式分解的应用
【点评】
本题结合几何图形面积与代数运算，既考查了平方差公式的几何意义，又考查了平方差公式因式分解的实际应用，解题的关键是熟练掌握平方差公式的结构特征，能灵活对式子变形计算。
【难度系数】
0.7
(1) 要确定操作验证的等式，可通过计算拼接前后阴影部分的面积推导：先算图1中阴影面积为大正方形面积减剪掉的小正方形面积，再算图2中拼接后长方形的面积，根据拼接前后面积相等即可对应正确等式。
(2) 先观察$x^2-9y^2$的结构，符合平方差公式的特征，可分解为含$x+3y$和$x-3y$的乘积形式，再将已知的$-x+3y=4$变形得到$x-3y$的值，代入分解后的式子即可求出$x+3y$的值。
【解析】
(1) 图1阴影部分面积：$S_1=a^2 - b^2$；
图2拼接后长方形的长为$a+b$，宽为$a-b$，面积为：$S_2=(a+b)(a-b)$；
拼接前后阴影面积不变，即$a^2 -b^2=(a+b)(a-b)$，故选B。
(2) 利用平方差公式对$x^2 -9y^2$因式分解：
$x^2 -9y^2 = x^2 - (3y)^2 = (x+3y)(x-3y)$，
已知$x^2 -9y^2=12$，可得$(x+3y)(x-3y)=12$，
由$-x+3y=4$变形得$x-3y=-4$，代入上式：
$(x+3y)×(-4)=12$，
解得$x+3y=12÷(-4)=-3$。
【答案】
(1)B (2)$-3$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 因式分解的应用
【点评】
本题结合几何图形面积与代数运算，既考查了平方差公式的几何意义，又考查了平方差公式因式分解的实际应用，解题的关键是熟练掌握平方差公式的结构特征，能灵活对式子变形计算。
【难度系数】
0.7
