二、拓展性作业
8. 在数学活动课上，两位同学对抛物线在平面直角坐标系中的平移进行了研究，下面是他们的交流片段。
小聪:我画了二次函数 $y=(x-a)^2+\frac{a}{3}$（a为常数），当$a=-1,a=0,a=1,a=2$时的图象。当a取不同的值时，如图5-2-18，其图象构成一个“抛物线系”。
小明:如图5-2-19，我发现这些抛物线的顶点在同一条直线上。
【问题解决】
(1)试写出小明发现的“抛物线系”的顶点所在直线的表达式。
(2)当$a=0$时，抛物线上有点$P(2,m)$。将此抛物线沿着(1)中的直线平移，记抛物线顶点O与点P平移后的对应点分别为$O_1,P_1$。若四边形$POO_1P_1$是菱形，求平移后的抛物线的表达式。

8. 解:(1)当$a=0$时,顶点坐标为$(0,0)$,
当$a=1$时,顶点坐标为$(1,\frac{1}{3})$,
设顶点所在直线的表达式为$y=kx+b$,
将$(0,0),(1,\frac{1}{3})$代入,得$\begin{cases}b=0,\\k+b=\frac{1}{3},\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=\frac{1}{3},\\b=0。\end{cases}$
小明发现的“抛物线系”的顶点所在直线的表达式为$y=\frac{1}{3}x$。
(2)当$a=0$时,抛物线的表达式为$y=x^2$,顶点坐标为$O(0,0)$,
当$x=2$时,$m=2^2=4$,即$P(2,4)$。
平移后的表达式为$y=(x-a)^2+\frac{a}{3}$,顶点坐标为$O_1(a,\frac{a}{3})$。
由四边形$POO_1P_1$是菱形,得
$OP=OO_1$,即$\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{a^2+(\frac{a}{3})^2}$,
化简,得$a^2=18$,
解得$a=3\sqrt{2}$,或$a=-3\sqrt{2}$。
当$a=3\sqrt{2}$时,平移后的抛物线的表达式为$y=(x-3\sqrt{2})^2+\sqrt{2}$;
当$a=-3\sqrt{2}$时,平移后的抛物线的表达式为$y=(x+3\sqrt{2})^2-\sqrt{2}$。

【分析】
（1）要确定抛物线系顶点所在直线的表达式，首先根据二次函数顶点式的特征，可得该抛物线系的顶点坐标为$(a,\frac{a}{3})$，可选取两组不同$a$对应的顶点坐标，用待定系数法求解一次函数解析式；也可直接消去参数$a$得到顶点横、纵坐标的关系。
（2）先求出$a=0$时抛物线的解析式以及点$P$的坐标，平移后抛物线顶点始终在（1）所得直线上，因此可设平移后顶点坐标为$(a,\frac{a}{3})$；平移后四边形$POO_1P_1$本身是平行四边形，要成为菱形只需满足邻边$OP=OO_1$，利用勾股定理列方程求解$a$的值，即可得到平移后的抛物线解析式。
【解析】
(1) 二次函数$y=(x-a)^2+\frac{a}{3}$的顶点坐标为$(a,\frac{a}{3})$。
取$a=0$，得顶点坐标$(0,0)$；取$a=1$，得顶点坐标$(1,\frac{1}{3})$。
设顶点所在直线的表达式为$y=kx+b$，将$(0,0)$、$(1,\frac{1}{3})$代入得：
$\begin{cases}b=0\\k+b=\frac{1}{3}\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=\frac{1}{3}\\b=0\end{cases}$
因此顶点所在直线的表达式为$y=\frac{1}{3}x$。
(2) 当$a=0$时，抛物线表达式为$y=x^2$，顶点$O$坐标为$(0,0)$。
将$x=2$代入$y=x^2$，得$m=2^2=4$，即$P(2,4)$。
设平移后抛物线顶点$O_1$为$(a,\frac{a}{3})$，则平移后抛物线表达式为$y=(x-a)^2+\frac{a}{3}$。
由平移性质可知四边形$POO_1P_1$是平行四边形，若它为菱形，则$OP=OO_1$。
计算得$OP=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，$OO_1=\sqrt{a^2+(\frac{a}{3})^2}$，列方程：
$\sqrt{a^2+(\frac{a}{3})^2}=2\sqrt{5}$
两边平方化简得$\frac{10a^2}{9}=20$，即$a^2=18$，解得$a=3\sqrt{2}$或$a=-3\sqrt{2}$。
当$a=3\sqrt{2}$时，平移后抛物线为$y=(x-3\sqrt{2})^2+\sqrt{2}$；
当$a=-3\sqrt{2}$时，平移后抛物线为$y=(x+3\sqrt{2})^2-\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $y=\frac{1}{3}x$
(2) $y=(x-3\sqrt{2})^2+\sqrt{2}$或$y=(x+3\sqrt{2})^2-\sqrt{2}$
【知识点】
二次函数的性质、待定系数法求解析式、菱形的性质
【点评】
本题综合考查了二次函数平移、一次函数求解和特殊四边形的判定，解题时需要结合数形结合思想，利用平移特征和菱形的性质建立方程求解，能有效考查对函数和几何知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.6

9. 已知抛物线 $ C_1: y = ax^2 - 2ax - 3 $。
(1) 当 $ a = 1 $ 时，
① 抛物线 $ C_1 $ 的顶点坐标为 ；
② 将抛物线 $ C_1 $ 沿 $ x $ 轴翻折得到抛物线 $ C_2 $，则抛物线 $ C_2 $ 的表达式为 。
(2) 无论 $ a $ 为何值，直线 $ y = m $ 与抛物线 $ C_1 $ 相交所得的线段 $ EF $（点 $ E $ 在点 $ F $ 左侧）的长度都不变，求 $ m $ 的值和 $ EF $ 的长。
(3) 在(2)的条件下，将抛物线 $ C_1 $ 沿直线 $ y = m $ 翻折，得到抛物线 $ C_3 $，抛物线 $ C_1, C_3 $ 的顶点分别记为 $ P, Q $，是否存在实数 $ a $，使得以点 $ E, F, P, Q $ 为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出 $ a $ 的值；若不存在，请说明理由。

9. 解:(1)①$(1,-4)$ ②$y=-x^2+2x+3$
(2)$\because y=ax^2-2ax-3=ax(x-2)-3$,
$\therefore$抛物线经过定点$(2,-3)$,$(0,-3)$,
$\therefore$当$m=-3$时,$EF$的长度不变。
$\therefore E(0,-3)$,$F(2,-3)$,
$\therefore EF=2$。
(3)存在实数$a$,使得以点$E,F,P,Q$为顶点的四边形为正方形。理由如下:
设抛物线$C_3$上任意一点为$(x,y)$,
$\therefore$点$(x,y)$关于直线$y=-3$的对称点为$(x,-6-y)$,
$\therefore -6-y=ax^2-2ax-3$,
$\therefore$抛物线$C_3$的表达式为$y=-ax^2+2ax-3$,
$\therefore Q(1,a-3)$。
$\because$抛物线$C_1$的表达式为$y=ax^2-2ax-3$,
$\therefore P(1,-a-3)$,$\therefore EF⊥ PQ$,
$\therefore EF$与$PQ$为正方形的对角线,
$\therefore EF=PQ$,即$2=|2a|$,
$\therefore a=\pm1$。

【分析】
(1)①将a=1代入抛物线解析式，通过配方法将解析式转化为顶点式，即可直接得到顶点坐标；②沿x轴翻折时，抛物线上所有点的横坐标不变、纵坐标变为原来的相反数，将原解析式中的y替换为-y，整理后即可得到抛物线$C_2$的表达式。
(2)要求无论a取何值线段EF长度不变，可先分析抛物线恒过的定点：当y的取值为定点纵坐标时，直线与抛物线的交点固定，线段长度与a无关，由此即可求出m的值和EF的长。
(3)先根据翻折的规律求出抛物线$C_3$的顶点Q坐标，结合抛物线$C_1$的顶点P坐标可知PQ为竖直线段、EF为水平线段，二者互相垂直，若四点构成正方形，则两条对角线EF和PQ长度相等，列方程求解即可得到a的值。
【解析】
(1)①当$a=1$时，抛物线$C_1$的解析式为$y=x^2-2x-3$，配方得$y=(x-1)^2-4$，因此顶点坐标为$(1,-4)$。
②将抛物线$C_1$沿x轴翻折，横坐标不变，纵坐标变为相反数，即$-y=x^2-2x-3$，整理得$y=-x^2+2x+3$，即为抛物线$C_2$的表达式。
(2)整理抛物线$C_1$的解析式得$y=ax(x-2)-3$，可知无论a取何值，当$x=0$或$x=2$时，$y=-3$，即抛物线恒过定点$(0,-3)$、$(2,-3)$。当$m=-3$时，直线$y=m$与抛物线的交点为$E(0,-3)$、$F(2,-3)$，此时$EF=2-0=2$，长度与a的取值无关。
(3)存在实数a满足条件，理由如下：
设抛物线$C_3$上任意一点为$(x,y)$，则该点关于直线$y=-3$的对称点$(x,-6-y)$在抛物线$C_1$上，代入$C_1$的解析式得：$-6-y=ax^2-2ax-3$，整理得$C_3$的表达式为$y=-ax^2+2ax-3$。
抛物线$C_1$配方得$y=a(x-1)^2-a-3$，顶点$P(1,-a-3)$；抛物线$C_3$配方得$y=-a(x-1)^2+a-3$，顶点$Q(1,a-3)$。
可知PQ为竖直线段，EF为水平线段，二者互相垂直，因此EF、PQ为正方形的对角线，需满足$EF=PQ$。
$PQ$的长度为$\vert(-a-3)-(a-3)\vert=\vert2a\vert$，已知$EF=2$，因此$2=\vert2a\vert$，解得$a=\pm1$。
【答案】
(1)①$\boxed{(1,-4)}$；②$\boxed{y=-x^2+2x+3}$
(2)$\boxed{m=-3}$，$\boxed{EF=2}$
(3)存在，$\boxed{a=\pm1}$
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的翻折变换；正方形的判定
【点评】
本题综合考查二次函数的图像规律、对称变换及特殊四边形的判定，解题核心是找准抛物线的定点和翻折前后的坐标关系，结合几何图形性质列方程求解，对代数运算和数形结合能力有一定要求。
【难度系数】
0.6