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1. 一小球被抛出后，距离地面的高度$h$（m）和飞行时间$t$（s）满足下面函数关系式：$h=-5(t-1)^2+6$，则小球距离地面的最大高度是（
A.$1\ \mathrm{m}$
B.$5\ \mathrm{m}$
C.$6\ \mathrm{m}$
D.$7\ \mathrm{m}$
C
）。A.$1\ \mathrm{m}$
B.$5\ \mathrm{m}$
C.$6\ \mathrm{m}$
D.$7\ \mathrm{m}$
答案
1.C
解析
【分析】
首先明确题目要求是求小球距离地面的最大高度，本质是求二次函数$h(t)$的最大值。观察给出的函数是二次函数的顶点式形式，根据二次函数的性质：当二次项系数$a＜0$时，抛物线开口向下，顶点处的函数值就是函数的最大值，顶点的纵坐标即为最大值，因此只需提取顶点式中的常数项即可得到最大高度。
【解析】
已知高度$h$与飞行时间$t$的函数关系式为$h=-5(t-1)^2+6$，这是二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$形式：
1. 二次项系数$a=-5＜0$，因此抛物线开口向下，函数存在最大值；
2. 顶点式中顶点坐标为$(h,k)$，对应本题中顶点坐标为$(1,6)$，即当$t=1$时，$h$取得最大值，最大值为$6\ \mathrm{m}$。
因此小球距离地面的最大高度是6m，选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数最值
【点评】
本题属于二次函数实际应用的基础题，熟练掌握二次函数顶点式的性质是解题的关键，结合开口方向即可快速判断最值。
【难度系数】
0.8
首先明确题目要求是求小球距离地面的最大高度，本质是求二次函数$h(t)$的最大值。观察给出的函数是二次函数的顶点式形式，根据二次函数的性质：当二次项系数$a＜0$时，抛物线开口向下，顶点处的函数值就是函数的最大值，顶点的纵坐标即为最大值，因此只需提取顶点式中的常数项即可得到最大高度。
【解析】
已知高度$h$与飞行时间$t$的函数关系式为$h=-5(t-1)^2+6$，这是二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$形式：
1. 二次项系数$a=-5＜0$，因此抛物线开口向下，函数存在最大值；
2. 顶点式中顶点坐标为$(h,k)$，对应本题中顶点坐标为$(1,6)$，即当$t=1$时，$h$取得最大值，最大值为$6\ \mathrm{m}$。
因此小球距离地面的最大高度是6m，选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数最值
【点评】
本题属于二次函数实际应用的基础题，熟练掌握二次函数顶点式的性质是解题的关键，结合开口方向即可快速判断最值。
【难度系数】
0.8
2. 图5-3-7是一个长20 m、宽16 m的矩形花园，现要将它的长缩短x m，宽增加x m，则修改后花园的最大面积为(
A.$320\ \mathrm{m}^2$
B.$322\ \mathrm{m}^2$
C.$323\ \mathrm{m}^2$
D.$324\ \mathrm{m}^2$
D
)。A.$320\ \mathrm{m}^2$
B.$322\ \mathrm{m}^2$
C.$323\ \mathrm{m}^2$
D.$324\ \mathrm{m}^2$
答案
2.D
解析
【分析】
要解决修改后花园的最大面积问题，首先需根据题意列出面积关于x的函数关系式：修改后花园的长为$(20-x)\ \mathrm{m}$，宽为$(16+x)\ \mathrm{m}$，面积为长乘宽，得到二次函数关系，再结合二次函数求最值的方法，同时注意x的取值要符合实际意义（长度不能为负），即可求出最大面积。
【解析】
设修改后花园的面积为$S\ \mathrm{m}^2$。
根据题意，修改后花园的长为$(20-x)\ \mathrm{m}$，宽为$(16+x)\ \mathrm{m}$，其中$x$的取值范围为$0≤ x≤20$（保证花园长度为非负数）。
因此面积表达式为：
$\begin{aligned}S&=(20-x)(16+x)\\&=-x^2+4x+320\\&=-(x-2)^2+324\end{aligned}$
该二次函数开口向下，在顶点处取得最大值，当$x=2$时（$x=2$在$0≤ x≤20$的合理范围内），$S$的最大值为$324\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的实际应用，二次函数最值计算，整式乘法
【点评】
本题是二次函数解决实际最值问题的基础题型，解题核心是准确根据题意列出函数表达式，再利用二次函数的性质求解最值，求解过程中要注意验证自变量的取值是否符合实际场景要求。
【难度系数】
0.7
要解决修改后花园的最大面积问题，首先需根据题意列出面积关于x的函数关系式：修改后花园的长为$(20-x)\ \mathrm{m}$，宽为$(16+x)\ \mathrm{m}$，面积为长乘宽，得到二次函数关系，再结合二次函数求最值的方法，同时注意x的取值要符合实际意义（长度不能为负），即可求出最大面积。
【解析】
设修改后花园的面积为$S\ \mathrm{m}^2$。
根据题意，修改后花园的长为$(20-x)\ \mathrm{m}$，宽为$(16+x)\ \mathrm{m}$，其中$x$的取值范围为$0≤ x≤20$（保证花园长度为非负数）。
因此面积表达式为：
$\begin{aligned}S&=(20-x)(16+x)\\&=-x^2+4x+320\\&=-(x-2)^2+324\end{aligned}$
该二次函数开口向下，在顶点处取得最大值，当$x=2$时（$x=2$在$0≤ x≤20$的合理范围内），$S$的最大值为$324\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的实际应用，二次函数最值计算，整式乘法
【点评】
本题是二次函数解决实际最值问题的基础题型，解题核心是准确根据题意列出函数表达式，再利用二次函数的性质求解最值，求解过程中要注意验证自变量的取值是否符合实际场景要求。
【难度系数】
0.7
3. 从地面竖直向上发射的物体离地面的高度h(m)满足关系式$h=-5t^2+30t$，其中t(s)是物体运动的时间。科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球，小球被发射后
3
s时离地面的高度最大。答案
3.3
解析
【分析】
本题中物体高度h是关于运动时间t的二次函数，二次项系数为-5小于0，因此抛物线开口向下，函数存在最大值，最大值出现在抛物线的顶点处，要求高度最大时的时间，只需要计算二次函数顶点的横坐标即可，可直接用二次函数顶点横坐标公式$t=-\frac{b}{2a}$求解。
【解析】
解：已知高度$h$与时间$t$的关系式为$h=-5t^2+30t$，该式为二次函数，其中$a=-5$，$b=30$。
$\because a=-5＜0$，$\therefore$ 抛物线开口向下，$h$存在最大值，此时对应的$t$为顶点的横坐标。
根据二次函数顶点横坐标公式：
$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{30}{2×(-5)}=3$
即小球被发射后3s时离地面的高度最大。
【答案】
3
【知识点】
二次函数的最值、二次函数顶点坐标
【点评】
本题结合抛体运动场景考查二次函数的实际应用，解题的核心是将实际问题中的“最大高度对应时间”转化为二次函数的顶点横坐标问题，熟练掌握二次函数的基本性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
本题中物体高度h是关于运动时间t的二次函数，二次项系数为-5小于0，因此抛物线开口向下，函数存在最大值，最大值出现在抛物线的顶点处，要求高度最大时的时间，只需要计算二次函数顶点的横坐标即可，可直接用二次函数顶点横坐标公式$t=-\frac{b}{2a}$求解。
【解析】
解：已知高度$h$与时间$t$的关系式为$h=-5t^2+30t$，该式为二次函数，其中$a=-5$，$b=30$。
$\because a=-5＜0$，$\therefore$ 抛物线开口向下，$h$存在最大值，此时对应的$t$为顶点的横坐标。
根据二次函数顶点横坐标公式：
$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{30}{2×(-5)}=3$
即小球被发射后3s时离地面的高度最大。
【答案】
3
【知识点】
二次函数的最值、二次函数顶点坐标
【点评】
本题结合抛体运动场景考查二次函数的实际应用，解题的核心是将实际问题中的“最大高度对应时间”转化为二次函数的顶点横坐标问题，熟练掌握二次函数的基本性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
4. 小宇想在边长为10的正方形纸片ABCD上剪出四个全等的直角三角形和一个正方形，设计了如图5-3-8所示的方案。若要使正方形纸片EFGH的面积最小，则AE的长为
5
。答案
4.5
解析
【分析】
我们可以通过建立二次函数模型求解最值。首先设AE的长为x，结合正方形性质和全等三角形的对应边相等，得到Rt△AEH的另一条直角边AH的长度，再通过勾股定理表示出中间正方形EFGH的面积关于x的函数，最后根据二次函数的性质求出面积最小时x的取值即可。
【解析】
设AE的长为$ x $（$ 0＜x＜10 $），
∵正方形ABCD的边长为10，且剪出的四个直角三角形全等，
∴$ AH = AD - DH = AD - AE = 10 - x $，
又
∵$ ∠ A = 90° $，在$ \mathrm{Rt}△ AEH $中，由勾股定理得：
$ EH^2 = AE^2 + AH^2 = x^2 + (10-x)^2 $，
正方形EFGH的面积$ S = EH^2 $，因此：
$ S = x^2 + (10-x)^2 = 2x^2 - 20x + 100 $，
该函数是开口向上的二次函数，对称轴为$ x = -\frac{b}{2a} = \frac{20}{2×2} = 5 $，
∴当$ x=5 $时，$ S $取得最小值，即正方形EFGH的面积最小。
【答案】
5
【知识点】
二次函数最值；勾股定理；正方形的性质
【点评】
本题是几何与代数结合的典型题目，需要合理设未知数，利用几何性质建立函数关系，再结合二次函数的性质求解，很好地考查了数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.65
我们可以通过建立二次函数模型求解最值。首先设AE的长为x，结合正方形性质和全等三角形的对应边相等，得到Rt△AEH的另一条直角边AH的长度，再通过勾股定理表示出中间正方形EFGH的面积关于x的函数，最后根据二次函数的性质求出面积最小时x的取值即可。
【解析】
设AE的长为$ x $（$ 0＜x＜10 $），
∵正方形ABCD的边长为10，且剪出的四个直角三角形全等，
∴$ AH = AD - DH = AD - AE = 10 - x $，
又
∵$ ∠ A = 90° $，在$ \mathrm{Rt}△ AEH $中，由勾股定理得：
$ EH^2 = AE^2 + AH^2 = x^2 + (10-x)^2 $，
正方形EFGH的面积$ S = EH^2 $，因此：
$ S = x^2 + (10-x)^2 = 2x^2 - 20x + 100 $，
该函数是开口向上的二次函数，对称轴为$ x = -\frac{b}{2a} = \frac{20}{2×2} = 5 $，
∴当$ x=5 $时，$ S $取得最小值，即正方形EFGH的面积最小。
【答案】
5
【知识点】
二次函数最值；勾股定理；正方形的性质
【点评】
本题是几何与代数结合的典型题目，需要合理设未知数，利用几何性质建立函数关系，再结合二次函数的性质求解，很好地考查了数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.65
5. 如图5-3-9，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度AB为80 m，离地面150 m处的水平宽度（即CD的长）为40 m，则“门”的内侧的高度MN为
图5-3-9
200
m。图5-3-9
答案
5.200
解析
【分析】
要解决抛物线型的实际问题，可通过建立平面直角坐标系转化为二次函数问题求解。首先以AB所在直线为x轴、AB的中点N为原点建系，利用抛物线关于y轴对称的特点简化计算；其次写出各已知点坐标：A(-40,0)、B(40,0)、C(-20,150)；再设抛物线的交点式解析式，代入点C的坐标求出系数；最后计算抛物线顶点的纵坐标，即为门的高度MN。
【解析】
解：以AB所在直线为x轴，AB的中点N为原点建立平面直角坐标系。
由题意可知：点A坐标为(-40,0)，点B坐标为(40,0)，点C坐标为(-20,150)。
设抛物线的解析式为$y=a(x-40)(x+40)$，将C(-20,150)代入解析式：
$\begin{aligned}150&=a×(-20-40)×(-20+40)\\150&=-1200a\\a&=-\frac{1}{8}\end{aligned}$
因此抛物线解析式为$y=-\frac{1}{8}(x-40)(x+40)=-\frac{1}{8}x^2+200$。
抛物线顶点在y轴上，当$x=0$时，$y=200$，即最高点M的纵坐标为200，故MN的高度为200m。
【答案】
200
【知识点】
二次函数的应用；待定系数法求解析式；抛物线的性质
【点评】
本题是二次函数实际应用的典型基础题，解题核心是合理建立平面直角坐标系，将实际问题转化为函数问题，再通过待定系数法求出解析式即可得到结果，重点考查学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.7
要解决抛物线型的实际问题，可通过建立平面直角坐标系转化为二次函数问题求解。首先以AB所在直线为x轴、AB的中点N为原点建系，利用抛物线关于y轴对称的特点简化计算；其次写出各已知点坐标：A(-40,0)、B(40,0)、C(-20,150)；再设抛物线的交点式解析式，代入点C的坐标求出系数；最后计算抛物线顶点的纵坐标，即为门的高度MN。
【解析】
解：以AB所在直线为x轴，AB的中点N为原点建立平面直角坐标系。
由题意可知：点A坐标为(-40,0)，点B坐标为(40,0)，点C坐标为(-20,150)。
设抛物线的解析式为$y=a(x-40)(x+40)$，将C(-20,150)代入解析式：
$\begin{aligned}150&=a×(-20-40)×(-20+40)\\150&=-1200a\\a&=-\frac{1}{8}\end{aligned}$
因此抛物线解析式为$y=-\frac{1}{8}(x-40)(x+40)=-\frac{1}{8}x^2+200$。
抛物线顶点在y轴上，当$x=0$时，$y=200$，即最高点M的纵坐标为200，故MN的高度为200m。
【答案】
200
【知识点】
二次函数的应用；待定系数法求解析式；抛物线的性质
【点评】
本题是二次函数实际应用的典型基础题，解题核心是合理建立平面直角坐标系，将实际问题转化为函数问题，再通过待定系数法求出解析式即可得到结果，重点考查学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.7
6. 某学校在校园开辟了一块劳动教育基地，如图5-3-10，一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为28 m），用长为40 m的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地ABCD，在菜地的前端BC设计了两个宽1 m的小门，便于同学们进入。设边AB的长为x m，矩形菜地ABCD的面积为S m²。
(1)用含x的代数式表示S：
(2)若围成的菜地的面积为120 m²，求此时x的值；
(3)可以围成的菜地的面积最大是多少？
图5-3-10
(1)用含x的代数式表示S：
$S=42x-3x^2$
；（不要求写出x的取值范围）(2)若围成的菜地的面积为120 m²，求此时x的值；
(3)可以围成的菜地的面积最大是多少？
图5-3-10
答案
6. 解:(1)$S=42x-3x^2$
(2)当$S=120$时,$42x-3x^2=120$,
所以$x_1=4,x_2=10$。
当$x_1=4$时,$BC=42-3x=42-12=30＞28$,不符合题意,舍去;
当$x_2=10$时,$BC=42-3x=42-30=12＜28$,符合题意。
所以$x$的值为10。
(3)因为$S=42x-3x^2=-3(x-7)^2+147,-3＜0$,
当$x=7$时,$BC=42-3x=42-21=21＜28$,所以$S$有最大值,最大值为147。
故可以围成的菜地的面积最大是$147\ \mathrm{m}^2$。
(2)当$S=120$时,$42x-3x^2=120$,
所以$x_1=4,x_2=10$。
当$x_1=4$时,$BC=42-3x=42-12=30＞28$,不符合题意,舍去;
当$x_2=10$时,$BC=42-3x=42-30=12＜28$,符合题意。
所以$x$的值为10。
(3)因为$S=42x-3x^2=-3(x-7)^2+147,-3＜0$,
当$x=7$时,$BC=42-3x=42-21=21＜28$,所以$S$有最大值,最大值为147。
故可以围成的菜地的面积最大是$147\ \mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
(1) 首先明确AB为垂直于墙的边，长度为x m，观察图形可知垂直于墙的篱笆共3段（AB、中间隔栏、DC）；BC为平行于墙的边，BC处有2个宽1m的小门无需使用篱笆，因此平行于墙的篱笆长度加上3段垂直墙的篱笆长度等于总篱笆长40m，可推出BC长度为$40+2×1-3x=42-3x$，再根据矩形面积=长×宽即可写出S关于x的表达式。
(2) 将$S=120$代入(1)的表达式得到一元二次方程，解方程得到两个解后，结合墙的最大可用长度为28m（即$BC≤28\mathrm{m}$）验证，舍去不符合实际意义的解即可。
(3) 将(1)得到的二次函数解析式配方为顶点式，结合二次项系数小于0可知抛物线开口向下，顶点处函数值最大，再验证此时BC的长度是否符合墙的长度限制，即可求出最大面积。
【解析】
(1) 由题意得，垂直于墙的3段篱笆总长度为$3x\mathrm{m}$，BC边长度为$40+2×1-3x=(42-3x)\mathrm{m}$，
因此矩形面积$S=x(42-3x)=42x-3x^2$。
(2) 当$S=120$时，代入解析式得：
$42x-3x^2=120$
整理得$x^2-14x+40=0$
因式分解得$(x-4)(x-10)=0$
解得$x_1=4$，$x_2=10$。
验证：当$x=4$时，$BC=42-3×4=30\mathrm{m}$，$30＞28$，超过墙的最大可用长度，不符合题意，舍去；
当$x=10$时，$BC=42-3×10=12\mathrm{m}$，$12＜28$，符合题意。
(3) 将$S=42x-3x^2$配方得：
$S=-3(x^2-14x)=-3(x^2-14x+49-49)=-3(x-7)^2+147$
$\because -3＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，当$x=7$时$S$取得最大值。
验证此时$BC=42-3×7=21\mathrm{m}$，$21＜28$，符合墙的长度限制，因此$S$的最大值为$147\mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) $S=42x-3x^2$
(2) $x$的值为10
(3) 可以围成的菜地的面积最大是$147\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
二次函数实际应用，一元二次方程求解，二次函数最值计算
【点评】
本题结合实际围建场景考查函数与方程的综合应用，解题时需注意结合实际限制条件对解进行取舍，能够锻炼数学建模和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
(1) 首先明确AB为垂直于墙的边，长度为x m，观察图形可知垂直于墙的篱笆共3段（AB、中间隔栏、DC）；BC为平行于墙的边，BC处有2个宽1m的小门无需使用篱笆，因此平行于墙的篱笆长度加上3段垂直墙的篱笆长度等于总篱笆长40m，可推出BC长度为$40+2×1-3x=42-3x$，再根据矩形面积=长×宽即可写出S关于x的表达式。
(2) 将$S=120$代入(1)的表达式得到一元二次方程，解方程得到两个解后，结合墙的最大可用长度为28m（即$BC≤28\mathrm{m}$）验证，舍去不符合实际意义的解即可。
(3) 将(1)得到的二次函数解析式配方为顶点式，结合二次项系数小于0可知抛物线开口向下，顶点处函数值最大，再验证此时BC的长度是否符合墙的长度限制，即可求出最大面积。
【解析】
(1) 由题意得，垂直于墙的3段篱笆总长度为$3x\mathrm{m}$，BC边长度为$40+2×1-3x=(42-3x)\mathrm{m}$，
因此矩形面积$S=x(42-3x)=42x-3x^2$。
(2) 当$S=120$时，代入解析式得：
$42x-3x^2=120$
整理得$x^2-14x+40=0$
因式分解得$(x-4)(x-10)=0$
解得$x_1=4$，$x_2=10$。
验证：当$x=4$时，$BC=42-3×4=30\mathrm{m}$，$30＞28$，超过墙的最大可用长度，不符合题意，舍去；
当$x=10$时，$BC=42-3×10=12\mathrm{m}$，$12＜28$，符合题意。
(3) 将$S=42x-3x^2$配方得：
$S=-3(x^2-14x)=-3(x^2-14x+49-49)=-3(x-7)^2+147$
$\because -3＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，当$x=7$时$S$取得最大值。
验证此时$BC=42-3×7=21\mathrm{m}$，$21＜28$，符合墙的长度限制，因此$S$的最大值为$147\mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) $S=42x-3x^2$
(2) $x$的值为10
(3) 可以围成的菜地的面积最大是$147\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
二次函数实际应用，一元二次方程求解，二次函数最值计算
【点评】
本题结合实际围建场景考查函数与方程的综合应用，解题时需注意结合实际限制条件对解进行取舍，能够锻炼数学建模和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
7. 在如图5-3-11所示的平面直角坐标系中，有一斜坡OA，从点O处抛出一个小球，落到点$A(3,\dfrac{3}{2})$处。小球在空中所经过的路线是抛物线$y=-x^2+bx$的一部分。
(1)求$b$的值；
(2)求抛物线最高点的坐标；
(3)已知小球自带一个红外线发射器，竖直向下发射一束红外线，照射到斜坡OA上，求小球飞行过程中这束红外线的最大长度。
(1)求$b$的值；
(2)求抛物线最高点的坐标；
(3)已知小球自带一个红外线发射器，竖直向下发射一束红外线，照射到斜坡OA上，求小球飞行过程中这束红外线的最大长度。
答案
7. 解:(1)因为点$A(3,\dfrac{3}{2})$是抛物线$y=-x^2+bx$上一点,
所以$\dfrac{3}{2}=-9+3b$,所以$b=\dfrac{7}{2}$。
(2)因为$y=-x^2+\dfrac{7}{2}x=-(x-\dfrac{7}{4})^2+\dfrac{49}{16}$,
所以抛物线最高点的坐标为$(\dfrac{7}{4},\dfrac{49}{16})$。
(3)易得直线OA的表达式为$y=\dfrac{1}{2}x$。
设这束红外线从小球到斜坡的长度为$l$,则$l=-x^2+\dfrac{7}{2}x-\dfrac{1}{2}x=-x^2+3x=-(x-\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{9}{4}$。
因为$-1＜0,0＜\dfrac{3}{2}＜3$,所以小球飞行过程中这束红外线的最大长度为$\dfrac{9}{4}\ \mathrm{m}$。
所以$\dfrac{3}{2}=-9+3b$,所以$b=\dfrac{7}{2}$。
(2)因为$y=-x^2+\dfrac{7}{2}x=-(x-\dfrac{7}{4})^2+\dfrac{49}{16}$,
所以抛物线最高点的坐标为$(\dfrac{7}{4},\dfrac{49}{16})$。
(3)易得直线OA的表达式为$y=\dfrac{1}{2}x$。
设这束红外线从小球到斜坡的长度为$l$,则$l=-x^2+\dfrac{7}{2}x-\dfrac{1}{2}x=-x^2+3x=-(x-\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{9}{4}$。
因为$-1＜0,0＜\dfrac{3}{2}＜3$,所以小球飞行过程中这束红外线的最大长度为$\dfrac{9}{4}\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
(1) 函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式，已知点A在抛物线上，将A点坐标代入抛物线解析式，得到关于b的一元一次方程，解方程即可求出b的值。
(2) 该抛物线二次项系数为负，开口向下，顶点就是最高点，将求出b后的抛物线解析式配方为顶点式，即可直接得到最高点的坐标。
(3) 先利用待定系数法求出斜坡OA对应的一次函数解析式；竖直向下的红外线长度等于同一横坐标下，抛物线纵坐标减去直线OA的纵坐标，据此列出长度关于x的二次函数表达式，再结合x的取值范围，根据二次函数的性质求最大值即可。
【解析】
(1) $\because$ 点$A(3,\dfrac{3}{2})$在抛物线$y=-x^2+bx$上，将坐标代入解析式得：
$\dfrac{3}{2}=-3^2 + 3b$
即$\dfrac{3}{2}=-9 + 3b$，
解得$b=\dfrac{7}{2}$。
(2) 将$b=\dfrac{7}{2}$代入抛物线解析式得$y=-x^2+\dfrac{7}{2}x$，配方得：
$y=-(x^2 - \dfrac{7}{2}x)=-(x-\dfrac{7}{4})^2 + \dfrac{49}{16}$
$\because$ 二次项系数$-1＜0$，抛物线开口向下，顶点为最高点，
$\therefore$ 抛物线最高点的坐标为$(\dfrac{7}{4},\dfrac{49}{16})$。
(3) 设直线OA的解析式为$y=kx$（$k≠0$），将$A(3,\dfrac{3}{2})$代入得：
$\dfrac{3}{2}=3k$，解得$k=\dfrac{1}{2}$，即直线OA的解析式为$y=\dfrac{1}{2}x$。
设红外线的长度为$l$，则同一横坐标下$l=y_{\mathrm{抛物线}}-y_{\mathrm{直线}OA}$，即：
$l=(-x^2+\dfrac{7}{2}x) - \dfrac{1}{2}x = -x^2 + 3x$
将$l$的表达式配方得：$l=-(x-\dfrac{3}{2})^2 + \dfrac{9}{4}$，
$\because$ 二次项系数$-1＜0$，且$x=\dfrac{3}{2}$在小球飞行的横坐标范围$0≤x≤3$内，
$\therefore$ 当$x=\dfrac{3}{2}$时，$l$取得最大值$\dfrac{9}{4}\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $b=\dfrac{7}{2}$
(2) $(\dfrac{7}{4},\dfrac{49}{16})$
(3) $\dfrac{9}{4}\ \mathrm{m}$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数的图象与性质；二次函数最值应用
【点评】
本题属于二次函数与一次函数结合的综合应用题，既考察了函数解析式的求解方法，也考察了二次函数最值在实际问题中的应用，解题关键是理解竖直方向线段长度的计算逻辑，熟练掌握二次函数顶点式的转化和最值的求法。
【难度系数】
0.65
(1) 函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式，已知点A在抛物线上，将A点坐标代入抛物线解析式，得到关于b的一元一次方程，解方程即可求出b的值。
(2) 该抛物线二次项系数为负，开口向下，顶点就是最高点，将求出b后的抛物线解析式配方为顶点式，即可直接得到最高点的坐标。
(3) 先利用待定系数法求出斜坡OA对应的一次函数解析式；竖直向下的红外线长度等于同一横坐标下，抛物线纵坐标减去直线OA的纵坐标，据此列出长度关于x的二次函数表达式，再结合x的取值范围，根据二次函数的性质求最大值即可。
【解析】
(1) $\because$ 点$A(3,\dfrac{3}{2})$在抛物线$y=-x^2+bx$上，将坐标代入解析式得：
$\dfrac{3}{2}=-3^2 + 3b$
即$\dfrac{3}{2}=-9 + 3b$，
解得$b=\dfrac{7}{2}$。
(2) 将$b=\dfrac{7}{2}$代入抛物线解析式得$y=-x^2+\dfrac{7}{2}x$，配方得：
$y=-(x^2 - \dfrac{7}{2}x)=-(x-\dfrac{7}{4})^2 + \dfrac{49}{16}$
$\because$ 二次项系数$-1＜0$，抛物线开口向下，顶点为最高点，
$\therefore$ 抛物线最高点的坐标为$(\dfrac{7}{4},\dfrac{49}{16})$。
(3) 设直线OA的解析式为$y=kx$（$k≠0$），将$A(3,\dfrac{3}{2})$代入得：
$\dfrac{3}{2}=3k$，解得$k=\dfrac{1}{2}$，即直线OA的解析式为$y=\dfrac{1}{2}x$。
设红外线的长度为$l$，则同一横坐标下$l=y_{\mathrm{抛物线}}-y_{\mathrm{直线}OA}$，即：
$l=(-x^2+\dfrac{7}{2}x) - \dfrac{1}{2}x = -x^2 + 3x$
将$l$的表达式配方得：$l=-(x-\dfrac{3}{2})^2 + \dfrac{9}{4}$，
$\because$ 二次项系数$-1＜0$，且$x=\dfrac{3}{2}$在小球飞行的横坐标范围$0≤x≤3$内，
$\therefore$ 当$x=\dfrac{3}{2}$时，$l$取得最大值$\dfrac{9}{4}\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $b=\dfrac{7}{2}$
(2) $(\dfrac{7}{4},\dfrac{49}{16})$
(3) $\dfrac{9}{4}\ \mathrm{m}$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数的图象与性质；二次函数最值应用
【点评】
本题属于二次函数与一次函数结合的综合应用题，既考察了函数解析式的求解方法，也考察了二次函数最值在实际问题中的应用，解题关键是理解竖直方向线段长度的计算逻辑，熟练掌握二次函数顶点式的转化和最值的求法。
【难度系数】
0.65
