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一、基础性作业
1. 如图5-3-1所示的抛物线是二次函数 $y = ax^2 + 5x + 4 - a^2$ 的图象，那么 $a$ 的值是（
A.2
B.$-2$
C.$-\dfrac{5}{2}$
D.$\pm2$
1. 如图5-3-1所示的抛物线是二次函数 $y = ax^2 + 5x + 4 - a^2$ 的图象，那么 $a$ 的值是（
B
）。A.2
B.$-2$
C.$-\dfrac{5}{2}$
D.$\pm2$
答案
1. B
解析
【分析】
解题时首先观察抛物线图像可得到两个关键信息：一是抛物线经过原点$(0,0)$，二是抛物线开口向下。首先将原点坐标代入二次函数解析式，可求出a的初步取值，再结合开口向下对应二次项系数小于0的性质，筛选出符合要求的a值即可。
【解析】
1. 代入原点坐标求a的初步取值
因为抛物线过原点$(0,0)$，将$x=0,y=0$代入$y = ax^2 + 5x + 4 - a^2$，可得：
$0=0+0+4-a^2$
整理得$a^2=4$，解得$a=2$或$a=-2$。
2. 结合开口方向筛选a的取值
由抛物线开口向下可知，二次项系数$a＜0$，$a=2$不符合要求，舍去，故$a=-2$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数基础题，解题核心是从图象中提取有效信息，结合函数解析式的性质计算，难度较低，主要考察对二次函数基本性质的掌握程度。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察抛物线图像可得到两个关键信息：一是抛物线经过原点$(0,0)$，二是抛物线开口向下。首先将原点坐标代入二次函数解析式，可求出a的初步取值，再结合开口向下对应二次项系数小于0的性质，筛选出符合要求的a值即可。
【解析】
1. 代入原点坐标求a的初步取值
因为抛物线过原点$(0,0)$，将$x=0,y=0$代入$y = ax^2 + 5x + 4 - a^2$，可得：
$0=0+0+4-a^2$
整理得$a^2=4$，解得$a=2$或$a=-2$。
2. 结合开口方向筛选a的取值
由抛物线开口向下可知，二次项系数$a＜0$，$a=2$不符合要求，舍去，故$a=-2$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数基础题，解题核心是从图象中提取有效信息，结合函数解析式的性质计算，难度较低，主要考察对二次函数基本性质的掌握程度。
【难度系数】
0.8
2. 若$y=ax^2+bx+c$，则由表5-3-1中信息可知$y$与$x$之间的关系式是（$\quad\quad$）。
表5-3-1
A.$y=x^2-4x+3$
B.$y=x^2-3x+4$
C.$y=x^2-3x+3$
D.$y=x^2-4x+8$
表5-3-1
A.$y=x^2-4x+3$
B.$y=x^2-3x+4$
C.$y=x^2-3x+3$
D.$y=x^2-4x+8$
答案
2. A
解析
【分析】
本题可通过待定系数法求解二次函数的解析式，解题思路如下：首先利用表格中x=1时$ax^2$的取值求出参数a；再利用x=0时二次函数的取值求出常数项c；最后将求出的a、c和x=-1对应的函数值代入解析式，求出参数b，即可得到完整的函数关系式，对应选项选出答案。
【解析】
步骤1：求参数a的值
当x=1时，代入$ax^2$可得：$a×1^2=a=1$，即$a=1$。
步骤2：求参数c的值
当x=0时，代入二次函数$y=ax^2+bx+c$可得：$y=0+0+c=c$，由表格可知x=0时$y=3$，因此$c=3$。
步骤3：求参数b的值
将$a=1$、$c=3$，以及$x=-1$时$y=8$代入$y=ax^2+bx+c$，得：
$(-1)^2 + b×(-1) + 3 = 8$
化简计算：$1 - b + 3 = 8$，即$4 - b = 8$，解得$b=-4$。
步骤4：得到函数关系式
将$a=1$、$b=-4$、$c=3$代入，得$y=x^2-4x+3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数代入求值
【点评】
本题属于二次函数的基础题型，主要考查利用待定系数法求解函数解析式，解题时优先选取x=0这类能直接求出部分参数的特殊点代入，可有效简化计算过程。
【难度系数】
0.8
本题可通过待定系数法求解二次函数的解析式，解题思路如下：首先利用表格中x=1时$ax^2$的取值求出参数a；再利用x=0时二次函数的取值求出常数项c；最后将求出的a、c和x=-1对应的函数值代入解析式，求出参数b，即可得到完整的函数关系式，对应选项选出答案。
【解析】
步骤1：求参数a的值
当x=1时，代入$ax^2$可得：$a×1^2=a=1$，即$a=1$。
步骤2：求参数c的值
当x=0时，代入二次函数$y=ax^2+bx+c$可得：$y=0+0+c=c$，由表格可知x=0时$y=3$，因此$c=3$。
步骤3：求参数b的值
将$a=1$、$c=3$，以及$x=-1$时$y=8$代入$y=ax^2+bx+c$，得：
$(-1)^2 + b×(-1) + 3 = 8$
化简计算：$1 - b + 3 = 8$，即$4 - b = 8$，解得$b=-4$。
步骤4：得到函数关系式
将$a=1$、$b=-4$、$c=3$代入，得$y=x^2-4x+3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数代入求值
【点评】
本题属于二次函数的基础题型，主要考查利用待定系数法求解函数解析式，解题时优先选取x=0这类能直接求出部分参数的特殊点代入，可有效简化计算过程。
【难度系数】
0.8
3. 对称轴为直线 $ x=-2 $，顶点在 $ x $ 轴上，并与 $ y $ 轴交于点 $ (0,-4) $ 的抛物线的表达式为
$y=-(x+2)^2$
。答案
3. $y=-(x+2)^2$
解析
【分析】
已知抛物线的对称轴和顶点位置，优先选择二次函数顶点式求解：①首先根据对称轴为直线$x=-2$且顶点在$x$轴上，可确定顶点坐标为$(-2,0)$；②设二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），将顶点坐标代入即可简化解析式，仅含未知参数$a$；③再将抛物线与$y$轴的交点坐标代入解析式，求解得到$a$的值，即可确定最终的抛物线表达式。
【解析】
∵ 抛物线的对称轴为直线$x=-2$，且顶点在$x$轴上
∴ 抛物线的顶点坐标为$(-2, 0)$
设抛物线的表达式为顶点式：$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$，$(h,k)$为顶点坐标）
将$h=-2$，$k=0$代入，得：$y=a(x+2)^2$
∵ 抛物线与$y$轴交于点$(0,-4)$
将$x=0$，$y=-4$代入$y=a(x+2)^2$，得：
$-4=a×(0+2)^2$
即$4a=-4$，解得$a=-1$
将$a=-1$代入顶点式，得抛物线表达式为：$y=-(x+2)^2$
【答案】
$y=-(x+2)^2$
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数顶点与对称轴；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查二次函数解析式的求解，解题关键是根据已知条件选择合适的解析式形式，本题给出顶点相关信息，选用顶点式可大幅简化计算，是求解二次函数解析式的常用方法。
【难度系数】
0.8
已知抛物线的对称轴和顶点位置，优先选择二次函数顶点式求解：①首先根据对称轴为直线$x=-2$且顶点在$x$轴上，可确定顶点坐标为$(-2,0)$；②设二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），将顶点坐标代入即可简化解析式，仅含未知参数$a$；③再将抛物线与$y$轴的交点坐标代入解析式，求解得到$a$的值，即可确定最终的抛物线表达式。
【解析】
∵ 抛物线的对称轴为直线$x=-2$，且顶点在$x$轴上
∴ 抛物线的顶点坐标为$(-2, 0)$
设抛物线的表达式为顶点式：$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$，$(h,k)$为顶点坐标）
将$h=-2$，$k=0$代入，得：$y=a(x+2)^2$
∵ 抛物线与$y$轴交于点$(0,-4)$
将$x=0$，$y=-4$代入$y=a(x+2)^2$，得：
$-4=a×(0+2)^2$
即$4a=-4$，解得$a=-1$
将$a=-1$代入顶点式，得抛物线表达式为：$y=-(x+2)^2$
【答案】
$y=-(x+2)^2$
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数顶点与对称轴；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查二次函数解析式的求解，解题关键是根据已知条件选择合适的解析式形式，本题给出顶点相关信息，选用顶点式可大幅简化计算，是求解二次函数解析式的常用方法。
【难度系数】
0.8
4. 水幕电影是通过高压水泵和特制水幕发生器，将水自下而上高速喷出，雾化后形成水幕，然后由专用放映机将特制的录像带投射在水幕上。如图5-3-2，水嘴喷出的水柱的最高点为P，AB=2 m，BP=9 m，水嘴高AD=5 m，则水柱落地点C到水嘴所在墙的距离AC是
5
m。答案
4. 5
解析
【分析】
这是一道二次函数的实际应用问题，解题时先合理建立平面直角坐标系简化计算：以B为坐标原点，水平方向AC所在直线为x轴，竖直方向BP所在直线为y轴建立坐标系。已知抛物线顶点为P，可先设顶点式的二次函数解析式，再代入水嘴顶端D的坐标求出解析式，最后令函数值y=0求出落地点C的横坐标，即可计算AC的长度。
【解析】
解：以点B为原点，AC所在直线为x轴，BP所在直线为y轴建立平面直角坐标系。
由题意可知，抛物线顶点P的坐标为(0,9)，故设抛物线的解析式为$ y=ax^2+9(a≠0) $。
已知AB=2m，AD=5m，因此水嘴顶端D的坐标为(-2,5)，将D(-2,5)代入解析式得：
$ 5 = a×(-2)^2 + 9 $
解得$ a=-1 $，即抛物线解析式为$ y=-x^2 +9 $。
落地点C在x轴上，令$ y=0 $，则$ 0=-x^2 +9 $，解得$ x_1=3 $，$ x_2=-3 $（舍去，因为C在原点右侧），即C点坐标为(3,0)。
又A点坐标为(-2,0)，因此$ AC = 3 - (-2) = 5(m) $。
【答案】
5
【知识点】
建立平面直角坐标系；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题的核心是通过合理建系将实际问题转化为二次函数问题，利用二次函数的性质求解对应点的坐标即可得到结果，解题时注意结合实际意义对解进行取舍。
【难度系数】
0.7
这是一道二次函数的实际应用问题，解题时先合理建立平面直角坐标系简化计算：以B为坐标原点，水平方向AC所在直线为x轴，竖直方向BP所在直线为y轴建立坐标系。已知抛物线顶点为P，可先设顶点式的二次函数解析式，再代入水嘴顶端D的坐标求出解析式，最后令函数值y=0求出落地点C的横坐标，即可计算AC的长度。
【解析】
解：以点B为原点，AC所在直线为x轴，BP所在直线为y轴建立平面直角坐标系。
由题意可知，抛物线顶点P的坐标为(0,9)，故设抛物线的解析式为$ y=ax^2+9(a≠0) $。
已知AB=2m，AD=5m，因此水嘴顶端D的坐标为(-2,5)，将D(-2,5)代入解析式得：
$ 5 = a×(-2)^2 + 9 $
解得$ a=-1 $，即抛物线解析式为$ y=-x^2 +9 $。
落地点C在x轴上，令$ y=0 $，则$ 0=-x^2 +9 $，解得$ x_1=3 $，$ x_2=-3 $（舍去，因为C在原点右侧），即C点坐标为(3,0)。
又A点坐标为(-2,0)，因此$ AC = 3 - (-2) = 5(m) $。
【答案】
5
【知识点】
建立平面直角坐标系；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题的核心是通过合理建系将实际问题转化为二次函数问题，利用二次函数的性质求解对应点的坐标即可得到结果，解题时注意结合实际意义对解进行取舍。
【难度系数】
0.7
5. 如图5-3-3，平行四边形ABCD中，AB=4，点D的坐标是(0,8)，以点C为顶点的抛物线经过x轴上的点
，A，B，则此抛物线的表达式为
，A，B，则此抛物线的表达式为$y=-2x^2+16x-24$
。答案
5. $y=-2x^2+16x-24$
解析
【分析】
解题时首先结合平行四边形的性质求出抛物线顶点C的坐标，再根据抛物线的对称性得到x轴上交点A的坐标，最后利用二次函数顶点式代入计算即可求得解析式。第一步：平行四边形对边平行且相等，AB长度为4，CD与AB平行（沿x轴方向），D点坐标为(0,8)，因此C点纵坐标与D相同为8，横坐标为0+4=4，即C(4,8)；第二步：抛物线以C为顶点，因此对称轴为直线x=4，AB长度为4且在x轴上，两点关于对称轴对称，因此A点坐标为(4-2,0)即(2,0)；第三步：设二次函数顶点式，将A点坐标代入求解参数a，再展开为一般式即可。
【解析】
1. 求点C坐标：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ CD=AB=4，CD//AB（x轴），
∵ D(0,8)，
∴ C点纵坐标为8，横坐标为0+4=4，即$C(4,8)$。
2. 求点A坐标：
抛物线顶点为$C(4,8)$，因此抛物线对称轴为直线$x=4$，
∵ A、B在x轴上，AB=4，两点关于对称轴$x=4$对称，
∴ A点横坐标为$4-4÷2=2$，即$A(2,0)$。
3. 求抛物线解析式：
设抛物线的顶点式为$y=a(x-4)^2+8$（$a≠0$），
将$A(2,0)$代入得：$0=a(2-4)^2+8$，
即$4a+8=0$，解得$a=-2$，
∴ 解析式为$y=-2(x-4)^2+8$，展开得：
$y=-2(x^2-8x+16)+8=-2x^2+16x-32+8=-2x^2+16x-24$。
【答案】
$y=-2x^2+16x-24$
【知识点】
平行四边形的性质，二次函数顶点式，二次函数的对称性
【点评】
本题是二次函数与几何图形结合的基础题，解题的核心是先利用平行四边形性质确定抛物线顶点坐标，再结合二次函数的对称性得到与x轴的交点坐标，选用顶点式求解解析式比一般式更简便。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合平行四边形的性质求出抛物线顶点C的坐标，再根据抛物线的对称性得到x轴上交点A的坐标，最后利用二次函数顶点式代入计算即可求得解析式。第一步：平行四边形对边平行且相等，AB长度为4，CD与AB平行（沿x轴方向），D点坐标为(0,8)，因此C点纵坐标与D相同为8，横坐标为0+4=4，即C(4,8)；第二步：抛物线以C为顶点，因此对称轴为直线x=4，AB长度为4且在x轴上，两点关于对称轴对称，因此A点坐标为(4-2,0)即(2,0)；第三步：设二次函数顶点式，将A点坐标代入求解参数a，再展开为一般式即可。
【解析】
1. 求点C坐标：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ CD=AB=4，CD//AB（x轴），
∵ D(0,8)，
∴ C点纵坐标为8，横坐标为0+4=4，即$C(4,8)$。
2. 求点A坐标：
抛物线顶点为$C(4,8)$，因此抛物线对称轴为直线$x=4$，
∵ A、B在x轴上，AB=4，两点关于对称轴$x=4$对称，
∴ A点横坐标为$4-4÷2=2$，即$A(2,0)$。
3. 求抛物线解析式：
设抛物线的顶点式为$y=a(x-4)^2+8$（$a≠0$），
将$A(2,0)$代入得：$0=a(2-4)^2+8$，
即$4a+8=0$，解得$a=-2$，
∴ 解析式为$y=-2(x-4)^2+8$，展开得：
$y=-2(x^2-8x+16)+8=-2x^2+16x-32+8=-2x^2+16x-24$。
【答案】
$y=-2x^2+16x-24$
【知识点】
平行四边形的性质，二次函数顶点式，二次函数的对称性
【点评】
本题是二次函数与几何图形结合的基础题，解题的核心是先利用平行四边形性质确定抛物线顶点坐标，再结合二次函数的对称性得到与x轴的交点坐标，选用顶点式求解解析式比一般式更简便。
【难度系数】
0.7
6. 若二次函数的图象经过$A(-1,0),B(0,-5)$两点,当$x=2$时函数值有最小值,用两种不同方法求该函数的表达式。
答案
6. 解:(方法一)
∵当 x=2 时函数值有最小值，
∴直线 x=2 是函数图象的对称轴。
∵函数图象过点 A(-1,0)，
∴函数图象与 x 轴的另一个交点为(5,0)，
∴设函数的表达式为 y=a(x+1)(x-5)。
函数图象过点 B(0,-5),将其坐标代入表达式得-5=a(0+1)×(0-5),解得 a=1。
∴函数的表达式为 y=(x+1)(x-5)=x²-4x-5。
(方法二)设函数的表达式为 y=a(x-2)²+k，
代入点 A(-1,0),B(0,-5)的坐标,得
$\begin{cases}0=a(-1-2)^2+k,\\-5=a(0-2)^2+k,\end{cases}$
解得$ \begin{cases}a=1,\\k=-9$。$\end{cases}$
∴函数的表达式为 y=(x-2)²-9=x²-4x-5。
(方法三)设函数的表达式为 y=ax²+bx+c,由图象经过点 A(-1,0),B(0,-5),以及对称轴为直线 x=2
得$\begin{cases}-\dfrac{b}{2a}=2,\\c=-5,\\a-b+c=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=1,\\b=-4,\\c=-5$。$\end{cases}$
∴函数的表达式为 y=x²-4x-5。
(任选两种即可)
∵当 x=2 时函数值有最小值，
∴直线 x=2 是函数图象的对称轴。
∵函数图象过点 A(-1,0)，
∴函数图象与 x 轴的另一个交点为(5,0)，
∴设函数的表达式为 y=a(x+1)(x-5)。
函数图象过点 B(0,-5),将其坐标代入表达式得-5=a(0+1)×(0-5),解得 a=1。
∴函数的表达式为 y=(x+1)(x-5)=x²-4x-5。
(方法二)设函数的表达式为 y=a(x-2)²+k，
代入点 A(-1,0),B(0,-5)的坐标,得
$\begin{cases}0=a(-1-2)^2+k,\\-5=a(0-2)^2+k,\end{cases}$
解得$ \begin{cases}a=1,\\k=-9$。$\end{cases}$
∴函数的表达式为 y=(x-2)²-9=x²-4x-5。
(方法三)设函数的表达式为 y=ax²+bx+c,由图象经过点 A(-1,0),B(0,-5),以及对称轴为直线 x=2
得$\begin{cases}-\dfrac{b}{2a}=2,\\c=-5,\\a-b+c=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=1,\\b=-4,\\c=-5$。$\end{cases}$
∴函数的表达式为 y=x²-4x-5。
(任选两种即可)
解析
【分析】
本题考查待定系数法求二次函数解析式，首先根据“x=2时函数有最小值”可推出二次函数对称轴为直线x=2，可结合已知条件灵活选择解析式形式求解：1.已知函数与x轴的一个交点，可利用对称性求出另一个x轴交点，选用交点式简化计算；2.已知顶点横坐标，可直接设顶点式，代入两点坐标解方程组求解；3.也可设一般式，结合对称轴公式和两点坐标列三元一次方程组求解，任选两种方法即可。
【解析】
方法一（交点式）
∵当x=2时函数值有最小值，
∴二次函数图象的对称轴为直线x=2，开口向上。
∵图象过x轴上的点A(-1,0)，根据二次函数的对称性，可得图象与x轴的另一个交点坐标为(5,0)，
∴设二次函数的解析式为$y=a(x+1)(x-5)$（$a≠0$）。
将B(0,-5)代入解析式得：$-5=a(0+1)(0-5)$，
解得$a=1$，
∴函数表达式为$y=(x+1)(x-5)=x^2-4x-5$。
方法二（顶点式）
∵当x=2时函数值有最小值，即顶点横坐标为2，
∴设二次函数的解析式为$y=a(x-2)^2+k$（$a≠0$）。
将A(-1,0)、B(0,-5)分别代入解析式得方程组：
$\begin{cases} 0=a(-1-2)^2+k \\ -5=a(0-2)^2+k \end{cases}$，
化简得$\begin{cases} 9a + k = 0 \\ 4a + k = -5 \end{cases}$，
两式相减得$5a=5$，解得$a=1$，
将$a=1$代入$9a + k =0$得$k=-9$，
∴函数表达式为$y=(x-2)^2-9=x^2-4x-5$。
【答案】
$y=x^2-4x-5$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数的性质；二次函数的表达形式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，解题关键是通过最值条件推出对称轴，再结合已知点的特征选择合适的解析式形式，可有效简化计算过程。
【难度系数】
0.7
本题考查待定系数法求二次函数解析式，首先根据“x=2时函数有最小值”可推出二次函数对称轴为直线x=2，可结合已知条件灵活选择解析式形式求解：1.已知函数与x轴的一个交点，可利用对称性求出另一个x轴交点，选用交点式简化计算；2.已知顶点横坐标，可直接设顶点式，代入两点坐标解方程组求解；3.也可设一般式，结合对称轴公式和两点坐标列三元一次方程组求解，任选两种方法即可。
【解析】
方法一（交点式）
∵当x=2时函数值有最小值，
∴二次函数图象的对称轴为直线x=2，开口向上。
∵图象过x轴上的点A(-1,0)，根据二次函数的对称性，可得图象与x轴的另一个交点坐标为(5,0)，
∴设二次函数的解析式为$y=a(x+1)(x-5)$（$a≠0$）。
将B(0,-5)代入解析式得：$-5=a(0+1)(0-5)$，
解得$a=1$，
∴函数表达式为$y=(x+1)(x-5)=x^2-4x-5$。
方法二（顶点式）
∵当x=2时函数值有最小值，即顶点横坐标为2，
∴设二次函数的解析式为$y=a(x-2)^2+k$（$a≠0$）。
将A(-1,0)、B(0,-5)分别代入解析式得方程组：
$\begin{cases} 0=a(-1-2)^2+k \\ -5=a(0-2)^2+k \end{cases}$，
化简得$\begin{cases} 9a + k = 0 \\ 4a + k = -5 \end{cases}$，
两式相减得$5a=5$，解得$a=1$，
将$a=1$代入$9a + k =0$得$k=-9$，
∴函数表达式为$y=(x-2)^2-9=x^2-4x-5$。
【答案】
$y=x^2-4x-5$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数的性质；二次函数的表达形式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，解题关键是通过最值条件推出对称轴，再结合已知点的特征选择合适的解析式形式，可有效简化计算过程。
【难度系数】
0.7
7. 抛物线$C_2$与抛物线$C_1$关于$x$轴对称，抛物线$C_1$绕着点$(3,0)$旋转$180°$可以得到抛物线$C_3$。已知$C_1$的表达式为$y=x^2 -2x +3$，请分别求出$C_2$和$C_3$的表达式。
答案
7. 解:抛物线 $C_1:y=x^2-2x+3=(x-1)^2+2$ 的顶点坐标为(1,2)。
∵$C_1$ 与 $C_2$ 关于 x 轴对称，
∴$C_2$ 的顶点为(1,-2),$C_2$ 开口向下，
∴$C_2:y=-(x-1)^2-2=-x^2+2x-3$。
∵$C_1$ 绕着点(3,0)旋转 180°可以得到 $C_3$，
∴$C_3$ 的顶点由点(1,2)绕着点(3,0)旋转 180°得到，
∴$C_3$ 的顶点为(5,-2),$C_3$ 开口向下，
∴$C_3:y=-(x-5)^2-2=-x^2+10x-27$。
∵$C_1$ 与 $C_2$ 关于 x 轴对称，
∴$C_2$ 的顶点为(1,-2),$C_2$ 开口向下，
∴$C_2:y=-(x-1)^2-2=-x^2+2x-3$。
∵$C_1$ 绕着点(3,0)旋转 180°可以得到 $C_3$，
∴$C_3$ 的顶点由点(1,2)绕着点(3,0)旋转 180°得到，
∴$C_3$ 的顶点为(5,-2),$C_3$ 开口向下，
∴$C_3:y=-(x-5)^2-2=-x^2+10x-27$。
解析
【分析】
解决抛物线的对称、旋转变换问题，核心是抓住抛物线的两个关键要素：顶点坐标和二次项系数。首先将$C_1$的一般式转化为顶点式，确定其顶点坐标与开口方向：①求$C_2$时，关于x轴对称的两个抛物线，顶点横坐标不变、纵坐标互为相反数，开口方向相反（二次项系数变为原数的相反数），据此写出$C_2$的顶点式再化简即可；②求$C_3$时，抛物线绕点旋转180°属于中心对称变换，顶点关于旋转中心中心对称，开口方向同样相反，先用中点坐标公式求出旋转后的顶点坐标，再结合变化后的二次项系数写出$C_3$的顶点式化简即可。
【解析】
先将抛物线$C_1$的表达式化为顶点式：
$y=x^2-2x+3=(x-1)^2+2$，可得$C_1$的顶点坐标为$(1,2)$，二次项系数为1，开口向上。
1. 求$C_2$的表达式
∵$C_2$与$C_1$关于x轴对称
∴$C_2$的顶点坐标为$(1,-2)$，开口向下，二次项系数为$-1$
则$C_2$的顶点式为$y=-(x-1)^2-2$，展开得：
$y=-(x^2-2x+1)-2=-x^2+2x-3$
2. 求$C_3$的表达式
∵$C_1$绕点$(3,0)$旋转180°得到$C_3$
∴$C_3$的顶点是$(1,2)$关于$(3,0)$的中心对称点，设该点坐标为$(m,n)$，根据中点坐标公式：
$\frac{1+m}{2}=3$，$\frac{2+n}{2}=0$，解得$m=5$，$n=-2$，即$C_3$顶点为$(5,-2)$，旋转后开口向下，二次项系数为$-1$
则$C_3$的顶点式为$y=-(x-5)^2-2$，展开得：
$y=-(x^2-10x+25)-2=-x^2+10x-27$
【答案】
$C_2$：$\boldsymbol{y=-x^2+2x-3}$；$C_3$：$\boldsymbol{y=-x^2+10x-27}$
【知识点】
二次函数图像变换；轴对称坐标性质；中心对称坐标性质
【点评】
本题属于二次函数图像变换的基础题型，解题时优先将二次函数化为顶点式，仅分析顶点和二次项系数的变化即可快速得到变换后的表达式，需注意对称、旋转180°都会改变抛物线开口方向，不要漏改二次项系数的符号。
【难度系数】
0.7
解决抛物线的对称、旋转变换问题，核心是抓住抛物线的两个关键要素：顶点坐标和二次项系数。首先将$C_1$的一般式转化为顶点式，确定其顶点坐标与开口方向：①求$C_2$时，关于x轴对称的两个抛物线，顶点横坐标不变、纵坐标互为相反数，开口方向相反（二次项系数变为原数的相反数），据此写出$C_2$的顶点式再化简即可；②求$C_3$时，抛物线绕点旋转180°属于中心对称变换，顶点关于旋转中心中心对称，开口方向同样相反，先用中点坐标公式求出旋转后的顶点坐标，再结合变化后的二次项系数写出$C_3$的顶点式化简即可。
【解析】
先将抛物线$C_1$的表达式化为顶点式：
$y=x^2-2x+3=(x-1)^2+2$，可得$C_1$的顶点坐标为$(1,2)$，二次项系数为1，开口向上。
1. 求$C_2$的表达式
∵$C_2$与$C_1$关于x轴对称
∴$C_2$的顶点坐标为$(1,-2)$，开口向下，二次项系数为$-1$
则$C_2$的顶点式为$y=-(x-1)^2-2$，展开得：
$y=-(x^2-2x+1)-2=-x^2+2x-3$
2. 求$C_3$的表达式
∵$C_1$绕点$(3,0)$旋转180°得到$C_3$
∴$C_3$的顶点是$(1,2)$关于$(3,0)$的中心对称点，设该点坐标为$(m,n)$，根据中点坐标公式：
$\frac{1+m}{2}=3$，$\frac{2+n}{2}=0$，解得$m=5$，$n=-2$，即$C_3$顶点为$(5,-2)$，旋转后开口向下，二次项系数为$-1$
则$C_3$的顶点式为$y=-(x-5)^2-2$，展开得：
$y=-(x^2-10x+25)-2=-x^2+10x-27$
【答案】
$C_2$：$\boldsymbol{y=-x^2+2x-3}$；$C_3$：$\boldsymbol{y=-x^2+10x-27}$
【知识点】
二次函数图像变换；轴对称坐标性质；中心对称坐标性质
【点评】
本题属于二次函数图像变换的基础题型，解题时优先将二次函数化为顶点式，仅分析顶点和二次项系数的变化即可快速得到变换后的表达式，需注意对称、旋转180°都会改变抛物线开口方向，不要漏改二次项系数的符号。
【难度系数】
0.7
