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11.分解因式：
(1)$(3a-b)^2 - 4(a-b)^2$；
(2)$-a^4 + 81$；
(3)$x^5 - x$；
(4)$81m^2 - 16n^4$。
(1)$(3a-b)^2 - 4(a-b)^2$；
(2)$-a^4 + 81$；
(3)$x^5 - x$；
(4)$81m^2 - 16n^4$。
答案
11.(1)$(5a-3b)(a+b)$ (2)$(9+a^2)(3+a)(3-a)$ (3)$x(x^2+1)(x+1)(x-1)$ (4)$(9m+4n^2)(9m-4n^2)$
解析
【分析】
这4道因式分解题核心考查平方差公式的应用，解题思路如下：首先观察式子结构，若有公因式则先提取公因式；再判断式子是否为“两个平方项符号相反”的形式，对应匹配平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，确定公式中的$a$和$b$后代入公式初步分解；最后检查分解结果，确保每一个因式都不能再分解为止。具体到各题：(1)原式本身就是两个平方项作差，直接套用公式后化简即可；(2)(3)首次套用公式后仍存在可分解的因式，需要多次使用平方差公式直到无法分解；(4)原式可直接转化为平方差的标准形式，套用公式即可得到结果。
【解析】
我们使用平方差公式$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$进行因式分解，分解需彻底：
(1) 原式$=(3a - b)^2 - [2(a - b)]^2$
把$3a - b$看作公式中的$a$，$2(a - b)$看作公式中的$b$，代入得：
$=[(3a - b) + 2(a - b)][(3a - b) - 2(a - b)]$
去括号合并同类项：
第一个括号：$3a - b + 2a - 2b = 5a - 3b$
第二个括号：$3a - b - 2a + 2b = a + b$
故结果为$(5a - 3b)(a + b)$。
(2) 先整理原式得$81 - a^4 = 9^2 - (a^2)^2$
套用平方差公式得：
$=(9 + a^2)(9 - a^2)$
其中$9 - a^2 = 3^2 - a^2$，可继续分解：
$=(9 + a^2)(3 + a)(3 - a)$。
(3) 先提取公因式$x$得：
原式$=x(x^4 - 1) = x[(x^2)^2 - 1^2]$
第一次套用平方差公式得：
$=x(x^2 + 1)(x^2 - 1)$
其中$x^2 - 1$可继续分解：
$=x(x^2 + 1)(x + 1)(x - 1)$。
(4) 原式变形为$(9m)^2 - (4n^2)^2$
套用平方差公式得：
$=(9m + 4n^2)(9m - 4n^2)$。
【答案】
(1)$(5a-3b)(a+b)$；(2)$(9+a^2)(3+a)(3-a)$；(3)$x(x^2+1)(x+1)(x-1)$；(4)$(9m+4n^2)(9m-4n^2)$
【知识点】
平方差公式分解因式；提公因式法分解因式；因式分解的彻底性
【点评】
本组题目是因式分解的基础题型，重点考查平方差公式的结构识别与应用，解题时要养成“先看有无公因式，再看能否套公式，最后检查分解是否彻底”的解题习惯，熟练掌握公式的结构特征是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
这4道因式分解题核心考查平方差公式的应用，解题思路如下：首先观察式子结构，若有公因式则先提取公因式；再判断式子是否为“两个平方项符号相反”的形式，对应匹配平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，确定公式中的$a$和$b$后代入公式初步分解；最后检查分解结果，确保每一个因式都不能再分解为止。具体到各题：(1)原式本身就是两个平方项作差，直接套用公式后化简即可；(2)(3)首次套用公式后仍存在可分解的因式，需要多次使用平方差公式直到无法分解；(4)原式可直接转化为平方差的标准形式，套用公式即可得到结果。
【解析】
我们使用平方差公式$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$进行因式分解，分解需彻底：
(1) 原式$=(3a - b)^2 - [2(a - b)]^2$
把$3a - b$看作公式中的$a$，$2(a - b)$看作公式中的$b$，代入得：
$=[(3a - b) + 2(a - b)][(3a - b) - 2(a - b)]$
去括号合并同类项：
第一个括号：$3a - b + 2a - 2b = 5a - 3b$
第二个括号：$3a - b - 2a + 2b = a + b$
故结果为$(5a - 3b)(a + b)$。
(2) 先整理原式得$81 - a^4 = 9^2 - (a^2)^2$
套用平方差公式得：
$=(9 + a^2)(9 - a^2)$
其中$9 - a^2 = 3^2 - a^2$，可继续分解：
$=(9 + a^2)(3 + a)(3 - a)$。
(3) 先提取公因式$x$得：
原式$=x(x^4 - 1) = x[(x^2)^2 - 1^2]$
第一次套用平方差公式得：
$=x(x^2 + 1)(x^2 - 1)$
其中$x^2 - 1$可继续分解：
$=x(x^2 + 1)(x + 1)(x - 1)$。
(4) 原式变形为$(9m)^2 - (4n^2)^2$
套用平方差公式得：
$=(9m + 4n^2)(9m - 4n^2)$。
【答案】
(1)$(5a-3b)(a+b)$；(2)$(9+a^2)(3+a)(3-a)$；(3)$x(x^2+1)(x+1)(x-1)$；(4)$(9m+4n^2)(9m-4n^2)$
【知识点】
平方差公式分解因式；提公因式法分解因式；因式分解的彻底性
【点评】
本组题目是因式分解的基础题型，重点考查平方差公式的结构识别与应用，解题时要养成“先看有无公因式，再看能否套公式，最后检查分解是否彻底”的解题习惯，熟练掌握公式的结构特征是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
12.若$m^2=n+2025$，$n^2=m+2025$（$m$和$n$不相等），那么式子$m^3 -2mn +n^3$的值为（
A.$2025$
B.$-2025$
C.$2024$
D.$-2024$
B
）A.$2025$
B.$-2025$
C.$2024$
D.$-2024$
答案
12.B
解析
【分析】
解题思路分为三步：第一步，观察到两个已知等式结构相似，将两式作差后，左边可利用平方差公式因式分解，结合m≠n的条件可求出m+n的值；第二步，利用已知的m²、n²的表达式，通过降次的方法把m³、n³转化为含m、n和mn的低次式；第三步，将转化后的式子代入所求代数式化简，再代入m+n的值计算即可得到结果。
【解析】
已知：$m^2 = n + 2025$ ①，$n^2 = m + 2025$ ②，且$m ≠ n$。
1. 求$m+n$的值：
用①$-$②得：$m^2 - n^2 = n - m$
左边用平方差公式因式分解：$(m-n)(m+n) = -(m-n)$
$\because m ≠ n$，$\therefore m-n ≠ 0$，等式两边同时除以$(m-n)$得：$m + n = -1$。
2. 降次转化$m^3$和$n^3$：
由①得：$m^3 = m · m^2 = m(n + 2025) = mn + 2025m$
由②得：$n^3 = n · n^2 = n(m + 2025) = mn + 2025n$
3. 代入化简求值：
将上述$m^3$、$n^3$代入$m^3 - 2mn + n^3$得：
$\begin{aligned}原式 &= (mn + 2025m) - 2mn + (mn + 2025n) \\&= mn + 2025m - 2mn + mn + 2025n \\&= 2025(m + n)\end{aligned}$
把$m + n = -1$代入得：$2025 × (-1) = -2025$。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式分解因式，等式的性质，代数式化简求值
【点评】
本题考查因式分解与代数式化简的结合，核心解题技巧是通过等式作差求m+n的值，再用降次法将高次幂转化为低次式代入计算，重点考察转化思想和运算能力。
【难度系数】
0.6
解题思路分为三步：第一步，观察到两个已知等式结构相似，将两式作差后，左边可利用平方差公式因式分解，结合m≠n的条件可求出m+n的值；第二步，利用已知的m²、n²的表达式，通过降次的方法把m³、n³转化为含m、n和mn的低次式；第三步，将转化后的式子代入所求代数式化简，再代入m+n的值计算即可得到结果。
【解析】
已知：$m^2 = n + 2025$ ①，$n^2 = m + 2025$ ②，且$m ≠ n$。
1. 求$m+n$的值：
用①$-$②得：$m^2 - n^2 = n - m$
左边用平方差公式因式分解：$(m-n)(m+n) = -(m-n)$
$\because m ≠ n$，$\therefore m-n ≠ 0$，等式两边同时除以$(m-n)$得：$m + n = -1$。
2. 降次转化$m^3$和$n^3$：
由①得：$m^3 = m · m^2 = m(n + 2025) = mn + 2025m$
由②得：$n^3 = n · n^2 = n(m + 2025) = mn + 2025n$
3. 代入化简求值：
将上述$m^3$、$n^3$代入$m^3 - 2mn + n^3$得：
$\begin{aligned}原式 &= (mn + 2025m) - 2mn + (mn + 2025n) \\&= mn + 2025m - 2mn + mn + 2025n \\&= 2025(m + n)\end{aligned}$
把$m + n = -1$代入得：$2025 × (-1) = -2025$。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式分解因式，等式的性质，代数式化简求值
【点评】
本题考查因式分解与代数式化简的结合，核心解题技巧是通过等式作差求m+n的值，再用降次法将高次幂转化为低次式代入计算，重点考察转化思想和运算能力。
【难度系数】
0.6
13.在有理数运算和整式运算的学习中,我们感受到这部分内容的学习都是从具体、简单的运算出发,归纳共性并验证规律.请你利用类比方法解决下列问题.观察下列等式,并回答问题:
$1^2 - 0^2 = 1;2^2 - 1^2 = 3;3^2 - 2^2 = 5;…$
(1)将11写成两个正整数平方差的形式:$\underline{\hspace{5cm}}=11;$
(2)观察、归纳,得出猜想:用含有字母$n(n＞0,且n为整数)$的等式表示上述的规律为$\underline{\hspace{5cm}};$
(3)验证:用已学的知识验证上述发现的规律;
(4)延伸:两个相邻奇数的平方差一定是8的倍数.这个命题是$\underline{\hspace{3cm}}$命题(填“真”或“假”).
$1^2 - 0^2 = 1;2^2 - 1^2 = 3;3^2 - 2^2 = 5;…$
(1)将11写成两个正整数平方差的形式:$\underline{\hspace{5cm}}=11;$
(2)观察、归纳,得出猜想:用含有字母$n(n＞0,且n为整数)$的等式表示上述的规律为$\underline{\hspace{5cm}};$
(3)验证:用已学的知识验证上述发现的规律;
(4)延伸:两个相邻奇数的平方差一定是8的倍数.这个命题是$\underline{\hspace{3cm}}$命题(填“真”或“假”).
答案
13.(1)$6^2-5^2$ (2)$n^2-(n-1)^2=2n-1$ (3)证明略 (4)真
解析
【分析】
解题时先从已知的特殊等式入手找共性：①等式左边是相邻两个非负整数的平方差，较大的数和等式的序号一致；②等式右边是连续的奇数，等于相邻两数的和。
(1) 要将11写成两个正整数平方差，根据规律可知结果11等于两个相邻正整数的和，计算得两个数为5和6，即可写出平方差形式；
(2) 结合第n个式子的特征，用含n的式子表示左边和右边，即可得到规律；
(3) 验证规律可将左边用平方差公式或完全平方公式展开，化简后和右边比较，若相等则规律成立；
(4) 要判断命题真假，先设出两个相邻奇数，用平方差公式计算它们的平方差，判断结果是否为8的倍数即可。
【解析】
(1) 观察已知等式可得：相邻两正整数的平方差等于两数之和，令两个相邻正整数为k、k+1，则$(k+1)+k=11$，解得$k=5$，所以$6^2 - 5^2=11$；
(2) 观察式子：
当n=1时，$1^2 - 0^2=2×1-1=1$；
当n=2时，$2^2 - 1^2=2×2-1=3$；
当n=3时，$3^2 - 2^2=2×3-1=5$；
……
归纳可得规律：$n^2-(n-1)^2=2n-1$（n为正整数）；
(3) 验证：对等式左边进行化简：
利用平方差公式：左边$=n^2-(n-1)^2=[n+(n-1)][n-(n-1)]=(2n-1)×1=2n-1$，和右边相等，规律成立；
(4) 设两个相邻奇数分别为$2n-1$和$2n+1$（n为整数），则它们的平方差为：
$(2n+1)^2-(2n-1)^2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n×2=8n$
因为n为整数，所以8n是8的倍数，故该命题为真命题。
【答案】
(1)$6^2-5^2$；(2)$n^2-(n-1)^2=2n-1$（n为正整数）；(3)验证见解析；(4)真
【知识点】
平方差公式，规律探究，整式运算
【点评】
本题以规律探究为载体，考查了从特殊到一般的归纳思维，需要学生熟练掌握整式乘法和平方差公式的应用，能通过设字母将文字描述转化为代数式运算，从而验证规律和判断命题真假，是对代数运算和逻辑推理能力的基础考查。
【难度系数】
0.75
解题时先从已知的特殊等式入手找共性：①等式左边是相邻两个非负整数的平方差，较大的数和等式的序号一致；②等式右边是连续的奇数，等于相邻两数的和。
(1) 要将11写成两个正整数平方差，根据规律可知结果11等于两个相邻正整数的和，计算得两个数为5和6，即可写出平方差形式；
(2) 结合第n个式子的特征，用含n的式子表示左边和右边，即可得到规律；
(3) 验证规律可将左边用平方差公式或完全平方公式展开，化简后和右边比较，若相等则规律成立；
(4) 要判断命题真假，先设出两个相邻奇数，用平方差公式计算它们的平方差，判断结果是否为8的倍数即可。
【解析】
(1) 观察已知等式可得：相邻两正整数的平方差等于两数之和，令两个相邻正整数为k、k+1，则$(k+1)+k=11$，解得$k=5$，所以$6^2 - 5^2=11$；
(2) 观察式子：
当n=1时，$1^2 - 0^2=2×1-1=1$；
当n=2时，$2^2 - 1^2=2×2-1=3$；
当n=3时，$3^2 - 2^2=2×3-1=5$；
……
归纳可得规律：$n^2-(n-1)^2=2n-1$（n为正整数）；
(3) 验证：对等式左边进行化简：
利用平方差公式：左边$=n^2-(n-1)^2=[n+(n-1)][n-(n-1)]=(2n-1)×1=2n-1$，和右边相等，规律成立；
(4) 设两个相邻奇数分别为$2n-1$和$2n+1$（n为整数），则它们的平方差为：
$(2n+1)^2-(2n-1)^2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n×2=8n$
因为n为整数，所以8n是8的倍数，故该命题为真命题。
【答案】
(1)$6^2-5^2$；(2)$n^2-(n-1)^2=2n-1$（n为正整数）；(3)验证见解析；(4)真
【知识点】
平方差公式，规律探究，整式运算
【点评】
本题以规律探究为载体，考查了从特殊到一般的归纳思维，需要学生熟练掌握整式乘法和平方差公式的应用，能通过设字母将文字描述转化为代数式运算，从而验证规律和判断命题真假，是对代数运算和逻辑推理能力的基础考查。
【难度系数】
0.75
