1. 分解因式$3x^3 -12xy^2$，结果正确的是 （）

A.$3x(x-2y)^2$
B.$3x(x+2y)^2$
C.$3x(x^2 -4y^2)$
D.$3x(x+2y)(x-2y)$

1.D

【分析】
解决这道因式分解题，要遵循因式分解的常规思路：首先提取各项的公因式，再观察提取公因式后剩余的式子是否符合乘法公式的特征，继续分解直到每个因式都不能再分解为止，最后对比选项选出正确结果即可，要注意因式分解必须彻底，不能中途停止。
【解析】
步骤1：提取公因式
观察原式$3x^3 -12xy^2$，两项的公因式为$3x$，提取公因式后可得：
$3x^3 -12xy^2 = 3x(x^2 - 4y^2)$
步骤2：用平方差公式继续分解
括号内的$x^2 -4y^2$符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的特征，其中$a=x$，$b=2y$，因此：
$x^2 -4y^2=(x+2y)(x-2y)$
步骤3：整合结果并对比选项
原式最终分解结果为$3x(x+2y)(x-2y)$。A、B是完全平方公式对应的形式，和结果不符；C选项没有分解彻底，$x^2-4y^2$还可继续分解，只有D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式分解因式
【点评】
本题考查因式分解的基本操作，解题时要牢记“先提公因式，再用公式，最后检查分解是否彻底”的原则，避免出现未分解完全的错误。
【难度系数】
0.8

2.多项式$4a^2 - 2ab$与多项式$4a^2 - b^2$的公因式为 （）

A.$2a - b$
B.$2a$
C.$2a + b$
D.$4a^2 - b$

2.A

【分析】
要确定两个多项式的公因式，需先将两个多项式分别因式分解，再提取两者共有的因式即可。首先对第一个多项式用提公因式法分解，第二个多项式符合平方差公式的特征，用平方差公式分解，最后对比分解结果找出公共因式。
【解析】
先分别分解两个多项式：
1. 分解多项式$4a^2 - 2ab$：
提取公因式$2a$，可得$4a^2 - 2ab = 2a(2a - b)$。
2. 分解多项式$4a^2 - b^2$：
该式符合平方差公式$m^2 - n^2 = (m+n)(m-n)$的特征，其中$m=2a$，$n=b$，因此$4a^2 - b^2 = (2a + b)(2a - b)$。
对比两个分解后的式子，共有的因式为$2a - b$，即两个多项式的公因式是$2a - b$。
【答案】
A
【知识点】
公因式的确定；提公因式法因式分解；平方差公式因式分解
【点评】
本题考查公因式的判断，解题核心是熟练掌握因式分解的两种基本方法，准确分解两个多项式后即可快速找出公因式，是对因式分解基础应用的考查。
【难度系数】
0.8

3.已知$a,b,c$为一个三角形的三边长，则$(a-b)^2 - c^2$的值 （）

A.一定为负数
B.一定为正数
C.可能为正数，也可能为负数
D.可能为零

3.A

【分析】
首先观察式子特征，发现是两个平方项作差，符合平方差公式的结构，所以第一步可以利用平方差公式对式子进行因式分解；再结合三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，分别判断分解后两个因式的正负性，最后根据有理数乘法的符号法则就能判断整个式子的正负。
【解析】
首先对式子$(a-b)^2 - c^2$用平方差公式因式分解：
$(a-b)^2 - c^2 = (a - b + c)(a - b - c)$
因为$a,b,c$是三角形的三边长，根据三角形三边关系：
1. 两边之和大于第三边，所以$a + c ＞ b$，即$a - b + c ＞ 0$；
2. 同理$b + c ＞ a$，移项可得$a - b - c = a - (b + c) ＜ 0$。
一个正数与一个负数相乘，乘积为负数，因此$(a-b)^2 - c^2$的值一定为负数。
【答案】
A
【知识点】
1. 平方差公式分解因式
2. 三角形三边关系
【点评】
本题是因式分解与三角形性质的综合应用题，解题的关键是先对代数式合理因式分解，再结合三角形三边关系判断各因式的符号，进而确定代数式的取值正负，属于基础综合题。
【难度系数】
0.7

4.分解因式:
(1)$2m^2 - 2 =$ ;
(2)$x^3 - x =$ ;
(3)$-16x^2 + 81y^2 =$ ;
(4)$y^3 - 16y =$ ;
(5)$2ab^3 - 2ab =$ ;
(6)$8mn - 2mn^3 =$ ;
(7)$(x + 3)^2 - 9 =$ ;
(8)$x^2(m - 2) + (2 - m) =$ .

4.(1)$2(m+1)(m-1)$ (2)$x(x+1)(x-1)$ (3)$(9y+4x)(9y-4x)$ (4)$y(y+4)(y-4)$ (5)$2ab(b+1)(b-1)$ (6)$2mn(2+n)(2-n)$ (7)$x(x+6)$ (8)$(m-2)(x+1)(x-1)$

【分析】
因式分解遵循“一提二套三查”的思路：第一步先观察多项式是否有公因式，有公因式优先提取公因式；第二步看提取公因式后的剩余项是否符合平方差公式形式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，符合则套用公式继续分解；第三步检查分解是否彻底，确保每个因式都不能再分解。遇到如$(2-m)$和$(m-2)$这类符号相反的项，先变形统一公因式再提取；遇到整体形式的平方项，可直接将整体看作公式中的$a$或$b$，简化计算。
【解析】
(1) 先提取公因式$2$，再对剩余项用平方差公式分解：
原式$=2(m^2-1)=2(m+1)(m-1)$
(2) 先提取公因式$x$，再对剩余项用平方差公式分解：
原式$=x(x^2-1)=x(x+1)(x-1)$
(3) 调整式子为平方差形式，直接套用公式分解：
原式$=81y^2-16x^2=(9y)^2-(4x)^2=(9y+4x)(9y-4x)$
(4) 先提取公因式$y$，再对剩余项用平方差公式分解：
原式$=y(y^2-16)=y(y^2-4^2)=y(y+4)(y-4)$
(5) 先提取公因式$2ab$，再对剩余项用平方差公式分解：
原式$=2ab(b^2-1)=2ab(b+1)(b-1)$
(6) 先提取公因式$2mn$，再对剩余项用平方差公式分解：
原式$=2mn(4-n^2)=2mn(2^2-n^2)=2mn(2+n)(2-n)$
(7) 将$9$看作$3^2$，直接套用平方差公式分解：
原式$=(x+3)^2-3^2=[(x+3)+3][(x+3)-3]=x(x+6)$
(8) 先将$(2-m)$变形为$-(m-2)$，提取公因式后再用平方差公式分解：
原式$=x^2(m-2)-(m-2)=(m-2)(x^2-1)=(m-2)(x+1)(x-1)$
【答案】
(1)$2(m+1)(m-1)$ (2)$x(x+1)(x-1)$ (3)$(9y+4x)(9y-4x)$ (4)$y(y+4)(y-4)$ (5)$2ab(b+1)(b-1)$ (6)$2mn(2+n)(2-n)$ (7)$x(x+6)$ (8)$(m-2)(x+1)(x-1)$
【知识点】
1.提公因式法分解因式 2.平方差公式分解因式 3.因式分解基本步骤
【点评】
本组题目为因式分解的基础训练，重点考查“先提公因式、后套公式”的分解逻辑，解题时需注意符号的统一调整，同时要保证分解彻底，避免出现分解不完全的错误。
【难度系数】
0.85

5. $(x+2y)^2 - (2x+y)^2$ 分解因式的结果是.

5.$3(x+y)(y-x)$

【分析】
观察待分解的式子，是两个整式的平方作差的结构，符合平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$的形式，因此优先用平方差公式求解。首先确定公式中$a=x+2y$，$b=2x+y$，套用公式后分别对两个括号内的整式合并同类项，再整理为最简的因式乘积形式即可。
【解析】
解：将$(x+2y)$看作整体$a$，$(2x+y)$看作整体$b$，根据平方差公式分解：
$\begin{aligned}&(x+2y)^2 - (2x+y)^2\\=&[(x+2y)-(2x+y)][(x+2y)+(2x+y)]\\=&(x+2y-2x-y)(x+2y+2x+y)\\=&(y-x)(3x+3y)\\=&3(x+y)(y-x)\end{aligned}$
【答案】
$3(x+y)(y-x)$
【知识点】
平方差公式分解因式、合并同类项、提公因式法
【点评】
本题属于因式分解的基础常规题，解题关键是准确识别平方差的结构特征，套用公式后要注意化简整式，确保分解结果为最简因式乘积形式。
【难度系数】
0.8

6.当$x＞0,y＞0$,且$x≠y$时,$x^2(x-y)+y^2(y-x)$的值 （）

A.总是为正
B.总是为负
C.可能为正,也可能为负
D.不能确定正负

6.A

【分析】
首先观察代数式的结构，发现两项中含有的因式(x-y)和(y-x)互为相反数，可先统一公因式，再提取公因式，随后运用平方差公式继续分解因式，最后结合x＞0、y＞0且x≠y的已知条件，判断分解后每个因式的正负，即可确定整个代数式的正负性。
【解析】
先对代数式变形、因式分解：
$\begin{aligned}x^2(x-y)+y^2(y-x)&=x^2(x-y)-y^2(x-y)\\&=(x-y)(x^2-y^2)\\&=(x-y)(x+y)(x-y)\\&=(x-y)^2(x+y)\end{aligned}$
已知x＞0，y＞0，因此x+y＞0；又因为x≠y，所以$(x-y)^2＞0$。
两个正数相乘结果为正，因此该代数式的值总是为正，故选A。
【答案】
A
【知识点】
提取公因式法，平方差公式，代数式正负判断
【点评】
本题是因式分解的基础应用题型，核心是将代数式分解为多个因式乘积的形式，再结合已知条件判断各因式的符号，进而确定整个代数式的符号，是因式分解的典型考法。
【难度系数】
0.7

7.已知$x - 2y - 4 = 0$，则$x^2 - 4y^2 - 16y$的值为 （）

A.8
B.16
C.12
D.10

7.B

【分析】
解题时先从已知条件整理得出$x-2y=4$，再观察所求代数式的结构，发现前两项$x^2-4y^2$符合平方差公式的特征，因此先利用平方差公式因式分解，再将$x-2y=4$整体代入化简，最后再次利用整体代入即可求出代数式的值，无需单独求解x和y的具体数值，简化计算过程。
【解析】
解：由已知$x - 2y - 4 = 0$，可得$x - 2y = 4$。
对所求代数式因式分解：
$x^2 - 4y^2 - 16y$
$=(x - 2y)(x + 2y) - 16y$
将$x - 2y = 4$代入上式：
$=4(x + 2y) - 16y$
展开并化简：
$=4x + 8y - 16y$
$=4x - 8y$
$=4(x - 2y)$
再次代入$x - 2y = 4$：
$=4×4 = 16$
【答案】
B
【知识点】
平方差公式，代数式求值，整体代入
【点评】
本题考查因式分解在代数式求值中的应用，合理对多项式进行因式分解，结合整体代入思想可以大幅降低计算量，是解决此类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7

8.若$a$，$b$，$c$是$△ ABC$的三边长，且$a^2 - b^2 = c(a - b)$，则$△ ABC$一定是 （）

A.直角三角形
B.三条边都不相等的三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形

8.C

【分析】
解题时首先观察等式左边的$a^2-b^2$符合平方差公式的结构，可先对左边因式分解，再将等式右侧的项移到左侧提取公因式，得到两个因式乘积为0的形式。接下来结合三角形三边关系“两边之和大于第三边”，可判断其中一个因式恒为正数，因此只能另一个因式为0，进而得到两条边的等量关系，即可确定三角形的形状。
【解析】
解：对已知等式左侧用平方差公式因式分解，得：
$(a-b)(a+b)=c(a-b)$
移项，得：
$(a-b)(a+b)-c(a-b)=0$
提取公因式$(a-b)$，得：
$(a-b)(a+b-c)=0$
∵$a$、$b$、$c$是$△ ABC$的三边长，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，
∴$a+b＞c$，即$a+b-c＞0$，
∴仅当$a-b=0$时等式成立，即$a=b$，
∴$△ ABC$是等腰三角形。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式因式分解、三角形三边关系、等腰三角形判定
【点评】
本题结合因式分解与三角形性质考察形状判定，解题核心是正确对等式变形，注意不能直接在等式两边同时除以可能为0的整式，避免漏解，重点考察因式分解的实际应用能力。
【难度系数】
0.8

9.若$x+y=1$，则$x^2 - y^2 + 2y + 5 =$.

9.6

【分析】
首先观察所求代数式的结构，发现式子中存在$x^2-y^2$，刚好符合平方差公式的形式，因此可以先利用平方差公式对这部分因式分解，再把已知条件$x+y=1$整体代入化简，化简后再次代入$x+y=1$即可求出结果，不需要单独求解x、y的值，能简化计算过程。
【解析】
解：对$x^2 - y^2 + 2y + 5$进行变形计算：
1. 利用平方差公式分解$x^2-y^2$，可得：
$x^2 - y^2 + 2y + 5=(x+y)(x-y)+2y+5$
2. 把已知条件$x+y=1$代入上式：
原式$=1×(x-y)+2y+5=x-y+2y+5$
3. 合并同类项后得：
原式$=x+y+5$
4. 再次代入$x+y=1$计算：
原式$=1+5=6$
【答案】
6
【知识点】
平方差公式分解因式；代数式化简求值
【点评】
本题是因式分解在代数式求值中的基础应用，解题核心是识别出平方差的结构特征，通过因式分解对所求式子变形后，用整体代入法计算即可，避免单独求解未知数的繁琐步骤。
【难度系数】
0.8

10. (1)$x^2 -9y^2$分解因式的结果是；
(2)$4(x+y)^2 -9y^2$分解因式的结果是；
(3)$4(x+y)^2 -9(x-y)^2$分解因式的结果是。

10.(1)$(x+3y)(x-3y)$ (2)$(2x+5y)(2x-y)$ (3)$(5x-y)(5y-x)$

【分析】
这三道因式分解题均考查平方差公式的应用，平方差公式为$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，解题核心是先把原式转化为两个式子平方差的形式，准确找到对应公式里的$a$和$b$，代入公式后再化简合并同类项即可。
(1) 首先把$9y^2$变形为$(3y)^2$，直接对应平方差公式求解；
(2) 把$4(x+y)^2$变形为$[2(x+y)]^2$，$9y^2$变形为$(3y)^2$，对应平方差公式后代入化简；
(3) 把$4(x+y)^2$变形为$[2(x+y)]^2$，$9(x-y)^2$变形为$[3(x-y)]^2$，代入公式后注意去括号时的符号问题，再合并同类项得到最终结果。
【解析】
(1) 利用平方差公式分解：
$x^2 - 9y^2 = x^2 - (3y)^2 = (x + 3y)(x - 3y)$
(2) 先转化为平方差形式，再代入公式化简：
$4(x+y)^2 - 9y^2 = [2(x+y)]^2 - (3y)^2$
$= [2(x+y) + 3y][2(x+y) - 3y]$
去括号合并同类项：
第一个括号：$2x + 2y + 3y = 2x + 5y$
第二个括号：$2x + 2y - 3y = 2x - y$
所以结果为$(2x + 5y)(2x - y)$
(3) 同理转化为平方差形式后代入公式：
$4(x+y)^2 - 9(x-y)^2 = [2(x+y)]^2 - [3(x-y)]^2$
$= [2(x+y) + 3(x-y)][2(x+y) - 3(x-y)]$
去括号合并同类项：
第一个括号：$2x + 2y + 3x - 3y = 5x - y$
第二个括号：$2x + 2y - 3x + 3y = -x + 5y = 5y - x$
所以结果为$(5x - y)(5y - x)$
【答案】
(1)$(x+3y)(x-3y)$ (2)$(2x+5y)(2x-y)$ (3)$(5x-y)(5y-x)$
【知识点】
平方差公式分解因式、去括号法则、合并同类项
【点评】
本组题目是应用平方差公式分解因式的典型题型，解题的关键是熟练掌握平方差公式的结构特征，准确识别公式中对应的$a$、$b$两项，化简过程中要注意去括号的符号规则，确保结果不能再分解、书写规范。
【难度系数】
0.7