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8. 如图5-3-4，将小球(看作一点)从点O的正上方3 m的点A处抛出，其运行的高度 y(m)与运行的水平距离 x(m)满足关系式：$y=-\dfrac{1}{4}x^2+bx+c$。
(1)当小球运行的水平距离为1 m时，小球达到最大高度，求小球达到的最大高度；
(2)若小球的正前方4 m(OC=4 m)处有一个截面为矩形的球筐 CDEF，其中 CD=2 m，DE=1 m，若要使小球落入筐(小球落在点 E 或点 F 处均视为入筐)中，求 b 的取值范围。
图5-3-4
(1)当小球运行的水平距离为1 m时，小球达到最大高度，求小球达到的最大高度；
(2)若小球的正前方4 m(OC=4 m)处有一个截面为矩形的球筐 CDEF，其中 CD=2 m，DE=1 m，若要使小球落入筐(小球落在点 E 或点 F 处均视为入筐)中，求 b 的取值范围。
图5-3-4
答案
8. 解:(1)
∵小球运动的水平距离为 1 m 时,小球达到最大高度,
∴抛物线的对称轴为直线 x=1。
∴$-\dfrac{b}{2×(-\dfrac{1}{4})}=1$,
解得 $b=\dfrac{1}{2}$。
由题意得,抛物线上点 A 的坐标为(0,3)。
∴c=3。
∴抛物线的表达式为 $y=-\dfrac{1}{4}x^2+\dfrac{1}{2}x+3$。
当 x=1 时,$y=-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}+3=\dfrac{13}{4}$。
故小球达到的最大高度为 $\dfrac{13}{4}\mathrm{m}$。
(2)由题意得,点 F 的坐标为(4,1),点 E 的坐标为(6,1)。
∵抛物线上点 A 的坐标为(0,3)，
∴c=3。
∴抛物线的表达式为 $y=-\dfrac{1}{4}x^2+bx+3$。
①若抛物线经过点(4,1),则 $-\dfrac{1}{4}×4^2+4b+3=1$,
解得 $b=\dfrac{1}{2}$。
②若抛物线经过点(6,1),则 $-\dfrac{1}{4}×6^2+6b+3=1$,
解得 $b=\dfrac{7}{6}$。
∴要使小球落入筐中,b 的取值范围为 $\dfrac{1}{2}≤ b≤\dfrac{7}{6}$。
∵小球运动的水平距离为 1 m 时,小球达到最大高度,
∴抛物线的对称轴为直线 x=1。
∴$-\dfrac{b}{2×(-\dfrac{1}{4})}=1$,
解得 $b=\dfrac{1}{2}$。
由题意得,抛物线上点 A 的坐标为(0,3)。
∴c=3。
∴抛物线的表达式为 $y=-\dfrac{1}{4}x^2+\dfrac{1}{2}x+3$。
当 x=1 时,$y=-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}+3=\dfrac{13}{4}$。
故小球达到的最大高度为 $\dfrac{13}{4}\mathrm{m}$。
(2)由题意得,点 F 的坐标为(4,1),点 E 的坐标为(6,1)。
∵抛物线上点 A 的坐标为(0,3)，
∴c=3。
∴抛物线的表达式为 $y=-\dfrac{1}{4}x^2+bx+3$。
①若抛物线经过点(4,1),则 $-\dfrac{1}{4}×4^2+4b+3=1$,
解得 $b=\dfrac{1}{2}$。
②若抛物线经过点(6,1),则 $-\dfrac{1}{4}×6^2+6b+3=1$,
解得 $b=\dfrac{7}{6}$。
∴要使小球落入筐中,b 的取值范围为 $\dfrac{1}{2}≤ b≤\dfrac{7}{6}$。
解析
【分析】
(1) 小球达到最大高度时对应抛物线的顶点，顶点横坐标就是抛物线的对称轴，先利用抛物线对称轴公式求出b的值，再结合A点坐标求出c的值，得到完整的抛物线解析式，最后将对称轴对应的x值代入解析式就能求出最大高度。
(2) 首先确定球筐的两个边界点F、E的坐标，已知A点坐标可直接得到c=3，因此抛物线解析式可简化为仅含参数b的形式；要使小球落入筐中，即小球在x=4到x=6的区间内高度为1，分别将F、E两点坐标代入解析式求出对应的b值，即可得到b的取值范围。
【解析】
(1) 由题意可知，小球运行到最大高度时水平距离为1m，即抛物线的对称轴为直线$x=1$。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴公式为$x=-\dfrac{b}{2a}$，本题中$a=-\dfrac{1}{4}$，代入得：
$-\dfrac{b}{2×(-\dfrac{1}{4})}=1$，解得$b=\dfrac{1}{2}$。
已知点A在O点正上方3m处，即A点坐标为$(0,3)$，将$x=0,y=3$代入解析式得$c=3$。
因此抛物线的表达式为$y=-\dfrac{1}{4}x^2+\dfrac{1}{2}x+3$。
将$x=1$代入解析式计算最大高度：
$y=-\dfrac{1}{4}×1^2+\dfrac{1}{2}×1+3=\dfrac{13}{4}$。
(2) 由题意得，$OC=4\mathrm{m}$，$CD=2\mathrm{m}$，$DE=1\mathrm{m}$，因此F点坐标为$(4,1)$，E点坐标为$(6,1)$。
由A点坐标$(0,3)$可得$c=3$，因此抛物线解析式为$y=-\dfrac{1}{4}x^2+bx+3$。
① 若抛物线经过点$F(4,1)$，代入得：
$-\dfrac{1}{4}×4^2+4b+3=1$，解得$b=\dfrac{1}{2}$。
② 若抛物线经过点$E(6,1)$，代入得：
$-\dfrac{1}{4}×6^2+6b+3=1$，解得$b=\dfrac{7}{6}$。
因此要使小球落入筐中，b的取值范围为$\dfrac{1}{2}\le b\le\dfrac{7}{6}$。
【答案】
(1) $\dfrac{13}{4}\mathrm{m}$；(2) $\dfrac{1}{2}≤ b≤\dfrac{7}{6}$
【知识点】
二次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数实际应用
【点评】
本题将抛体运动和二次函数结合考查，解题关键是把实际场景的条件转化为二次函数的点坐标、对称轴等数学属性，通过代入计算求解参数，既巩固了二次函数的基础性质，也锻炼了实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 小球达到最大高度时对应抛物线的顶点，顶点横坐标就是抛物线的对称轴，先利用抛物线对称轴公式求出b的值，再结合A点坐标求出c的值，得到完整的抛物线解析式，最后将对称轴对应的x值代入解析式就能求出最大高度。
(2) 首先确定球筐的两个边界点F、E的坐标，已知A点坐标可直接得到c=3，因此抛物线解析式可简化为仅含参数b的形式；要使小球落入筐中，即小球在x=4到x=6的区间内高度为1，分别将F、E两点坐标代入解析式求出对应的b值，即可得到b的取值范围。
【解析】
(1) 由题意可知，小球运行到最大高度时水平距离为1m，即抛物线的对称轴为直线$x=1$。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴公式为$x=-\dfrac{b}{2a}$，本题中$a=-\dfrac{1}{4}$，代入得：
$-\dfrac{b}{2×(-\dfrac{1}{4})}=1$，解得$b=\dfrac{1}{2}$。
已知点A在O点正上方3m处，即A点坐标为$(0,3)$，将$x=0,y=3$代入解析式得$c=3$。
因此抛物线的表达式为$y=-\dfrac{1}{4}x^2+\dfrac{1}{2}x+3$。
将$x=1$代入解析式计算最大高度：
$y=-\dfrac{1}{4}×1^2+\dfrac{1}{2}×1+3=\dfrac{13}{4}$。
(2) 由题意得，$OC=4\mathrm{m}$，$CD=2\mathrm{m}$，$DE=1\mathrm{m}$，因此F点坐标为$(4,1)$，E点坐标为$(6,1)$。
由A点坐标$(0,3)$可得$c=3$，因此抛物线解析式为$y=-\dfrac{1}{4}x^2+bx+3$。
① 若抛物线经过点$F(4,1)$，代入得：
$-\dfrac{1}{4}×4^2+4b+3=1$，解得$b=\dfrac{1}{2}$。
② 若抛物线经过点$E(6,1)$，代入得：
$-\dfrac{1}{4}×6^2+6b+3=1$，解得$b=\dfrac{7}{6}$。
因此要使小球落入筐中，b的取值范围为$\dfrac{1}{2}\le b\le\dfrac{7}{6}$。
【答案】
(1) $\dfrac{13}{4}\mathrm{m}$；(2) $\dfrac{1}{2}≤ b≤\dfrac{7}{6}$
【知识点】
二次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数实际应用
【点评】
本题将抛体运动和二次函数结合考查，解题关键是把实际场景的条件转化为二次函数的点坐标、对称轴等数学属性，通过代入计算求解参数，既巩固了二次函数的基础性质，也锻炼了实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
二、拓展性作业
9. 如图5-3-5，抛物线$C_1$：$y=x^2+2x-3$与抛物线$C_2$：$y=ax^2+bx+c$组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线$C_1$和抛物线$C_2$与x轴有着相同的交点A，B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为点C，D。如果$BD=CD$，那么抛物线$C_2$的表达式是
9. 如图5-3-5，抛物线$C_1$：$y=x^2+2x-3$与抛物线$C_2$：$y=ax^2+bx+c$组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线$C_1$和抛物线$C_2$与x轴有着相同的交点A，B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为点C，D。如果$BD=CD$，那么抛物线$C_2$的表达式是
$y=\dfrac{4}{9}x^2+\dfrac{8}{9}x-\dfrac{4}{3}$
。答案
9. $y=\dfrac{4}{9}x^2+\dfrac{8}{9}x-\dfrac{4}{3}$
解析
【分析】
解题思路如下：第一步先求抛物线$C_1$与坐标轴的交点，两条抛物线都过x轴上的A、B点，令$C_1$的$y=0$解方程即可得到A、B坐标；再令$x=0$代入$C_1$解析式得到它与y轴交点C的坐标。第二步根据$BD=CD$的条件，设$C_2$与y轴交点D的坐标为$(0,c)$，利用两点距离公式列方程求出$c$的值，也就是$C_2$解析式的常数项。第三步因为$C_2$过A、B两点，用交点式设出$C_2$的解析式，代入D点坐标求出二次项系数$a$，最后整理为一般式即可。
【解析】
1. 求A、B两点坐标
令$y=x^2+2x-3=0$，因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=1$
因为点B在点A右侧，所以$A(-3,0)$，$B(1,0)$
2. 求C点坐标
令$x=0$，代入$C_1$解析式得$y=-3$，所以$C(0,-3)$
3. 求D点坐标
设$D(0,c)$，则$CD=|c-(-3)|=|c+3|$，由两点距离公式得$BD=\sqrt{(1-0)^2+(0-c)^2}=\sqrt{1+c^2}$
因为$BD=CD$，两边平方得：$(c+3)^2=1+c^2$
展开化简得$6c=-8$，解得$c=-\frac{4}{3}$，即$D(0,-\frac{4}{3})$
4. 求$C_2$的解析式
因为$C_2$过$A(-3,0)$、$B(1,0)$，设$C_2$的解析式为$y=a(x+3)(x-1)(a≠0)$
将$D(0,-\frac{4}{3})$代入得：$-3a=-\frac{4}{3}$，解得$a=\frac{4}{9}$
展开整理得：$y=\frac{4}{9}(x+3)(x-1)=\frac{4}{9}x^2+\frac{8}{9}x-\frac{4}{3}$
【答案】
$y=\dfrac{4}{9}x^2+\dfrac{8}{9}x-\dfrac{4}{3}$
【知识点】
二次函数解析式求解，两点间距离公式，二次函数交点式
【点评】
本题是二次函数的基础应用题型，解题核心是利用公共交点简化未知抛物线的解析式设定，结合线段相等的几何条件求出未知系数，计算过程难度不高，需要注意代入求值时的符号问题。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步先求抛物线$C_1$与坐标轴的交点，两条抛物线都过x轴上的A、B点，令$C_1$的$y=0$解方程即可得到A、B坐标；再令$x=0$代入$C_1$解析式得到它与y轴交点C的坐标。第二步根据$BD=CD$的条件，设$C_2$与y轴交点D的坐标为$(0,c)$，利用两点距离公式列方程求出$c$的值，也就是$C_2$解析式的常数项。第三步因为$C_2$过A、B两点，用交点式设出$C_2$的解析式，代入D点坐标求出二次项系数$a$，最后整理为一般式即可。
【解析】
1. 求A、B两点坐标
令$y=x^2+2x-3=0$，因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=1$
因为点B在点A右侧，所以$A(-3,0)$，$B(1,0)$
2. 求C点坐标
令$x=0$，代入$C_1$解析式得$y=-3$，所以$C(0,-3)$
3. 求D点坐标
设$D(0,c)$，则$CD=|c-(-3)|=|c+3|$，由两点距离公式得$BD=\sqrt{(1-0)^2+(0-c)^2}=\sqrt{1+c^2}$
因为$BD=CD$，两边平方得：$(c+3)^2=1+c^2$
展开化简得$6c=-8$，解得$c=-\frac{4}{3}$，即$D(0,-\frac{4}{3})$
4. 求$C_2$的解析式
因为$C_2$过$A(-3,0)$、$B(1,0)$，设$C_2$的解析式为$y=a(x+3)(x-1)(a≠0)$
将$D(0,-\frac{4}{3})$代入得：$-3a=-\frac{4}{3}$，解得$a=\frac{4}{9}$
展开整理得：$y=\frac{4}{9}(x+3)(x-1)=\frac{4}{9}x^2+\frac{8}{9}x-\frac{4}{3}$
【答案】
$y=\dfrac{4}{9}x^2+\dfrac{8}{9}x-\dfrac{4}{3}$
【知识点】
二次函数解析式求解，两点间距离公式，二次函数交点式
【点评】
本题是二次函数的基础应用题型，解题核心是利用公共交点简化未知抛物线的解析式设定，结合线段相等的几何条件求出未知系数，计算过程难度不高，需要注意代入求值时的符号问题。
【难度系数】
0.7
10. 我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”。如图5-3-6①，点A，B，C，D是“蛋圆”与坐标轴的交点。已知点D的坐标为(0,−3)，AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为(1,0)，半圆半径为2。
(1)请你求出“蛋圆”抛物线部分的表达式，并写出自变量的取值范围；
(2)如图5-3-6②，将图中“蛋圆”整体向上平移，并使得抛物线的顶点与点(1,−2)重合，从而形成一个“络腮胡的男子”的人物形象，求这个人物形象“络腮胡”部分(阴影部分)的面积。
图5-3-6
(1)请你求出“蛋圆”抛物线部分的表达式，并写出自变量的取值范围；
(2)如图5-3-6②，将图中“蛋圆”整体向上平移，并使得抛物线的顶点与点(1,−2)重合，从而形成一个“络腮胡的男子”的人物形象，求这个人物形象“络腮胡”部分(阴影部分)的面积。
图5-3-6
答案
10. 解:(1)根据题意可得 A(-1,0),B(3,0)，
则设抛物线的表达式为 y=a(x+1)(x-3)。
∵点 D(0,-3)在抛物线上，
∴a(0+1)×(0-3)=-3，
解得 a=1。
∴y=x²-2x-3，
自变量 x 的取值范围为 -1≤x≤3。
(2)由(1)可求得抛物线 y=x²-2x-3 的顶点坐标为(1,-4)，
由此可知抛物线需要向上平移 2 个单位长度，
阴影部分的面积等价于一个长为4、宽为2的矩形面积，
即阴影部分的面积为 8。
则设抛物线的表达式为 y=a(x+1)(x-3)。
∵点 D(0,-3)在抛物线上，
∴a(0+1)×(0-3)=-3，
解得 a=1。
∴y=x²-2x-3，
自变量 x 的取值范围为 -1≤x≤3。
(2)由(1)可求得抛物线 y=x²-2x-3 的顶点坐标为(1,-4)，
由此可知抛物线需要向上平移 2 个单位长度，
阴影部分的面积等价于一个长为4、宽为2的矩形面积，
即阴影部分的面积为 8。
解析
【分析】
(1) 首先根据半圆的圆心坐标和半径求出A、B两点的坐标：半圆圆心M(1,0)，半径为2，因此A点横坐标为1-2=-1，B点横坐标为1+2=3，即A(-1,0)、B(3,0)。已知抛物线与x轴交于A、B两点，优先选择交点式设抛物线解析式，再代入D点坐标求出参数a，最后结合“蛋圆”的范围确定自变量x的取值区间。
(2) 先将(1)得到的抛物线解析式化为顶点式，求出原抛物线顶点坐标，对比平移后的顶点坐标得到向上平移的距离。阴影为不规则图形，利用平移的性质，通过割补法可将阴影面积等效为长为AB长度、宽为平移距离的矩形面积，计算矩形面积即可得到结果。
【解析】
(1) 由半圆圆心M(1,0)、半径为2，可得A(-1,0)，B(3,0)。
设抛物线的表达式为$y=a(x+1)(x-3)$，
将$D(0,-3)$代入解析式，得：$a(0+1)×(0-3)=-3$，
解得$a=1$，
因此抛物线表达式为$y=(x+1)(x-3)=x^2-2x-3$，
结合“蛋圆”的范围，自变量x的取值范围为$-1≤ x≤3$。
(2) 将抛物线解析式化为顶点式：$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$，
可得原抛物线顶点坐标为$(1,-4)$，
平移后顶点为$(1,-2)$，因此图形向上平移了$|-2-(-4)|=2$个单位长度，
AB的长度为$3-(-1)=4$，
根据平移的性质，阴影面积等效为长为4、宽为2的矩形面积，
因此阴影面积$S=4×2=8$。
【答案】
(1) 抛物线表达式为$\boldsymbol{y=x^2-2x-3}$，自变量取值范围为$\boldsymbol{-1≤ x≤3}$；
(2) 阴影部分面积为$\boldsymbol{8}$。
【知识点】
二次函数解析式求解；图形平移的性质；割补法求面积
【点评】
本题结合新定义考查二次函数的基本应用与不规则图形面积的计算，解题核心是灵活运用交点式求二次函数解析式，以及通过转化思想将不规则阴影面积转化为规则图形面积计算。
【难度系数】
0.7
(1) 首先根据半圆的圆心坐标和半径求出A、B两点的坐标：半圆圆心M(1,0)，半径为2，因此A点横坐标为1-2=-1，B点横坐标为1+2=3，即A(-1,0)、B(3,0)。已知抛物线与x轴交于A、B两点，优先选择交点式设抛物线解析式，再代入D点坐标求出参数a，最后结合“蛋圆”的范围确定自变量x的取值区间。
(2) 先将(1)得到的抛物线解析式化为顶点式，求出原抛物线顶点坐标，对比平移后的顶点坐标得到向上平移的距离。阴影为不规则图形，利用平移的性质，通过割补法可将阴影面积等效为长为AB长度、宽为平移距离的矩形面积，计算矩形面积即可得到结果。
【解析】
(1) 由半圆圆心M(1,0)、半径为2，可得A(-1,0)，B(3,0)。
设抛物线的表达式为$y=a(x+1)(x-3)$，
将$D(0,-3)$代入解析式，得：$a(0+1)×(0-3)=-3$，
解得$a=1$，
因此抛物线表达式为$y=(x+1)(x-3)=x^2-2x-3$，
结合“蛋圆”的范围，自变量x的取值范围为$-1≤ x≤3$。
(2) 将抛物线解析式化为顶点式：$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$，
可得原抛物线顶点坐标为$(1,-4)$，
平移后顶点为$(1,-2)$，因此图形向上平移了$|-2-(-4)|=2$个单位长度，
AB的长度为$3-(-1)=4$，
根据平移的性质，阴影面积等效为长为4、宽为2的矩形面积，
因此阴影面积$S=4×2=8$。
【答案】
(1) 抛物线表达式为$\boldsymbol{y=x^2-2x-3}$，自变量取值范围为$\boldsymbol{-1≤ x≤3}$；
(2) 阴影部分面积为$\boldsymbol{8}$。
【知识点】
二次函数解析式求解；图形平移的性质；割补法求面积
【点评】
本题结合新定义考查二次函数的基本应用与不规则图形面积的计算，解题核心是灵活运用交点式求二次函数解析式，以及通过转化思想将不规则阴影面积转化为规则图形面积计算。
【难度系数】
0.7
